《2012考研必备 概率统计 假期复习金典.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012考研必备 概率统计 假期复习金典.pdf（45页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一部分第一部分 概率的基本概念概率的基本概念（一（一）基本内容）基本内容 1.事件与其概率 事件与其概率（1）概率论与数理统计都是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支学科。（2）随机试验：对客观事物进行一次观察或一次实验，我们统称为一个实验。如果这个实验满足条件：试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个，且事先冷明确知道试验的所有可能结果；在一次试验之前不能确定哪一个结果一定出现。则称这个试验为随机试验，记为E。（3）随机事件：在随机试验中，可能发生，也可能不发生的事件（或随机试验的结果）称为随机事件，简称事件。记为A或B或C等。必然事件：在一次试验中必然发生的事件称为必然事件
2、，记为。不可能事件：在一次试验中一定不能发生的事件称为不可能事件，记为。必然事件和不可能事件都是确定的，只是为了需要，我们把它归结为随机事件的两种特例。基本事件：随机试验的每一结果（不能再分的）称为基本事件。复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。（4）事件与点集关系：我们将事件定义为样本点的某个集合，即基本事件（样本点）可视为集合中的一个点；随机试验 E 的所有基本结果的全体称为样本空间（集合）仍为（必然事件）；不包含任何 56点的集合称为空集（不可能事件），仍记为。这样就能将集合论的知识全部用来解释事件及事件的运算。（5）事件A的概率，通俗的讲就是刻划事件A发生的可能性的大小
3、的度量。2.事件间的关系及其运算 2.事件间的关系及其运算（1）包含：如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称B包含A，或A包含于B记为BA或AB 包含关系具有性质：AA 若AB，且则 BCAC A （2）相等：若AB，且BA则称A与B相等，记为AB=（3）并（和）事件A或B，即两事件A、B至少有一个发生，称为事件A与B的并（和）。记为或ABAB+（4）交（积）：事件A且B，即A与B 同时发生，称为A与B的交（积），记为或ABAB。（5）差：事件A发生，但B不发生的事件称为事件A与B的差，记为AB或AB（6）互斥（互不相容）：若事件A与B满足AB=，则称A与B互斥。（7）对立：如果事件A与B满
4、足条件,ABAB+=，则称A与B互为对立事件，记为BA=或AB=，其中B称为A的逆事件。对立事件具有性质,AA=)（8）完备事件组：若事件满足条件12,nA AA?12,(,1,2,3,nijAAAA Aij i jn+=?，则称事件 5712,nA AA?为一完备事件组（或一个划分）。说明：事件的和与积都可推广到有限个或可列个的情形。3.事件的运算规律事件的运算规律 交换律：,ABBA ABBA+=+=结合律：()(),()()ABCABCAB CA BC+=+=分配律：(),()()()AB CACBCAB CACBC+=+=+摩跟律：,ABAB ABAB+=（可推广到任意多个的情形）。除
5、上述基本运算规律还有：蕴涵律：,ABAABBABAABB+重迭律：,AAA AAA+=吸收律：,AAA AA A+=+=对立律：,?AAAA+=4.事件的频率与概率事件的频率与概率（1）频率：若在n次试验中，事件A发生了次，则称()nF An=为事件A在n次试验中出现的频率。（2）概率的统计定义：设在n次试验中事件中，事件A发生次，当n很大时，如果其频率n稳定的在某一数值附近摆动，且随n的增加，摆动幅度越来越小，则称为事件ppA的概率，记为()P Ap=（3）概率的古典定义 古典概型：若随机试验E具有两个提点，即样本空间的基本事件个数为有限；每个基本事件发生的可能性相同（等概），58则称此模型
