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1、会计学1理论力学理论力学 点的合成点的合成(hchng)运动运动第一页，共60页。动坐标系：固结于相对于地面(dmin)运动物体上的坐标系。简称动系（Oxyz）。前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考体。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体(wt)的运动。如从行驶的汽车上观看飞机的运动，坐在行驶的火车内看下雨的雨点等。本章(bn zhn)研究同一物体相对于不同参考系的运动及其相互关系。8-1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动一一.坐标系：坐标系：静坐标系静坐标系：固结于地面上的坐标系。简称静系静系（Oxyz）。第1页/共60页第二页，共
2、60页。例例如如，下下雨雨时时，地地面面上上的的观观察察者者看看雨雨滴滴是是铅铅垂垂向向下下的的，但但对对正正在在(zhngzi)行进的车上的观察者来说，雨滴则是倾斜向后的。行进的车上的观察者来说，雨滴则是倾斜向后的。同一物体同一物体(wt)的运动对于不同的参考体来说是不同的。的运动对于不同的参考体来说是不同的。又如，沿直线轨道滚动的车轮又如，沿直线轨道滚动的车轮(ch ln)，站在地面上的，站在地面上的人看轮缘上点人看轮缘上点M的运动轨迹是一旋轮线，而在行驶着的车中的的运动轨迹是一旋轮线，而在行驶着的车中的人看人看M点，其轨迹则是一个圆。点，其轨迹则是一个圆。第2页/共60页第三页，共60页
3、。1.绝对运动：动点相对绝对运动：动点相对(xingdu)于静系的运于静系的运动。动。2.相对相对(xingdu)运动：动点相对运动：动点相对(xingdu)于动系的运动。于动系的运动。3.牵连运动：动系相对牵连运动：动系相对(xingdu)于静系的运于静系的运动。动。绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度绝对速度 与绝对加速度绝对加速度相对运动中动点的速度和加速度称相对速度相对速度 与相对加速度相对加速度牵连运动中牵连点牵连点的速度和加速度称牵连速度牵连速度与牵连加速度牵连加速度点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动二二.动点动点：三三.三种运动三种运动(yndng)及三种速度与三种及三种速度
4、与三种加速度加速度在任意瞬时(shn sh)，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。所要研究的运动着的点。第3页/共60页第四页，共60页。选择对动系、静系都为运动的点，例如(lr)主动件与从动件的连接点。动点对动系有相对运动(xin du yn dn)，且相对运动(xin du yn dn)的轨迹是已知的，或者是能直接看出的。四四.动点的选择动点的选择(xunz)原则：原则：五五.动系的选择原则动系的选择原则：下面举例说明以上概念：下面举例说明以上概念：动点：动点：动系：动系：静系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上第4页/共60页第五页，共60页。绝对运动绝对运动：直线运动相对运动相
5、对运动(xin du yn dn)：圆弧运动：圆弧运动牵连运动：直线牵连运动：直线(zhxin)平动平动第5页/共60页第六页，共60页。牵连速度牵连速度：绝对速度绝对速度：相对速度相对速度：第6页/共60页第七页，共60页。绝对加速度：绝对加速度：相对加速度：相对加速度：牵连加速度：牵连加速度：第7页/共60页第八页，共60页。动点：摆杆上 A1点动系：圆盘(yun pn)静系：机架动点：圆盘(yun pn)上 A点动系：OA 摆杆静系：机架绝对运动：圆周运动相对运动(xin du yn dn)：直线运动牵连运动：定轴转动绝对运动：圆弧运动相对运动：曲线运动牵连运动：定轴转动第8页/共60页
6、第九页，共60页。注意：要指明动点在哪个注意：要指明动点在哪个(n ge)物体上，且动点不能选在物体上，且动点不能选在动系上。动系上。动点：A(在AB杆上)动系：偏心轮静系：地面(dmin)绝对运动：直线运动相对运动(xin du yn dn)：圆周运动牵连运动：定轴转动若动点若动点A在偏心轮上时在偏心轮上时A（在偏心轮上）AB杆地面圆周运动（红虚线）曲线运动（未知）平动第9页/共60页第十页，共60页。当t t+t 时 ABA B，MM也可看成(kn chn)M M M8-2 8-2 点的速度点的速度(sd)(sd)合成合成定理定理 点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度(xin d
