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1、求极值的步骤求极值的步骤:(1)求定义域及导数求定义域及导数(2)求驻点求驻点,即方程即方程 的根的根;和不可导点和不可导点.判断极值点判断极值点;(3)检查检查 的驻点左右的正负号的驻点左右的正负号;或检查二阶导数的正、负或检查二阶导数的正、负.(4)求极值求极值.列表法列表法第五节第五节 最大值、最小值问题最大值、最小值问题一、最大值求法二、应用举例 三、小结若函数若函数 在在 上连续上连续,一、最值的求法一、最值的求法在在上的最大值与最小值一定存在上的最大值与最小值一定存在.则则步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数求区间端点及驻点和不可导点
2、的函数值值,注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,比较大小比较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)解解计算计算比较得比较得 求函数求函数 的在的在 上的最大值与最小值上的最大值与最小值.例例1 1最大值最大值最小值最小值二、应用举例二、应用举例实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,即为所求的最大即为所求的最大(或最小或最小)值值.则该点的函数则该点的函数
3、1.1.平均成本最小平均成本最小例2 2 某工厂生产产量为 x(件)时,生产成本函数(元)为求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小?并求出其最小平均成本和相应的边际成本.函数最值在经济中的应用函数最值在经济中的应用使平均成本最低时的产量此时此时,边际成本等于平均成本边际成本等于平均成本2.2.最大利润最大利润 设总成本函数为C(x),总收益函数为R(x),其中x为产量,则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为 假设产量为 时,利润达到最大,需要 可见,当产量水平 使得边际收益等于边际成本时,可能获得最大利润.L(x)=R(x)C(x)则由极值的必要条件和极值的第二充分条件,L(x)必定满
4、足:存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品 x 千件的收入是例例3.设某工厂生产某产品 x 千件的成本是解解:售出 x 千件产品的利润为问是否故在 x2=3.414千件处达到最大利润,而在 x1=0.586千件处发生局部最大亏损.例例4:设在某生产周期内生产某产品设在某生产周期内生产某产品 x 个个单位时，平均成本函数为单位时，平均成本函数为需求函数为需求函数为 试求：试求：1)该周期内的总成本函数和边际成本函数该周期内的总成本函数和边际成本函数;2)在该周期内获得最大利润时的产量和价格；在该周期内获得最大利润时的产量和价格；3)当当p=2时时,需求量需求量x对价格对价
5、格p的弹性，并解释的弹性，并解释经济意义。经济意义。略解略解产量为5，价格为11时利润最大。注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.关于利润最大化的应用问题关于利润最大化的应用问题三、小结三、小结作业作业:P 31:一一,二二,四四 P 35:三三(6)思考题思考题思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值但有最小值但 若若 是是 在在 上的最大值或上的最大值或最小值最小值,且且 存在存在,是否一定有是否一定有练练 习习 题题练习题答案练习题答案