6、为古典概型。概率的古典定义：在古典概型中，若基本事件个数为n，而事件A包含了m个基本事件，则事件A 的概率为 ()mP An=5.概率的基本性质 5.概率的基本性质 （1）非负性：()0P A（2）规范性：()1P =（3）有限可加性：若AB=，则()()()P ABP AP B+=+推论：()1P=若1,2,nA A?A)满足(ijA Aij=则 11()(nniiiipAP A=)对任何事件A 有()1()P AP A=若BA 则有()()()P ABP AP B=对任意事件A 与B 有 ()()()(P ABP AP BP AB)+=+其中性质（3）和推论（5）就是通常所说的概率的加法公
7、式。6.条件概率及乘法公式 6.条件概率及乘法公式（1）条件概率：设A、B 为两个事件，当 是，称()0P B(|)()P ABP A BP B=)为在事件B 发生条件下A发生的条件概率。很明显在 或时，有()0P A()0P B 59()()(|)()(|P ABP A P B AP B P A B=)（2）全概率公式：设事件12,nA A?A 为样本空间 中的完备事件组（部分），且，对任意事件()0(1,2,)iP Ain=?B，称 为全概率公式。1()()(|)niiP BP A P B A=i)（3）贝叶斯公式：在全概率公式的所描述条件下，由 立即可得贝叶斯公式：()()(|)()(|
8、iiiiP ABP A P B AP B P A B=1()(|)(|)()(|)iiiniiiP A P B AP A BP A P B A=（4）事件的独立性：对事件A 与 B若有()()()P ABP A P B=则称事件A与 B相互独立。由独立性可得：若 A与B 独立，有()0P A(|)()P B AP B=；若A，B 独立则,;,;,A B A B A B 也独立 对三个事件,A B C 如果满足以下等式()()()()P ABCP A P B P C=且 则称()()(),()()()()()()P ABP A P B P ACP A P CP BCP B P C=,A B C
9、相互独立。注意：若,A B C 相互独立，一定两两独立；但两两独立，不能保证三个相互独立。（5）乘法公式：（可以推广）当,A B 相互独立是，有()()()P ABP A P B=当,A B 不独立时，有()()(|)()(|P ABP A P B AP B P A B)=7.独立重复试验贝努里概型 7.独立重复试验贝努里概型（1）独立重复试验：如果每次试验都是在相同的条件下进行；各 60次试验相互独立。如果试验进行了 次，则称为 重独立重复试验。nn（2）在 重独立重复试验的前提下，若每次试验C 有两种结果nA 及 A且(),()1P Ap P Ap=，则称为 n重贝努里试验，即贝努里概型。
10、（3）贝努里公式：若在一次试验中事件 A发生的概率为，则在 重贝努里试验中事件恰好发生 次的概率为()(01)P App=nk ()(0,1,2,;1)kkn knnP kC p qkn qp=?（二）基本要求 1.理解随机现象的普遍性、随机现象在一次试验中的不确定性，在大量重复试验之下，又必然具有某种规律性。2.了解随机试验的概念并能据此分析试验的结果，从而搞清样本空间是由哪些样本点构成；搞清某一具体事件是由哪些试验结果组成。3.掌握事件间的关系及事件间的运算和运算规律 4.掌握事件间的频率的统计定义，知道概率的统计定义，掌握概率的古典定义。5.记住概率的基本性质及两个概率模型（古典概型和贝
11、努里概型）。6 理解事件的独立性概念并搞清事件互斥、对立与独立三者之间的关系。7.牢记排列组合的计算公式，古典概型的概率公式、概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式，并搞清这些公式的使用范围；熟练掌握上述公式在实际问题中的运用和计算。61（三）典型例题 问题一 事件及其运算 问题一 事件及其运算 例例 1 1 在有编号为 1 的五张卡片中，任意取二张，记录编号的和，试写出随机试验所有可能的不同结果的全体,2,3,4,5。解 解 容易看到，最小编号和为1 23+=，最大编号和为459+=，编号和还能取 与 中的每个整数，记 39i表示“编号和为i”，3,4,9i=?故 3
12、49,=?例 2 例 2 在管理系学生中任意选一名学生，令事件A=选到的是男生，B=选到的是三年级学生，C=选到的是运动员。试问：（1）事件 ABC 的含义是什么？（2）在什么条件下，ABCC=成立？解 解 （1）事件ABC 表示选到的是三年级的男生，但不是运动员。（2）ABC等价于 且 有 即全系的运动员都是三年级的男生。C=ABCCCABCCAB 例 3 例 3 试用 中的三个事件,A B C 表示如下事件：（1）A与 B都发生而 不发生；C（2）,A B C 中至少发生一个。解解（1）事件 A与B 都发生而 不发生 可以表示为 CABC或 或 ABCABABC（2）事件,A B C 至少