7、u s d)和牵连速度之间的关系。MM 为绝对位移M1M 为相对位移 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz运动。第10页/共60页第十一页，共60页。点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小(dxio)、方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是矢量和，这就是(jish)点的速度合成定理。点的速度合成定理。将上式两边(lingbin)同除以t，取t 0时的极限，得说明说明：点的速度合成定理适用
8、于牵连运动（动系的运动）为任何运动的情况。第11页/共60页第十二页，共60页。应用应用(yngyng)举例举例 例例1 1 桥式吊车。已知：小车桥式吊车。已知：小车水平水平(shupng)(shupng)运行，速度为运行，速度为v v平，物块平，物块A A相对小车垂直上升的速相对小车垂直上升的速度为度为v v。求物块。求物块A A的运行速度。的运行速度。第12页/共60页第十三页，共60页。动点：物块动点：物块A 动系：小车动系：小车(xioch)静系：地面静系：地面相对运动：直线；相对运动：直线；相对速度相对速度(xin du s d)vr=v 方向方向牵连运动：平动；牵连运动：平动；牵连
9、速度牵连速度 ve=v平平 方向方向绝对运动：曲线；绝对运动：曲线；绝对速度绝对速度 va 的大小、方向待求。的大小、方向待求。解解：选取(xunq)第13页/共60页第十四页，共60页。作出速度作出速度(sd)平行四边形如图示，则物块平行四边形如图示，则物块A的速度的速度(sd)大小和方向为大小和方向为由速度合成定理：由速度合成定理：第14页/共60页第十五页，共60页。相对速度(xin du s d)vr =?方向/O1B（）例例2 2 曲柄曲柄(qbng)(qbng)摆杆机构。已知：摆杆机构。已知：OA=r OA=r、OO1=l OO1=l，图示瞬时，图示瞬时，OAOAOO1 OO1。求
10、：。求：摆杆摆杆O1BO1B的角速度的角速度1 1。解：取解：取OA杆上杆上A点为动点，摆杆点为动点，摆杆O1B为动系，基座为动系，基座(j zu)为静系。为静系。绝对速度va=r ，方向 OA牵连速度ve=?方向O1B由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图所示。第15页/共60页第十六页，共60页。（翻页请看动画）例例3 圆盘凸轮机构已知：已知：OCe,（匀角速度）图示瞬时,OCCA 且 O、A、B三点共线。求：求：从动杆AB的速度。解：动点取直杆上解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘点，动系固结于圆盘(yun pn)，静系固结于基座。静系固结于基座。绝对速度 va=?待求，方向(fngx
11、ing)/AB相对速度(xin du s d)vr =?未知，方向CA牵连速度 ve=OA=2e,方向 OA 由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图所示。第16页/共60页第十七页，共60页。第17页/共60页第十八页，共60页。动点、动系和静系须分别属于(shy)三个不同的物体，否则绝对、相对运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。动点相对动系的运动（即相对运动）轨迹易于直观判断（除已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题外）。由上述例题知求解合成(hchng)运动的速度问题的一般步骤为：动点、动系和静系的选择动点、动系和静系的选择(xunz)原则：原则：恰当地选择动点、动系和静系是求解合
12、成运动问题的关键。选取动点、动系和静系。对三种运动及其速度进行分析。根据速度平行四边形，求出未知量。根据速度合成定理 作出速度平行四边形。第18页/共60页第十九页，共60页。例例4 4 已知：已知：凸轮凸轮(tln)(tln)半径半径 r,r,图示时速度图示时速度 v v，q=q=300 300；杆；杆OAOA靠在凸轮靠在凸轮(tln)(tln)上。上。求：杆求：杆OAOA的角速度。的角速度。分析：相接触的两个物体的接触点位置在各自物体上都随时间而变化，因此若选两物体的接触点为动点，则相对运动的分析会较困难。根据上述动点、动系和静系的选择原则，在此情况(qngkung)下，可选择满足上述两条
13、原则的非接触点为动点。第19页/共60页第二十页，共60页。解：取凸轮上解：取凸轮上C点为动点点为动点,动系固结动系固结(ji)于于OA杆杆上上,静系固结静系固结(ji)于基座。于基座。绝对运动绝对运动：直线运动，绝对速度：va=v，方向相对运动相对运动：直线运动，相对速度：vr 未知，方向 OA牵连运动牵连运动:定轴转动,牵连速度：（）根据速度合成定理 作出速度平行四边形如图所示。第20页/共60页第二十一页，共60页。8-38-3牵连运动为平动牵连运动为平动(pngdng)(pngdng)时点的加速度合时点的加速度合成定理成定理两边(lingbin)对 t 求导：设有一动点M按一定(ydn
