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1、浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌12020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（一）套密押预测卷（一）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分选择题部分注意事项注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小
2、题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（）A.设0lim()xxf x存在，则必存在0，当x0(,)oU x时，()f x必存在.B.设()f x在0 xx处连续，则必存在0，当x0(,)oU x时，()f x亦连续.C.设0 xx为()f x的间断点，则0lim()xxf x必不存在.D.设0()f x不存在，则0lim()xxf x必不存在.2.设函数()f x在0 x 处连续，下列命题错误的是（）A.若0()limxf xx存在，则(0)0fB.若0()()lim
3、xf xfxx存在，则(0)0fC.若0()limxf xx存在，则(0)f 存在D.若0()()limxf xfxx存在，则(0)f 存在3.设()f x为已知连续函数，0(),0,0stItf tx dx st则I的值（）A.依赖于st和B.依赖于s、t、xC.依赖于s，不依赖于tD.依赖于t，不依赖于s4.设10(1,2,)nann则下列级数中肯定收敛的是（）A.1nnaB.1(1)nnnaC.1nnaD.21(1)nnna浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌25.设直线14:182yLxz 与26:23xyLyz，则1L与2L的夹角为（）A.2B
4、.3C.4D.6非选择题部分非选择题部分注意事项注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.6.当0 x 时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k.7.设函数()yf x由方程(1)xyyxe确定,则1lim()1nn fn.8.设函数()(ln)f xyfx e,其中()f x可微,则dy.9.曲线1(21)xyxe的斜渐近线为.10.函数()f x有任意阶导数，且2()()f
5、xfx,则()()nfx.11.求积分21ln(1)xdxx.12.设函数()f x具有 2 阶连续导数，若曲线()yf x过点(0,0)且与曲线2xy 在点(1,2)处相切，则10()xfx dx.13.求微分202cosxdxt dtdx.14.微分方程2xyyye的通解为.15.设一平面经过原点及点(6,3,2),且与平面428xyz垂直,则此平面方程为.三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算
6、过程，只写答案的不给分.16.计算极限201sinlimlnxxxx.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌317.设参数方程2022()()txf u duyf t其中()f u具有二阶导数，且()0,f u 求22d ydx。18.计算22(tan1)xexdx.19.计算401 cos2xdxx20.设(),0,()0,0,xg xexf xxx其中()g x有二阶连续导数,且(0)1,(0)1gg,求()fx；并讨论()0fxx在处的连续性。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌421.计算20(1)xxxed
7、xe.22.当0 x 时，方程211kxx有且仅有一个解，求k的取值范围。23.将函数1 2()arctan12xf xx展开成x的幂级数，并求级数0(1)21nnn的和。四、综合题：四、综合题：本大题共本大题共 3 小题，小题，每小题每小题 10 分，分，共共 30 分。分。24.一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px(万元/吨),x为销售量(单位：吨)，商品的成本函数31Cx(万元)。(1)若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2)t为何值时,政府税收总额最大。25.设函数()f x在1,上连续.若由曲线()yf x，直线1,(1)xxt t与x轴所
8、围成浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌5的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为2()()(1)3V tt f tf。已知 229f，试求 f x的表达式。26.设 函 数()f x在0,3上 连 续，在(0,3)内 存 在 二 阶 导 数，且202(0)()(2)(3)ff x dxff。(1)证明存在(0,2),()(0)ff使；(2)证明存在(0,3),()0f使。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌62020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（一）套密押预测卷（一）
9、参考答案与解析参考答案与解析一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.【答案】A【知识点】连续的定义【解析】由0lim()xxf x存在的定义中的要求知，凡讲到0lim()xxf x，那么在0 xx的某去心邻域内()f x必先要有定义，所以(A)正确；(B)的反例较为复杂，了解错误即可，令 f xxD x（D x为狄利克雷函数），该函数可作为反例；(C)的反例：设0 xx为()f x的可去间断点，而0lim()xxf x是存在的；(
10、D)的反例：函数值存在与否与该处极限值存在与否各不相干，故(D)错误。2.【答案】D【知识点】导数的定义【解析】(A),(B)两项分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可由连续推导出(0)0f。若0()limxxf xx存在，则(0)0f,00()(0)()(0)limlim0 xxf xff xfxx，可见(C)也正确，故应选(D)。事实上，可举反例：()0f xxx在处连续，且00()()limlim0 xxxxf xfxxx 存在，但()0f xxx在处不可导。3.【答案】C【知识点】积分上限函数的性质【解析】()()()00ssItf tx dxf tx d txtt令utx