13、发生一个 可以表示为 或ABCABC 或ABCABCABCABCABCABCABC 这里最后一个表达式中包含了,A B C 三个事件“恰好发生一个”、“恰好发生两个”、“三个都发生”这三种情况。注 注 事件的表达式并非唯一，在求事件的概率时，我们通常选择计算时简单的表达形式。62例 4 例 4,A B 为二事件，则AB AB AB AB AB 解 解 选 事件的运算规律类似集合的运算规律，它不同于代数中的运算，请读者特别注意加法对乘法的分配律：()()()ABCABAC=与德莫根 De-Morgan 律 11()nniiiiA=A 11nniiiiAA=另外，在没有括号的事件运算中，总是先作逆
14、运算，其次作积运算，最后作和或差的运算。例 5 例 5 设,A B C 表示三个事件，则 ABC表示（）,A B C 中有一个发生 ,A B C 都不发生 ,A B C中不多与一个发生 ,A B C 中恰有两个发生 解解 选 例 6 例 6 事件,A B互为对立事件等价于（）,A B互不相容,A B 相互独立 AB=,A B构成对样本空间的一个部分 解解 选 样本空间 中一组事件 1,2,nA A?A)若满足：（1）两两互不相容，即iA(ijA Aij=；（2），则称1niiA=1,2,nA A?A 为 的一个部分。例 7 例 7,A B C 中B 与互不相容，则成立()C ()ABCA=()
15、ABCA=()ABC=()ABC=63解 解 选.因为此时,BCAA=，故有()()ABCAA=例 8例 8 甲、乙二人分别对目标射击一次，令,A B表甲、乙射击射中目标，下面用,A B表示一些事件，其中错误的是（）AB表甲、乙两人都击中目标；AB表甲、乙两人都未击中目标；AB表甲、乙两人至少有一个击中目标 AB表甲击中而乙未击中目标。解 解 选。ABAB=表甲、乙两人至少有一个击中目标，而甲、乙两人都未击中目标只是AB 的子事件。例 9例 9 判断关于事件的结论()ABBA=是否成立，为什么？解 解 不成立。由事件运算的分配律 ()()ABBAB BABBBABAB=显然，ABA但是不一定有
16、AAB 故结论()ABBA=不成立。比如：从1,共十个数中随机取一数。记 2,3,10?A=取道数字，3,4,5,6B=取道数字，取道数字，取道数字 ，显然 5,6,7,8注 此例表明事件的运算与代数中的运算不一定相同。在代数中有，但是在事件中()()(abcabc+=+)(ABCABC 问题二 古典概型 问题二 古典概型 例 1 例 1 从一副除去两张王牌的 52 张扑克牌中任意抽 5 张，其中没有K 字牌的概率为（）4852 54852/CC5512()13 5548/52C解解 选 古典概型的基本特征：一是有限性，二是等可能性。即试验E 的样本空间是有限的，可记为12,n =?；事件12
17、,n?的发 64生是等可能性的，即 121nPPPn=?例2 某城市的电话号码由 位数字组成，每位数可以是从 到 9这十个数字中的任意一个，则电话号码最后四位数全不相同的概率是（）70 410/10A447410/10C410/10A7710/10A解 选 由古典概型样本点总数为，事件710A 包含的样本点个数为341010,A，故应选 在古典概型的计算中，排列数与组合数不应混淆，一个简单的方法是，交换次序后看是否是同一个事件。如果交换次序后事件改变这是排列问题，否则是组合问题。例 3例 3 箱中有10件产品，其中有1 件次品，在9 件合格品中有 件一等品，件二等品，现从箱子中任取 件，试求：
18、633（1）取得的 件都是合格品，但是仅有 件是一等品的概率。3（2）取得 件产品中至少有 件是一等品的概率。32解解（1）件产品中任取3 件，所有可能组合数为，而取得3 件都是合格品，但是仅有 1件是一等品（此时显然二等品为 件）的数目为10310C21201236316CCCCC=（次品数为 件）故所求概率为 0 116423100.15C CPC=（3）同第一小题，基本事件总数为，有利于310CA 的基本事件数为（第一项为恰好有 件一等品，第二项为3 件一等品）故所求概率为 213646C CC+2 65 213646231023C CCPC+=例 4例 4 从 1,这九个数字中任取三个