14、g)规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。由速度合成定理注意到牵连运动为平动牵连运动为平动，故第21页/共60页第二十二页，共60页。其中，为动系坐标轴的单位矢量，由于动系为平动，故其方向不变是常矢量，所以 。即牵连运动为平动(pngdng)时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。牵连运动为平动(pngdng)时点的加速度合成定理又可写为：第22页/共60页第二十三页，共60页。例例5 图示曲柄滑道机构中，曲柄长OA0.1m，绕O轴转动。当 时，其角速度 1 rad/s，角加速度 a 1 rad/s2，求导杆AB的加
15、速度和滑块A在滑道中的相对加速度。取OA上的A点为动点，导杆AB为动系，定系固连在地面(dmin)上。2）分析三种(sn zhn)运动和三种(sn zhn)加速度。绝对(judu)运动：即动点A的圆周运动，绝对(judu)加速度可分解为切向加速度和法向加速度，大小为解：解：1）选取动点和动系。第23页/共60页第二十四页，共60页。方向(fngxing)如图 b）所示。相对运动 即沿滑道的往复直线运动，故相对加速度 的方向为水平，大小为未知。牵连运动 即导杆的直线平动，动点A的牵连加速度 为铅垂方向，大小为待求。作加速度合成图，如图b）。3）根据牵连运动为平动时的加速度合成(hchng)定理第
16、24页/共60页第二十五页，共60页。求出的 为正值，说明图示方向即为实际方向，而 即为导杆AB在此瞬时的平动加速度。代入将其分别(fnbi)投影到x 和h 轴上,得最后(zuhu)得:注意：不要注意：不要(byo)将加速度合成定理的投影式写成将加速度合成定理的投影式写成“投影的代投影的代数和为零数和为零”的平衡式。的平衡式。第25页/共60页第二十六页，共60页。解：取顶杆解：取顶杆AB上的上的A点为动点，点为动点，动系与凸轮动系与凸轮(tln)固连。固连。例例6 已知：凸轮半径 求：=60o时,顶杆AB的加速度。请看动画第26页/共60页第二十七页，共60页。由速度合成(hchng)定理做
17、出速度(sd)平行四边形,如图示。相对速度vr =?,方向CA；相对加速度art=?方向CA ,方向沿CA指向C绝对速度va=?,方向(fngxing)AB；绝对加速度aa=?,方向(fngxing)AB，待求。牵连速度ve=v0,方向 ；牵连加速度 ae=a0,方向第27页/共60页第二十八页，共60页。因牵连运动为平动(pngdng)，故有作加速度矢量图如图示，将上式投影(tuyng)到法线 n 上，得整理得n第28页/共60页第二十九页，共60页。8-48-4牵连运动为转动时点牵连运动为转动时点(sh din)(sh din)的加速的加速度合成定理度合成定理上一节我们证明(zhngmng
18、)了牵连运动为平动时点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。设如图圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内一点M以大小(dxio)不变的相对速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？第29页/共60页第三十页，共60页。相对运动相对运动(xin du yn dn)为匀速圆周运动，为匀速圆周运动，（方向(fngxing)如图）由速度合成定理(dngl)可得出选点选点M为动点，动系固结与圆盘上为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动牵连运动为匀速转动。（方向如图）即绝对运动绝对运动也为匀速圆周运动，所以方
19、向指向圆心点。第30页/共60页第三十一页，共60页。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么它们之间的关系是什么呢？2 vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。分析(fnx)上式：还多出一项 2 vr。第31页/共60页第三十二页，共60页。速度速度(sd)分析分析牵连速度牵连速度相对速度相对速度绝对速度绝对速度 t 瞬时在位置t+Dt 瞬时在位置II 可以看出，经过(jnggu)Dt 时间间隔，牵连速度和相对
20、速度的大小、方向都发生了变化。设杆OA在图示平面内以匀角速度 绕轴O转动(zhun dng)，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。第32页/共60页第三十三页，共60页。相对速度相对速度：由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取 长度后，分解为 和其中 在Dt内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的 的大小有关。牵连速度牵连速度：由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取 长度后，将 分解为 和 ，Dt Dt 时间间隔内的速度变化时间间隔内的速度变化(binhu)(binhu)分析分析
