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1、第第 18 课课 小样本统计小样本统计 小样本 当样本容量 N 较小时，分布特性的估计量 a（均值、方差、90百分位值等）通常不是正态分布的。在这种情况下，估计值和标准化统计量 z 的（用来得到置信区间和假设检验）可以用随机模拟进行近似。为了在随机模拟中产生随机复本，我们需要确定特性 a 的值（或者是与它相关的参数）。对于置信区间估计，我们假设（由实际数据计算出的估计值）；对于假设检验，我们假设（假定的参数值）。随机模拟用大量长度为 N 的随机样本复本生成的估计值。通过所有这些估计值，可以得出期望的估计值和标准化统计量的。例子指数分布的均值的小样本双边置信区间 考虑一个取自含有未知参数 a、已
2、知符合指数分布的总体的小样本：样本均值是 a 的无偏估计量：在大样本情况下，我们由标准化统计量 z 得到 a 的置信区间。z 的复本 i 为：其中和是由所有复本的估计值（例如 i）计算得到的样本均值和标准差。每个是取时用 MATLAB 的 exprnd 函数计算得到的 N=5时的数值。累积分布函数是通过函数或作出的复本图得到的。这个例子中，在数值较小和较大的部分都明显偏离单位正态分布：在大样本情况下，用来确定和的值：a 的小样本双边 95置信区间近似为：为了进行比较，给出 a 的大样本（正态分布）双边 95置信区间为：就小的样本容量而言，差别是微小的。但 a 的小样本和大样本的 99置信区间相
3、比较，差别就较大了。例子指数分布的均值的小样本双边假设检验 考虑上面例子，假设：与上面类似，我们可以利用随机模拟得到这个假设的拒绝域和 p 值；不同的是，在这里，函数中取，并按下式由复本得到：在这种情况下，的图和上面例子中的图相同。由观察到的样本的均值得到的检验统计量为：这样得到的 a 的 p 值近似为 0.004（如图），因此我们拒绝这个假设。特殊情况：正态分布样本 如果随机样本符合正态分布，则得到某个标准化统计量的小样本的精确 CDF 是可能的。正态分布的小样本双边置信区间 均值均值的置信区间的置信区间：标准化统计量：它有一个自由度为的 t 分布。置信区间：用 MATLAB 的函数估计。方差方差的置信区间的置信区间：标准化统计量：它有一个自由度为的分布。置信区间：用 MATLAB 的函数估计。正态分布的小样本双边假设检验 均值的假设检验：用 t 检验统计量：P 值为：用 MATLAB 的函数估计。方差方差的假设检验的假设检验 用分布检验统计量（）：用 MATLAB 的函数估计。tCDF 分布分布 版权属于麻省理工学院 2003 年 最后修改日期 2003 年 10 月 8 日