11、，则(),0sIf u du，显然I与s有关，与t无关，故选(C).4.【答案】D浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌7【知识点】级数判断敛散性【解析】因为2221(1)nnnaan，由211nn收敛及比较判别法可知21(1)nnna绝对收敛。故 D 正确；另外，设1(1,2)2nann，则可知：（A）11111122nnnnann(C)1111212122nnnnann都不正确；设21210,(1,2)4nnaann，则可知(B)不正确。5.【答案】B【知识点】直线夹角【解析】直线1L的方向向量1(1,2,1)s直线2L的方向向量2(1,1,0)(0,
12、2,1)110(1,1,2)021ijks 1212121221cos(,)214 11 14s ss sss 则直线1L与2L的夹角为3。二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.6.【答案】3【知识点】无穷小的比较【解析】因31tan3xxx，则3k。7.【答案】1【知识点】导数的定义【解析】1x 时，1y 方程两边对x求导得:(1)1(1)xyyeyxy,所以(0)1y浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌81()(0)1lim()1lim(0)11nnffnn ffnn8.【答案】()1l
13、nlnf xefxfx fx dxx【知识点】复合函数微分【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由()(ln)f xyfx e可知 ()()()1lnln1lnln.f xf xf xdyfx edxfx efx dxxefxfx fx dxx9.【答案】21yx【知识点】求渐近线【解析】1()(21)limlim2xxxf xxekxx1lim()(21)21xxbf xkxxex故斜渐近线为21yx。10.【答案】1!()nn fx【知识点】高阶导数【解析】因2()()fxfx，则23()2()()2()()2()fxf x fxf x fxfx24()3()()2 3(
14、)fxfx fxfx由数学归纳法可知：()11()2 3()!()nnnfxn fxn fx11.【答案】ln2【知识点】反常积分【解析】2111lnln1(1)1(1)xxdxdxxxxx 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌91lnln21xx12.【答案】2ln22【知识点】定积分的计算【解析】111000()()()(1)(1)(0)xfx dxxfxfx dxfff2ln2202ln2213.【答案】20224cos2cosxt dtxx【知识点】积分上限函数求导【解析】220022coscosxxddxt dtxt dtdxdx20222co
15、scos2xt dtxxx20224cos2cosxt dtxx14.【答案】12(cossin1)xe cxcx【知识点】微分方程求解【解析】微分方程2xyyye所对应的齐次微分方程的特征方程为2220,解之得1,21 i，故对应齐次微分方程的解为12(cossin1)xye cxcx。由于非齐次项,1xe不是特征根,设所给非齐次方程的特解为()xyxae,代入2xyyye得1a(也不难直接看出*()xyxe),故所求通解为1212(cossin)(cossin1)xxxye CxCxee CxCx.15.【答案】2230 xyz【知识点】求平面方程【解析】方法一方法一：所求平面过原点O与0
16、(6,3,2)M,其法向量06,3,2nOM；平面垂直于已知平面428xyz,它们的法向量也互相垂直：04,1,2nn；由此,00/632446412ijknOMnijk。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌10取223nijk,则所求的平面方程为2230 xyz。方法二：方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M的向量06,3,2OM,另一是平面428xyz的法向量04,1,2n平行的平面,即6320412ijk,即2230 xyz。三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每
17、小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16.【答案】16【知识点】求极限【解析】方法一方法一：22001sin1sinlimlnlimln(11)xxxxxxxx.（2 分）32000sincos1sin1limlimlim366xxxxxxxxxx .（7 分）方法二方法二：22001sincossinlimlnlim2sinxxxxxxxxxx洛必达法则.（2 分）3200cossinsin1limlim266xxxxxxxxx 洛必达法则.（7 分
18、）17.【答案】22224()2()()f tt ftf t【知识点】参数方程求导【解析】这是由参数方程所确定的函数222222()()24()();()dydxf tf tttf tf tf tdtdt .（2 分）22224()()4()()dydytf tf tdttf tdxdxf tdt.（4 分）22222()()/4()4()2=/()dydydddtd yf ttfttdxdxdxdxdx dtf t浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌1122224()2()()f tt ftf t.（7 分）18.【答案】2tanxexC【知识点】不定
19、积分【解析】22(tan1)xexdx22(sec2tan)xexx dx.（1 分）222sec2tanxxexdxexdx22tantanxxe dxxde.（3 分）222tantantanxxxexxdexde.（5 分）2tanxexC.（7 分）19.【答案】1ln284【知识点】求定积分【解析】24400sec1 cos22xxxdxdxx.（2 分）444000111tantantan222xdxxxxdx4011(0)ln(cos)2 42x.（3 分）1ln(cos)ln(cos0)824.（5 分）121lnln282284.（7 分）20.【答案】【知识点】求导定义【解