21、第33页/共60页第三十四页，共60页。其中:表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量，与相对运动无关。表示Dt内由于相对运动而引起的牵连速度大小的改 变量，与相对速度 有关。加速度分析加速度分析(fnx)上式中各项的物理(wl)意义如下：第34页/共60页第三十五页，共60页。第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。第三项恰是瞬时动点的相对加速度。第二项大小(dxio)：该项为由于(yuy)相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小(dxio)：这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。第35页/共60页第三十六页，共60页。最后(zuhu)，有加速度
22、合成定理 即牵连(qinlin)运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连(qinlin)加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。或写成一般(ybn)情况下，科氏加速度可以表示为 由于第二项和第四项表示的加速度的大小、方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科氏加速度科氏加速度。方向：按右手螺旋法则确定。（常见）第36页/共60页第三十七页，共60页。DABC 例例7 7 矩形板矩形板ABCDABCD以匀角速度以匀角速度 绕固定轴绕固定轴 z z 转动，点转动，点M1M1和点和点M2M2分别沿板的对角线分别沿板的对角线BDBD和和边线边线(bin xin)CD(bin xin)CD运动，在图
23、示位置时相运动，在图示位置时相对于板的速度分别为对于板的速度分别为 和和 ，试计算点，试计算点M1 M1、M2 M2的科氏加速度大小的科氏加速度大小,并标明方向。并标明方向。点M2 的科氏加速度:垂直(chuzh)板面向里。解解：科氏加速度为点M1的科氏加速度:第37页/共60页第三十八页，共60页。解：根据 作出速度平行四边形方向与 相同。例例88曲柄摆杆机构曲柄摆杆机构(jgu)(jgu)。已知。已知O1AO1Ar r，1 1，；取；取O1AO1A杆上杆上A A点为点为动点，动系固结在动点，动系固结在O2AO2A上，试求动点上，试求动点A A的的科氏加速度。科氏加速度。第38页/共60页第
24、三十九页，共60页。解解:动点动点:顶杆上顶杆上A点；点；动系动系:凸轮凸轮(tln)；静系静系:地面。地面。例例9 9 凸轮机构以匀角速度凸轮机构以匀角速度 绕绕O O轴转动，轴转动，图示瞬时图示瞬时OA=r OA=r，A A点处曲率点处曲率(ql)(ql)半径为半径为 ，为已知。求该瞬时顶杆为已知。求该瞬时顶杆 AB AB的速度和加的速度和加速度。速度。绝对运动:直线运动;绝对速度:va=?待求,方向(fngxing)/AB;牵连运动:定轴转动;牵连速度:ve=r，方向OA，。相对运动:曲线运动;相对速度:vr=?方向n;第39页/共60页第四十页，共60页。根据速度(sd)合成定理作速度
25、(sd)平行四边形。第40页/共60页第四十一页，共60页。由牵连运动为转动时的加速度合成(hchng)定理作出加速度矢量图加速度矢量图如图示。向 n 轴投影(tuyng)：代入：第41页/共60页第四十二页，共60页。牵连运动为转动(zhun dng)时第八章点的合成第八章点的合成(hchng)(hchng)运运动习题课动习题课一概念一概念(ginin)及公式及公式 点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成。2.速度合成定理速度合成定理3.加速度合成定理加速度合成定理牵连运动为平动时1.一点、二系、三运动一点、二系、三运动第42页/共60页第四十三页，共60页。4.作加速度分析(fnx)，
26、画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。二解题二解题(ji t)步步骤骤1.选择(xunz)动点、动系、静系。2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3.作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度、角速度）。第43页/共60页第四十四页，共60页。2.牵连运动为转动时作加速度分析不要丢掉科氏加速度。三注意(zh y)问题1.牵连(qinlin)速度及加速度是牵连(qinlin)点相对静系的速度及加速度。3.加速度矢量方程(fngchng)的投影是等式两端的投影，与静力平衡方程(fngchng)的投影式不同。4.圆周运动时，非圆周运动时，（r 为曲率半径）第44页/