19、数，求：2,3,9?（1）三数之和为10 的概率；三数之积为 的倍数概率 1P212P解：解：此题可以作为组合问题来处理，因为取出的三个数交换次序后不影响他们的和或积。（1）基本事件总数为，有利于三数之和为10 的基本事件只可能有4 个，即取出的结果为39C 1,2,7,1,3,6,1,4,5,2,3,5,，则所求概率为 1394121PC=)（2）基本事件总数为，取出三数之积为 的倍数，必须有一个数为 7，另外二数中至少有一个为 的倍数，故有利于三数之积为21 的倍数的基本事件数为，则所求的概率 39C21311121353(C C CC+1112213533()14PC C CC=+=4例
20、 5例 5 将三个小球随机地向标号为一、二、三、四的四个盒子中投放，试求以下事件的概率：（1）第二号盒子中恰好被投入一个的概率；1P（2）第一、第二号盒子中被投放一个球的概率。2P解：解：每个球都可能投入标号为一、二、三、四的四个盒子中的任意一个，且是等可能的，试验的所有基本事件数为346=（1）第二号盒子中恰好有一个球，可以为三个球中任一个故有 种可能，其余二个球可投入另外三个盒子中任3 66有 种可能，由乘法原理，有利于的基本事件数为 则所求概率为2323 327=i12764P=（2）23 2 396432P=注 在（1）中不能认为有利的基本事件为数 得31364P=，请读者考虑为什么？
21、例 6例 6 袋子中有二个白球一个红球，甲从袋子中任取一球，放回后，乙再从袋子中任取一球，则甲乙两人取得的球同颜色的概率为（）19 29 49 59 解解 选 问题三 利用概率基本性质计算 问题三 利用概率基本性质计算 例 1 掷两粒色子，出现“点数之和为偶数或小于5”的概率是多少？解解 设点数之和为偶数点数之和小于 易得114(),(),()2636P AP BP AB=19=则所求概率为1115()()()()2699P ABP AP BP AB=+=+=例 2例 2 有10 件产品，其中3件次品，从中任意取出 件求至少有 1件是次品的概率。3解法一解法一 设件中至少有 1件是次品,3B=
22、3iA=件中恰好有 件产品,i1,2,3i=从10 件产品任取 3件有 种可能的结果，3件中恰好有 i件次品 的取法有i310C(1,2,3)i=337iC C 种，因而 67 337310()iiiC CP AC=显然 两两互不相容，且123,A A A31iiBA=故所求概率 3311()()()iiiiP BPAP A=333731101724iiiC CC=解法二解法二 如解法一所设3B=件全是正品 有 373107()17CP BC=，故所求概率 717()1()12424P BP B=可见，有时利用对立事件间的关系求概率的方便的。例 3例 3 已知(),(),()P Ap P Bq
23、 P AB=求(),(),(),(P AB P AB P AB P AB)解解 由加法公式 故()()()()P ABP AP BP AB=+()()()()P ABP AP BP ABpq=+=+由()ABABAAB=而ABA 根据减法公式()()()()P ABP AABP AP ABq=同理()()()()P ABP BABP BP ABp=()()1()1P ABP ABP AB=例4 A.B为两事件，若()0.8,()0.2,()0.4P ABP AP B=，则成立 ()0.32P AB=()0.2P AB=()0P BA.4=()0.48P BA=解解 选 ()1()0.2P AB
24、P AB=例5 对任意三个随机事件,A B C，证明 ()()()(P ABP ACP BCP A)+证明 因为(),AA BCBCABC由概率运算的单调性，所以()()()P AP A BCP ABAC=()()()()()(P ABP ACP BC+P ABP ACP ABC=+)68问题四 条件概率与乘法公式 问题四 条件概率与乘法公式 例 1例 1 管理系二年级100 名学生中有男生（以A 表示）80 人，来自北京的（以B 表示）人,这人中有男生12人，试求2020(),(),(|),(|)P A P B P B A P A B 解解 由古典概型 80()0.8100P A=20()0
