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1、浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌12020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（三）套密押预测卷（三）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分选择题部分注意事项注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小
2、题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.下列说法与数列极限limnnaA不等价的是（）.A.20,nNNnnN aA，当B.1,kknkNNNnnNaAk，当C.0,100nNNnnN aA，当D.0,nNNnnN aAn，当2.函数 yf x在0U x有定义，则 f x在0 x点可导的充分必要条件是（）A.001limttfxf xt存在B.20021limttfxf xt存在C.0001lim2hf xhf xhh存在D.0001limhf xf xhh存在3.若连续函数()f x满
3、足关系式20()ln22xtf xfdt,则()f x等于()A.ln2xeB.2ln2xe浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌2C.1 ln2xe D.21 ln2xe 4.设()f x有连续的导数,(0)0f,(0)0f,220()()()xF xxtf t dt,且当0 x 时,()F x与4x是()A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.无法判断5.11yx，21xye是微分方程11xyxyy的解，其通解为()A.12xC exCxB.2121xxC exCexxC.22121xC exCxxxD.121xC exC x非选择题部分非选择题
4、部分注意事项注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.6.求极限2013sincoslim1 cosln 1xxxxxx.7.函数 221arcsin426f xxx，其定义域为.8.已知 23f，求极限 2lim22xx ffx.9已知函数cosxyyex，求y.10.求不定积分1sin22sindxxx.11.计算极限21limcosnnkkknn.12.求级数214nnn
5、xn的收敛域为.13.求微分方程22xyyye的通解y.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌314.若2a，4b，2ba bba，则a与b夹角的余弦值为.15.已知平面与直线1l：112xytzt 以及直线2l：121121xyz都平行，且过原点，求平面方程.三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16.设函数 02,0,0 xtf t
6、dtxF xxxA，其中 f x为一阶连续可导函数，00f，若 F x在0 x 处连续，求A的值.17.设2221cos(),1cos()cos2txtyttuduu 0t，求dydx、22d ydx在2t的值.18.已知函数 347f xxx，求函数的凹凸区间与拐点.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌419.讨论方程ln1xxe在区间0,内根的个数.20.求不定积分1xxxedxe.21.设21,0,(),0,xxxf xex 求31(2)f xdx.22.求瑕积分211 lnedxxx.23.将函数 2cosf xx展开成x的幂级数.浙江专升本考前
7、 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌5四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分.24.证明不等式：当0 x 时，221 ln1xxx.25.设 f x，g x在,a b上二阶可导，且在区间,a b上存在相等的最大值，f ag a，f bg b，证明：至少存在一点,a b，fg.26.(1)证明：对任意的正整数 n，都有111ln(1)1nnn成立(2)证明：1111ln123nn.(3)设111ln(1,2,)2nan nn，证明数列 na收敛浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本
8、辅导专业品牌62020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（套密押预测卷（三三）参考答案与解析参考答案与解析一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.【答案答案】（D）【知识点知识点】数列极限的定义：对于数列 nu，有0，0N，当nN时，有nuA，则称数列 nu收敛，且收敛于 A，记做limnnuA。（对于这段话为一个无穷小量，n为一个无穷大量）【解析解析】A 选项中的2，B 选项中的1k，C 选项
9、中的100均是无穷小量，而由于n为一个无穷大量，所以 D 选项中的n不一定为一个无穷小量，故选 D2.【答案答案】（D）【知识点知识点】导数的定义0000limxf xxf xfxx【解析解析】A 选项10000001limlimxttxf xxf xtfxf xfxtx令仅能推出左导数存在。B 选项21002000201limlimxttxf xxf xtfxf xfxtx令仅能推出右导数存在。C 选项0001lim2hf xhf xhh不符合导数的定义表达式。D 选项00001limhf xf xhfxh 存在即0fx存在，故选 D。3.【答案答案】（B）【知识点知识点】积分上限函数的求导