27、共60页第四十五页，共60页。牵连运动：平动牵连运动：平动(pngdng)，例例1 曲柄滑杆机构。已知:OAl，=45o 时，、e;求：小车的速度与加速度。解：动点：解：动点：OA杆上杆上 A点点;动系：固结动系：固结(ji)在滑在滑杆上杆上;静系：固结静系：固结(ji)在机在机架上。架上。绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动，相对运动相对运动(xin du yn dn)：直线运动，：直线运动，第45页/共60页第四十六页，共60页。小车小车(xioch)的速度：的速度：根据速度合成定理 作速度平行四边形,如图示。向x轴投影(tuyng)：方向(fngxing)如图示。小车的加速度小车的加速
28、度：根据牵连平动的加速度合成定理作出加速度矢量图如图示。第46页/共60页第四十七页，共60页。牵连运动：定轴转动，牵连运动：定轴转动，例例2 2 摇杆滑道摇杆滑道(hu do)(hu do)机构。已知机构。已知 h h、q q、v v、a a，求，求OAOA杆的杆的w w、e e。解：动点解：动点:BC上销子上销子(xio zi)D;动系动系:固结于固结于OA；静系；静系:固结于机架。固结于机架。绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，沿OA 线相对运动相对运动(xin du yn dn)：直线运动，：直线运动，第47页/共60页第四十八页，共60页。向 轴投影(tuyng)：（）根据牵连(
29、qinlin)转动的加速度合成定理（）根据速度合成定理速度合成定理 作速度平行四边形作速度平行四边形，如图所示。第48页/共60页第四十九页，共60页。请看动画请看动画解：动点解：动点:O1A上上A点点;动系动系:固结固结(ji)于于BCD上上,静系固结静系固结(ji)于机架上。于机架上。牵连运动：平动牵连运动：平动;绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;方向水平 例例3 曲柄滑块机构曲柄滑块机构。已知：O1A=r，1、q、h；图示瞬时O1A/O2 E，求该瞬时 O2 E 杆的 2。第49页/共60页第五十页，共60页。作出速度作出速度(sd)平行四边平行
30、四边形。形。再选动点：再选动点：BCD上上F点，点，动系：固结动系：固结(ji)于于O2E上，上，静系固结静系固结(ji)于机架上。于机架上。根据根据作速度平行四作速度平行四边形。边形。根据根据(gnj)绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动，）（第50页/共60页第五十一页，共60页。绝对运动绝对运动:直线运动，直线运动，相对运动相对运动:直线运动，直线运动，牵连运动牵连运动:定轴转动，定轴转动，例例4 4 凸轮机构。已知凸轮半径凸轮机构。已知凸轮半径(bnjng)(bnjng)为为R R，图示瞬时，图示瞬时O O
31、、C C在一条铅直在一条铅直线上，线上，q q、v v、a a 已知。求该瞬时已知。求该瞬时OAOA杆的杆的角速度和角加速度。角速度和角加速度。由于两个物体上的接触点位置(wi zhi)均是变化的，故不宜选接触点为动点。方向请看动画请看动画解解:取凸轮上取凸轮上C点为动点，点为动点，动系固结动系固结(ji)于于OA杆杆上，上，静系固结静系固结(ji)于地面于地面上。上。分析分析:第51页/共60页第五十二页，共60页。作出速度(sd)平行四边形，知根据(gnj)根据(gnj)作出加速度矢量图。向 轴投影：转向由上式符号决定，0 则，0 则）（第52页/共60页第五十三页，共60页。（请看动画）
32、例例5 5 刨床机构。刨床机构。已知主动轮已知主动轮 O O 转速转速(zhun s)n=30(zhun s)n=30 r/minr/min，OA=150mm OA=150mm，图示瞬时，图示瞬时 OA OAOO1OO1。求求O1DO1D杆的杆的 1 1、1 1和滑块和滑块B B的的vBvB、aB aB。第53页/共60页第五十四页，共60页。其中(qzhng)）(解：解：动点：轮动点：轮O上上A点点动系：动系：O1D,静系：机架静系：机架根据 作出速度平行四边形。第54页/共60页第五十五页，共60页。根据作出加速度矢量图向 方向投影：）(再选动点再选动点:滑块滑块B;动系动系:O1D;静系
33、静系:机架。机架。第55页/共60页第五十六页，共60页。根据 作出速度矢量图。向 x 轴投影(tuyng)：根据作出加速度矢量图。其中(qzhng)由于第56页/共60页第五十七页，共60页。A点作直线运动代入图示瞬时(shn sh)的已知量，得请看动画 例例6 6 套筒滑道机构套筒滑道机构(jgu)(jgu)。已知已知 h h 及图示瞬时及图示瞬时q q、v v、a a。求套筒求套筒O O的的w w、e e。解：方法解：方法1：应用：应用(yngyng)“点的运动点的运动学学”求解。求解。（）第57页/共60页第五十八页，共60页。知两种方法知两种方法(fngf)结果一致。结果一致。向方向投影：（）方法方法(fngf)2：动点：动点:CD上上A点，点，动系动系:套筒套筒O，静系，静系:机架机架其中第58页/共60页第五十九页，共60页。第59页/共60页第六十页，共60页。