25、.2100P B=20 12(|)0.410080P B A=12(|)0.1580P A B=例 2例 2 已知某厂生产的灯泡寿命在一万小时的概率为，在二万小时的概率为 ，试求已用一万小时的灯泡能用两万小时的概率。0.80.2解解 设 灯泡寿命在一万小时,设 A=B=灯泡寿命在两万小时由于已用两万小时的灯泡显然也用了一万小时的，即BA ，从而有ABB=此题是求条件概率，由定义(|)P B A ()()0.2(|)0.25()()0.8P ABP BP B AP AP A=注意 求条件概率一般有两种方法。其一是直接由条件概率的定义()(|)()P ABP B AP A=，先求 和（例如 2）；
26、其二是直接在缩小的样本空间中用古典概型计算（例如 1），一般地，用第二种方法较简捷。()P A(P AB)例 3例 3 盒子中有10个小球，其中6红4白。在盒子中任取一只，取后不放回在取一只，问：两次都取得红球的概率。解解 设“第一次取得红色小球”为A，“第二西取得红色小球”为 B 69 则AB=两次够取到红球，容易求出6()10P A=,5(|)9P B A=，由乘法公式 651()()(|)1093P ABP A P B A=i 注意 若将此例中“取后不放回再取一只”改为“取后放回再取一只”，即把“不放回”变为“放回”，则第二次抽取不受第一次的影响，此时6(|)()10P B AP B=，
27、于是 669()()(|)()()101025P ABP AP B AP AP B=，它表示在有放回时，事件A与事件B 独立。例 4例 4 甲袋中有个 白球1个黑球，乙袋中有2个黑球1个白球，从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球放回甲袋中，求：2 袋中还是 白1黑的概率 甲袋中为 白球的概率 21P32P解 解 记从甲袋取出白球放入乙袋，A=B=从乙袋中取出白球放回甲袋 由已知21(),()33P AP A=21113(|),(|),(|)142444P B AP B AP B A=1(1)|()()PP AB ABP ABP AB=+()(|)()(|)P A P B AP A P
28、B A=+ii21137323412=+=2111(2)()()(|)3412PP ABP A P B A=i 问题五 全概率公式和贝叶斯公式 问题五 全概率公式和贝叶斯公式 例 1例 1 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为，两台车床加工的零件放在一0.030.02 70起，并且已知第一台加工的零件比第二台零件多一倍，求：（1）任取一个零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是废品，求是第二台加工的概率 解解 设 取出的零件是第 i台车床加工,iA=(1,2)i=,取得废品 B=由已知 121221(),(),(|)0.97,(|)0.9833P AP AP
29、 B AP B A=（1）由全概率公式，任取一个是合格品的概率 2121()()(|)0.970.980.973333iiiP BP AP B A=+i=（2）由贝叶斯公式，如果取出为废品，它是第二台加工的概率为 22210.02()(|)13(|)()1 0.97334P AP B AP ABP B=i 例 2例 2 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲。假设男人和女人各占一半，现在随机地挑选一人，（1）求此人恰好是色盲患者的概率多大？（2）若随机挑选一人，此人不是色盲患者，问他是男人的概率是多少。解解 设：“挑选一人是男人”，：“挑选一人是女人”；1A2AB“挑选一人是色盲”由题设121
30、2()()0.5(|)0.05,(|)0.0025P AP AP B AP B A=（1）由全概率公式，挑选一人是色盲的概率 21()()(|)0.5 0.050.5 0.00250.02625iiiP BP A P B A=+=（2）由贝叶斯公式，所求概率为 71 111()(|)0.5(1 0.05)(|)0.48781()1 0.02625P A P B AP ABP B=例 3例 3 甲袋中有 个白球、个红球；乙袋有 个白球、个红球，从甲袋任取两个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求：2342（1）取出白球的概率（2）若已知取到白球，问由甲袋放入乙袋的两个球都是白球的概率？解解 从甲袋中