10、。【解析解析】20ln22xtf xfdt，2fxf x；浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌7 2xf xCe，000ln2ln22tffdt；ln2C，2ln2xf xe，选 B。4.【答案答案】（B）【知识点知识点】无穷小的比较【解析解析】由题意可得要求极限 40limxFxx的值，40limxFxx=220040limxxxxf t dtt f t dtx=220402limxxxf t dtx f xx f xx=0302limxxf t dtx=202lim3xf xx（00f，00f 再用洛必达）=0lim3xfxx 故选 B 低阶无穷小5
11、.【答案答案】（D）【知识点知识点】二阶线性微分方程解的结构。【解析解析】一般由三个线性无关的非齐次特解1y，2y，3y可以表示二阶非齐次线性微分方程的通解，表达式为1122131yCyyCyyy，原式只给两个特解，故另一特解从表达式中可以得到，方法一（针对选择题）：可以看到四个选项已表示成1122131yCyyCyyy的形式，故推出3y，观察3y是否为原方程的解。A 选项：3yx，B 选项231yx，C 选项231yx，D 选项：31y 将三个3y代回原方程，31y 原方程成立，且11yx，21xye，31y 三个解线性浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业
12、品牌8无关，故选 D。方法二：已知我们需要表示非齐次通解需要三个线性无关的非齐次特解，故根据方程再求一个特解，根据观察31y 是方程的特解，且11yx，21xye，31y 三个解线性无关，故选 D。二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.6.【答案答案】32【知识点知识点】求极限。【解析解析】22200001113sincos3sincoscos3sin3limlimlimlim01 cosln 12222xxxxxxxxxxxxxxxxxx注：最后一步拆成两项需要满足两项极限都存在才可拆。7.【答案答案】5,33,5【知识点知识点
13、】求复合函数的定义域。【解析解析】221arcsin426f xxx2141x 53x 或35x；2260 x 3x 或3x；合并的定义域为 5,33,5x。8.【答案答案】6【知识点知识点】导数的定义【解析解析】2222lim22lim2262xxffxx fffxx 9.【答案答案】sin1xyxyyexyxe【知识点知识点】隐函数求导【解析解析】：sinxyyyxy ex1sinxyxyxeyyex浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌9sin1xyxyyexyxe 10.【答案答案】211tanln tan8242xxC【知识点知识点】换元积分法【
14、解析解析】方法一：1sin22sindxxx=12sin cos2sindxxxx=12sin1 cosdxxx=214sincos2cos222dxxxx=1tan24sincos22xdxx=2sec2tan24tan2xxdx=2tan12tantan224tan4tan22xxxddxx=211tanln tan8242xxC方法二：利用万能公式求解：22222222222tan,2212sin,cos,2arctan,1111112=412sin cos2sin2sin(1 cos)1(1)111111111lnln tantan444484282xuuxxxu dxduuuudxd
15、xduuxxxxxuuuuxxduduuduuuCCuu令u原式浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌1011.【答案答案】sin1cos1 1【知识点知识点】定积分的定义求极限。【解析解析】21limcosnnkkknn=11limcosnnkkknn n=10cosxxdx=10sincosxxx=sin1cos1 112.【答案答案】2,2【知识点知识点】求收敛域【解析解析】2212221 4limlim11 444nnnnnnxnnxxxnn22x 当2x 时，级数发散；当2x 时，级数发散；故级数的收敛域为2,2。13.【答案答案】121coss
16、in5xxyeCxCxe【知识点知识点】微分方程的求解【解析解析】先求对应齐次通解特征方程：2220rr；12,1r ri 齐次通解为12cossinxYeCxCx；再求非齐次特解 xmf xe Px型*kxmyx e Qx1不是特征方程的根，0k，1mPx，0m；故设 mQxa，*xyae；将*xyae代回原式，得22xxxxaeaeaee，15a；浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌11故解得非齐次通解为121cossin5xxyeCxCxe14.【答案答案】1【知识点知识点】向量运算【解析解析】2a，4b，a bb；02ba bba；222244c
17、os16 1632cosbabaab；cos1。15.【答案答案】0 xyz.【知识点知识点】直线方程与平面方程。【解析解析】平面同时平行两条直线，即法向量与两条直线的方向向量都垂直，故可得：120111,1,1121ijknss 又平面过原点，故平面表达式为0 xyz。三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16.【答案答案】0【知识点知识点】连续的定义【解析解析】利用连续定
18、义极限等于函数值求得 A。已知 f x在0 x 处可导，00f，0lim00 xf xf.（1 分）0limxF x=020limxxtf t dtx=0lim2xxf xx=0lim02xf x.（5 分）F x在0 x 处连续；0lim00 xF xFA.（7 分）17.【答案答案】22tdydx，22212td ydx 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌12【知识点知识点】参数方程求导【解析解析】22 sindxttdt，222sindyttdt.（1 分）dytdx，22212 sindydd ydtdxdxdtdxtt.（5 分）当2t时，2
