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1、会计学1特征特征(tzhng)理论偏微分方程组理论偏微分方程组第一页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.1.2 7.1.2 特征方程与特征曲面特征方程与特征曲面(qmin)(qmin)n n 设光滑曲面设光滑曲面(qmin)(qmin)是方程（是方程（7.1.1)7.1.1)的弱间断面。的弱间断面。n n 可以推出它应满足的条件为下式在可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立。上处处成立。第2页/共21页第二页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n方程方程(fngchng)(fngchng)
2、特征曲面的例子特征曲面的例子第3页/共21页第三页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.2 7.2 方程组的特征方程组的特征(tzhng)(tzhng)理论理论第4页/共21页第四页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.2.1 7.2.1 弱间断弱间断(jindun)(jindun)解与特征线解与特征线第5页/共21页第五页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组第6页/共21页第六页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组
3、偏微分方程组第7页/共21页第七页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分偏微分方程组方程组n n7.2.2 7.2.2 狭义狭义(xiy)(xiy)双曲型方程组的标准型双曲型方程组的标准型第8页/共21页第八页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n将狭义将狭义(xiy)(xiy)双曲型方程化为标准型的方法：双曲型方程化为标准型的方法：n n1.1.n n求向量方程求向量方程 的解。的解。n n 2.2.n n令，令，n n用用T T 左乘（左乘（7.2.27.2.2）式得：）式得：第9页/共21页第九页，共21页。第第7章
4、章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分偏微分方程组方程组n n3.3.第10页/共21页第十页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.3 7.3 双曲型方程组的双曲型方程组的Cauchy Cauchy 问题问题n n 首先指出，并非对一切类型的方程组都可以首先指出，并非对一切类型的方程组都可以CauchyCauchy问题，有例子表明，当特征方程问题，有例子表明，当特征方程（7.2.6)7.2.6)有复根时，方程组（有复根时，方程组（7.2.1)7.2.1)的的CauchyCauchy问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨论双曲问题的解是不稳定
5、的。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的型方程组的CauchyCauchy问题。为便于理解和叙述，这里问题。为便于理解和叙述，这里(zhl(zhl)仅讨论两个自变量的对角型方程组仅讨论两个自变量的对角型方程组的的CauchyCauchy问题。问题。第11页/共21页第十一页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.3.1 7.3.1 解的存在解的存在(cnzi)(cnzi)性和唯一性性和唯一性第12页/共21页第十二页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组第13页/共21页第十三页，共21页。第第7章章 特征
6、特征(tzhng)理论理论 偏微分方偏微分方程组程组n n7.3.2 7.3.2 解的稳定性解的稳定性第14页/共21页第十四页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方偏微分方程组程组n n7.4 7.4 定理定理(dngl)(dngl)第15页/共21页第十五页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分偏微分方程组方程组第16页/共21页第十六页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.4.2 Cauchy 7.4.2 Cauchy 问题的化简问题的化简n n 首先，把高阶非线性首先，把高阶非线性 C
7、-K C-K 型组型组 Cauchy Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶非线性问题化为一个与其等价的一阶非线性 C-C-K K 型组的型组的 Cauchy Cauchy 问题。问题。n n 其次，我们可以把一个一阶非线性其次，我们可以把一个一阶非线性 C-K C-K 型组型组 Cauchy Cauchy 问题化为一个与其等价问题化为一个与其等价的一阶拟线性的一阶拟线性 C-K C-K 型组的型组的 Cauchy Cauchy 问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数未知函数(hnsh)(hnsh)，然后这些新的未知函数，然后这些新的未知
8、函数(hnsh)(hnsh)对时间变量求微商，并利用已知对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。方程式即得。n n Cauchy Cauchy问题问题(7.4.2)(7.4.2)化为如下的一阶拟线性化为如下的一阶拟线性 C-K C-K 型方程组的型方程组的CauchyCauchy问题问题:第17页/共21页第十七页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方偏微分方程组程组 于是，C-K 定理 7.4.1可等价地叙述为 C-K型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所考虑的问题相比较，故须要(xyo)介绍强函数的概念。第18页/共21页第十八页，共21页。
9、第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.4.3 7.4.3 强函数强函数(hnsh)(hnsh)第19页/共21页第十九页，共21页。第第7章章 特征特征(tzhng)理论理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.4.4 C-K 7.4.4 C-K 定理的证明定理的证明n n（1 1）唯一性（幂级数解法唯一性（幂级数解法(ji f(ji f)）。）。n n（2 2）存在性（强函数方法）。存在性（强函数方法）。n n附注附注 1 1 该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。在性。n n附
10、注附注 2 2 由证明知，若方程右端及由证明知，若方程右端及CauchyCauchy数据是各自变量的解析函数，数据是各自变量的解析函数，则在初始平面则在初始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把这些解粘合在一起，就得到性知，把这些解粘合在一起，就得到 的一个领域中的解析解。的一个领域中的解析解。n n附注附注 3 C-K 3 C-K 定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上依赖与解析性假设。本质上依赖与解析性假设。第20页/共21页第二十页，共21页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第21页/共21页第二十一页，共21页。