31、取两个有三种情形：没有白球，恰有一个白球，两个都是白球。设 iA=从甲袋中任取两球中有 i个白球,从乙袋中取出白球 0,1,i=2B=由题意，可得22325()0,1,2iiiC CP AiC=即21133201225536(),(),1010CC CP AP ACC=222251()10CP AC=又115401118845(|),(|)88CCP B AP B ACC=162186(|)8CP B AC=（1）由全概率公式，取出白球的概率为 203465153()()(|)1081081085iiiP BP AP B A=+i=（2）由贝叶斯公式，所求概率为 22216()(|)1108(
32、|)3()85P A P B AP ABP B=例 4例 4 ,A B为两事件，0()P A1 ，则下面结论中错误的是()()()()()P ABP AP BP AB=+()(|)(|)P BP B AP B A=+()(P AAP A=)()()(P ABP AP AB=+)解解 选 题目要求选错误的结论，是加法公式的一般形式；由于 72AAA=，故 成立；而ABABA=，且 A与BA 互不相容，故 成立。对于,()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A=+ii才成立，这是全概率公式。故 是错误的。问题六 事件的独立性，贝努里概型 问题六 事件的独立性，贝努里概型 例
33、 1例 1 三个元件串联的电路中，每个元件发生断电的概率依次是 和，求电路断电的概率。0.3,0.40.6解解 设表示“第 个元件发生断电”iAi1,2,3i=,电路断电 B=则 12312,3BAAABA A A=所求概率为123()1()1()P BP BP A A A=1231()()()1(1 0.3)(1 0.4)(1 0.6)0.832P A P A P A=注注 n个事件相互独立，一般不必检验 2nn1个等式成立，而是根据实际意义来确定。例 2例 2 某工厂生产产品需要三道工序，彼此独立，每道生产产品合格产品的概率是 和，求产品合格的概率。解解 设 0.95,0.90.8iA=第
34、道生产合格品 1,2,3i=B=产品合格 则123BA A A=故所求概率 123123()()()()()P BP A A AP A P A P A=0.95 0.9 0.80.684=例 3例 3 已知,A B C 两两独立11()()(),()25P AP BP CP ABC=，则()(P ABC=)140 120 110 14 解解 选 ()()()(P ABCP ABABCP ABP ABC=)1111()()()22520P A P BP ABC=73例 4例 4 某产品中一、二、三等品各占80 和 5%，现有放回抽样，每次取一件，共取三件，试求以下各事件的概率%,15%（1）三件
35、都是一等品 三件的等级全不相同 三件的等级不全相同 解 解 设 分别表“第i 次取得一等品，二等品，三等品，,iiA B Ci12=1,2,3i=（1）3123123()()()()0.80.5P A A AP A P A P A=（2）三件的等级全不相同(P)3!0.8 0.15 0.050.036=（3）三件的等级不全相同(P)1(P=三件的等级全相同)3331(0.80.150.05)0.4845=+=例5 设随机事件A 和B满足：0()1,01()1,P AP B()(|)1()P BP B AP A 证法一证法一：利用(|)(|)1P B AP B A+=由于ABB 故()(P AB
36、P B)，则 74()(|)1(|)1()P ABP B AP B AP A=()1()P BP A 证法二证法二：利用加法公式和乘法公式 由于 ()()()()1P ABP AP BP AB=+而 ()()(|),()1()P ABP A P B A P BP B=i 故 ()1()()(|)1P AP BP A P B A+i 即 ()(|)()()P A P B AP AP Bi 又因为，同除，得 ()0P A()P A()(|)1()P BP B AP A （四）检测题（四）检测题（一）单选题（一）单选题 1.设AB,则有()A发生,B必发生 ,A B同时发生 A发生,B必不发生 B发