19、dydx，2212d ydx.（7 分）18.【答案答案】凸区间,1，凹区间1,，拐点1,6【知识点知识点】函数凹凸性与拐点【解析解析】先简化函数 74343377f xxxxx 413372833fxxx，1233232828281999xfxxxx令()010()fxxxfx 得，为不存在的点.（2 分）当1x ，0fx；当10 x，0fx；当0 x，0fx；.（5 分）f x的凸区间为,1，凹区间为1,，拐点为1,6.（7 分）19.【答案答案】有且仅有 2 个根【知识点知识点】利用函数性质讨论方程的根【解析解析】将方程的根的问题转化为函数的零点问题，利用单调性和零点定理解决问题。ln1
20、xxe，ln10 xxe，ln1xf xxe.（1 分）11fxxe.（2 分）当xe时 0fx，当xe时 0fx，当0 xe，0fx.（4 分）故 f x在区间0,e上单调递增，f x在区间,e 上单调递减；f x在xe处存在极大值，1f e。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌13 f x在0,e上连续，00limlimln10 xxxf xxe 10f e 由零点定理可得，至少存在一点00,xe，使得00f x；又 f x在0,e上单调递增，f x在0,e有且仅有一个零点；同理可得 f x在,e 有且仅有一个零点。综上所述，函数 f x在0,x上有
21、且仅有两个零点。.（7 分）20.【答案答案】21414arctan11xxxxxxedxx eeeCe 【知识点知识点】不定积分，分部积分+换元积分法【解析解析】2121211xxxxxxedxxedxx eedxe;.（2 分）21xedx，令1xet，21xet，2ln1xt，222ln11tdxdtdtt；21xedx=2241tdtt=224441tdtt=2441dtt=44arctantt=414arctan1xxeeC .（4 分）21414arctan11xxxxxxedxx eeeCe .（8 分）21.【答案答案】713e【知识点知识点】求定积分。【解析解析】令2xt，x
22、的上限为 3，下限为 1，t的上限为 1 下限为-1.（1 分）11f t dt=1001f t dtf t dt=102011te dttdt=713e.（8 分）22.【答案答案】2【知识点知识点】瑕积分浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌14【解析解析】211 lnedxxx=21ln1 lnedxx.（4 分）1limarcsinlnettx=1limarcsinln2tt=2.（8分）23.【答案答案】221011 222!nnnnxn【知识点知识点】先转化为公式中的形式再展开。【解析解析】2cos21cos2xf xx.（1 分）f x=20
23、2111222!nnnxn=221011 222!nnnnxn（x ）.（8分）四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分.24.【知识点知识点】证明不等式【解析解析】利用函数的性质证明不等式221ln1xxx1ln1xxx1x，1ln1xxx1x.（1 分）当1x 时，2211 ln11 1，不等式成立.（2 分）令 2ln11f xxx 22212111xfxxxxx0 x，0fx，f x单调递增。.（4 分）10f；当1x，0f x，当1x，0f x；.（7 分）即1ln1xxx1x，1ln1xxx1x.（10 分）故不等式成立
24、。25.【知识点知识点】罗尔中值定理解方程【解析解析】令 F xf xg x.（1 分）由题意得 0F a，0F b。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌15又 f x，g x在,a b上有相等的最大值，不妨设12axxb，f x在1xx处取得最大值 M，g x在2xx处取得最大值 M。若12xxc，则 F c=0若12xx，则10F x，20F x，同时 F x在12,xx x处连续；由零点定理可得至少存在一点12,cx x，0F c 综上所述，至少存在一点,ca b，0F c.（2 分）F x在,a c上连续；F x在,a c上可导；F aF c由罗
25、尔定理可得，至少存在一点1,a c，10F；同理可得至少存在一点2,c b，20F；.（4 分）又 F x在,a b上二阶可导，可得到 Fx在,a b上连续；Fx在,a b上可导；120FF有罗尔定理可得至少存在一点,a b，使得 0F.（7 分）即 0fg故证毕.（10 分）26.【知识点知识点】解不等式。【解析解析】（1）令1xn，则原不等式可化为ln 11xxxx，0 x.（1 分）先证明ln 11xxx；令 ln 11xf xxx；浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌16当0 x，211011fxxx，f x为增函数，00f 0f x，故不等式成
26、立。再证明ln 1xx；令 ln 1g xxx，当0 x，01xgxx，g x为减函数，00g；0g x，故不等式成立。综上所述，当0 x，ln 11xxxx，即111ln(1)1nnn。.（4 分）方法二：1()ln(1)0111111()(0)()(0),0,ln(1),111111110,1 11,1,111111ln(1)1f xxnfffnnnnnnnn nnnnxnn 设，在，应用拉格朗日中值定理可得，其中即即得证。（2）由题 1 得，11ln(1)nn；那么11111111ln 1ln 1ln 1ln 123123nn11112 3 41ln 1ln 1ln 1ln 1lnln11231 2 3nnnn1111ln123nn.（5 分）（3）111ln2nann=1111ln2nann 11111ln 101111nnaannnn，即1nnaa单调递减；.（7 分）11naa又1111ln123nn浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌17111111lnln 1ln=ln 102nannnnn 01na即na有界。故na单调有界，根据极限存在准则，数列na极限存在。故证毕.（10 分）