20、析】由于()g x有二阶连续导数,故当0 x 时,()f x也具有二阶连续导数,此时,()fx可直接计算,且()fx连续；当0 x 时,需用导数的定义求(0)f。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌12当0 x 时,22()()()()(1)()xxxx g xeg xexg xg xxefxxx当0 x 时,由导数定义,有2000()()()(0)1(0)limlimlim222xxxxxxg xeg xegxegfxx洛洛.所以2()()(1),0()(0)1,02xxg xg xxexxfxgx.（3 分）()fx在0 x 点的连续性要用定义来判定
21、.因为在0 x 处,有200()()(1)lim()limxxxxg xg xxefxx0()()()(1)lim2xxxg xxgxg xexex 0()(0)1lim(0)22xxgxegf()0fxx 在处连续。.（8 分）21.【答案】ln2【知识点】反常积分【解析】方法方法 1:因为200001(1)111xxxxxxexdxdxxdeeee分部积分00001(1)1111xxxxxxxexdxdeeeee0ln(1)1xxxeelimln(1)ln21xxxxxeee.（5 分）而limln(1)limln(1)11xxxxxxxxxxexeeeeee浙江专升本考前 10 套密押预
22、测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌13limln(1)1xxxxxexeelim001xxxe,.（8 分）故原式ln2方法方法 2:220001(1)(1)1xxxxxxexedxdxxdeee 00001111xxxxxxdxdxedxeeee.（4 分）001(1)ln(1)ln21xxxdeee .（8 分）22.【答案】有且仅有一个实根【知识点】讨论方程根的问题【解析】方程211kxx的解即为32()1f xkxx的零点.要证明方程211kxx有且仅有一个解，只需要证明()f x是单调函数，且它的函数图像与x轴只有一个交点。证明过程如下：令32()1f xkxx，2()3
23、2(32)fxkxxxkx0()0,()(0,)(0)10,lim()xkfxf xff x 当时，在单调递减，()(0,)f x由零点定理可知，在有唯一的零点；.（3 分）2=0()1,()(0,)1;kf xxf xx 当时，在有唯一的零点.（4 分）2220()0,()(0,)()333kfxxf xkkk当时,令得在单调递减，在，单调递增，2242()1,(0)10,lim(),()03273xfff xfkkk 而当且仅当最小值时，f x2 3(0,)9才在有唯一的零点，这时k=。.（5 分）浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌14综上所述，当
24、0k 或2 39k 时，原方程有唯一实根。.（8 分）23.【答案】【知识点】将函数展开成幂函数【解析】22021 1()214,142 2nnnnfxxxx 又(0)4f，2000()(0)()2(1)44xxnnnnf xff t dttdt210(1)41 12,(,)4212 2nnnnxxn.（3 分）0(1)21nnn收敛，函数 f x在12x 处连续，0121nn发散，函数 f x在12x 处发散，2100(1)41(1)()24212421nnnnnnf xnn，1 1,2 2x 再由1()02f得0(1)1()21424nnfn。.（8 分）四、综合题：本大题共四、综合题：本
25、大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分.24.【答案】【知识点】导数的应用（经济方面）【解析】（1）设T为总税额,则Ttx。商品销售总收入为2(70.2)70.2Rpxx xxx2270.2310.2(4)1LRCTxxxtxxt x 利润函数为50.440,(4),2L xxtxt 令即得5=0.40,(4)2Lxxt 由于即为利润最大时的销售量。.（5 分）（2）2555(4)=,=t(4)10222xtT txTttt将代入得浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌15t0,t=2ttT 由于T得唯一驻点t=2;由于T可见
26、当时 有极大值，这时也是最大值，此时政府税收总额最大。.（10 分）25.【答案】【知识点】定积分求体积+微分方程【解析】由绕x轴旋转的旋转体体积公式得222()(),()=()(1)113ttV tfx dxfx dxt f tf于是，根据题意得，22223()()(1),()2()()1tfx dxt f tftfttf tt f t即两边对 求导，化成微分方程得3()(),f txf t其中是未知数，按通常以 为自变量，y表示未知函数于是上述方程可写为2222,=32()dyyyx yyxydxxx 即（）.（5 分）,=,dyduyuxuxdxdx这是一阶齐次线性方程，令有则上式化为2
27、()32,()3(1)duduuxuuxu udxdx即220,0,9xuyuxy若则不满足初始条件舍弃；221,019xuyuxxyuu若则也不满足初始条件舍弃；所以且。33231()3(1),(1),2,=19xdududxuxu uCxdxu uxuyxCx y CyC由分离变量得两边积分得从而方程的特解为为任意常数。再代入初值，由得，从而所求的解为33(1)1xyxx yyxx 或.（10 分）26.【答案】【知识点】中值定理【解析】(1)因函数()f x在0,3上连续，且201(0)()2ff x dx，由积分中值定理可得：存在(0,2)，使201()()2ff x dx，即：()(
28、0)ff。.（4 分）(2)由题设1(0)(2)(3)2fff可知，当(2)(3)ff时，必有(0)(2)(3)fff；当(2)(3)ff时，由闭区间上连续函数的性质(介值定理)可知，存在(2,3)，使得：浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌161()(2)(3)(0)2ffff这 样 一 来，在 闭 区 间0,3上 总 有 不 相 同 的 两 点(0,2)，(2,3)，使 得(0)()()fff，分别在区间0,、,上对()f x应用罗尔定理可得：分别存在12(0,),(,),使得1()0f、2()0f，由于()fx在区间12,上满足罗尔定理的条件，从而对()fx在区间12,上使用罗尔定理可得：存在12(,)(0,3)，使得()0f。.（10 分）