37、生,A必发生 2.设A与 B互斥,且()0,()0P AP B,则A 与B 相互独立 不相互独立 不一定相互独立 相互独立 3.设 四个产品全合格,A=B=四个产品不全合格,四个产品中恰好有一个次品,则有(C=)AC=AB=BC=BC=4.设AB,则有 BAAB=+BAAB=+BAB=BAB=5.掷三个均匀硬币,若A=两个正面,一个反面 则有()()P A=12 14 38 18 756.已知是事件,A B 相互独立,且()(1),()P ABa aP Ab,=则()()P B=1 aba1abb 1 b 7.设,A B 为任二事件,则()AB=AB AB AB AB 8.设,A B为两个随机
38、事件,则,A B不同时发生可以表示为 AB AB AB AB 9.从 一付除去两张王牌的张扑克牌中,任意抽 张,其中没有 525K字牌的概率为 ()1213 54852/CC5512()13 51()13 10.设,A B 为任二事件,则()()()(P ABP AP B=)()()()P ABP AP B=+()()()P ABP A P B=i ()()()P AP ABP AB=+11.设事件 A与B独立,则下面的说法中错误的是()A与 B独立 A与B 独立()()(P ABP A P B=i)A与B一定互斥 12.在事件A 发生的概率为 p的 n重贝努里试验中,事件A 在 次试验中恰好
39、出现 次的概率为()nk (1)kkn knC pp(1)kppn k (1)kkn knA pp kp 13.设事件 A与 B相互独立,且0()P B1(|)()P B AP B3、证明：若(),()P Aa P Bb=则1(|)abP A Bb+（提示：注意）()()()()1P ABP AP BP ABab=+4、若(|)(|)P B AP B A=，试证明事件A 与B 相互独立 5、设事件 A与B 相互独立，证明 A与 B相互独立 786、证明若 则()0P A()(|)1()P BP B AP A （提示：）()()()()()1P ABP AP BP A P B+=+（五）综合运用
40、题（五）综合运用题 1、袋中有15 个球，其中有9 个新球，6 个旧球，第一次比赛时从中任意取一个，比赛完后仍放回袋中，第二次比赛时再从袋中任意取一个，试求：第一次恰好抽到新球的概率 第二次恰好抽到新球的概率 已知第二次恰好抽到新球，求第一次也抽到新球达到概率 2、某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂总产量的，经检验知各车间的次品率分别为。现从该种产品中任意取一件进行检查，试求：40%,38%,22%0.04,0.03,0.05（1）这件产品是次品的概率（2）已知抽得的一件是次品，问来自甲、乙、丙各车间的概率各是多少？第二部分 随机变量及其分布、数学期望 一填空题 1设随机变
41、量 ，若，则 79 解答，可得 则 2 已知随机变量 只能取 四个数，其相应的概率依次为 ，则 解答 由，可得 ，解得 4设 在 上服从均匀分布，则方程 有实根的概率为 解答 方程有实根 6已知 联合密度为，则，的边缘概率密度 解答 由，可得 ，得 807设平面区域 由曲线 及直线 所围成，二维随机变量 在 上服从均匀分布，则 关于 的边缘密度在 处的值为 解答 区域 的面积为，由题意可得 的概率密度为 则 关于 的边缘密度在 处的值为 三证明题 1设 是相互独立的随机变量，他们分别服从参数为 的泊松分布，证明：服从参数为 的泊松分布.证明：因为 ，于是 =即 服从参数为 的泊松分布.2 设
42、是分布函数，证明：对于任意，函数 也是分布函数.证明：作积分变换，则 是分布函数，于是 81 即 是分布函数，对于任意，有 所以 是递增函数.是分布函数，所以对，当 时，于是 由 任意性可知，即 右连续.因为 所以对，当 时，当 时，于是当 时 由 任意性可知 当 时 由 任意性可知 综上所述，也是分布函数.四计算题 1某射手有 发子弹，射击一次命中率为，如果他命中目标就 82停止射击，命不中就一直射击到用完 发子弹，求所用子弹数 的分布密度.解答 由题意可得 的分布率为 即 的分布率为 2随机变量 的分布密度为 求：常数.分布函数.解答 由 的性质可得 即 当 时，当 时，当 时，所以 的分
43、布函数为 833 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差 具有分布密度函数 求：测量误差的绝对值不超过 的概率.接连测量三次，每次测量是相互独立进行的，则至少有一次误差的绝对值不超过 的概率.解答 由题意可得 ，则 则 4设电子元件的寿命 具有密度为 问在 小时内，三只元件中没有一只损坏的概率是多少？三只元件中全损坏的概率是多少？只有一只元件损坏的概率是多少？解答 以 表示第 只电子元件的寿命，以 表示事件“在使用 小时内，第 只电子元件损坏”，则 84 5对圆片直径进行测量，其值在 上均匀分布，求圆片面积的概率分布.解答 设圆片直径的测得值为，面积为，则，又 的分布密度为 由，有，在
44、为单调函数，则，则 故 6设 服从参数为 的 分布，在 下，关于 的条件分布为表，表 所示 求 的联合概率分布，以及在 时，关于 的条件分布.解答 由题意可知，所以 又 85 所以 的联合概率分布为 在 时，关于 的条件分布为 7设随机变量 相互独立，并在 上服从均匀分布，求随机变量 的分布密度.解答 由题意可得 由于 相互独立，故 的联合分布密度函数为 当 时，所以 当 时，所 以 当 时，所以 所以 8设 相互独立，分布密度分别为 86 求随机变量 的分布密度.解答 由于 相互独立，故 的联合分布密度函数为 则 的分布函数为 当 时，当 时，所以 的分布密度为，即 9 设 相互独立，且在
45、上均匀分布，求使方程 有实根的概率.解答 在 上均匀分布，则 的分布密度为 又 相互独立，所以 方程 有实根条件是 即 所以 87 10设 的密度为 求：;解答 11假设随机变量 服从参数为 的指数分布，随机变量 求 和 联合概率分布；求 解答 随机变量 服从参数为 的指数分布，则由题意可得 88 第三部分 方差 第三部分 方差 一选择与填空题 1设随机变量 与 独立同分布，记，则随机变量 与 必然 不独立 独立 相关系数为零 相关系数为零 解答 所以 与 互不相关，故选择，但 与 互不相关却不能推断出 与 相互独立.2设，则 不存在 解答 由于 为非收敛数列，所以 不存在,故应该选.4已知
46、与 的联合分布如下表所示，则有 与 不独立 与 独立 与 不相关 与 彼此独立且相关 89解答 与 的边缘分布律分别为 则可计算得 ，所以 与 相关，又 所以 与 不独立，故应该选.5随机变量 与 不相关的充分必要条件为 解答 不相关的充要条件是，则 即，于是 ，所以选.6人的体重 ，个人的平均体重为，则下列结论正确的是 解答 由题意可知，则 所以应该选.7设 ，(为正整数)，则 解答 由题意有 (奇函数)所以 故 908设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量，则方差 解答 由题意可得 则 ，所以 9若随机变量 相互独立，且服从相同的两点分布，则 服从分布，.解答 设 为事件发生的概率，
47、则由题意可得 所以 二证明题 1设 是随机变量，是常数，证明：，其中.证明：2设 和 为相互独立的随机变量，其分布密度为 ，证明：他们的卷积，即随机变量 的分布密度也服从正态分布.91证明：由题意可知 和 服从 分布，则 令，得 即 也服从 分布.3设 相互独立，证明：证明：因为 相互独立，所以 于是 又 从而 4设 和 为随机变量的任意两个可取值，分别为其数学期望与方差，则 证明：92 三计算题 1 设 的 分 布 律 为，求.解答 2设随机变量 具有概率密度为，求.解答 933一汽车沿一街道行使需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显
48、示的时间相等，以 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求：的概率分布；解答 的取值应该为 以 表示事件“汽车在第 个路口首次遇到红灯”，则，且 相互独立，则 4设二维随机变量 的密度函数为 其中 和 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 和.他们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是.求随机变量 和 的密度函数 和，及 和 的相关系数；问 与 是否独立？为什么？解答 二维正态密度函数两个边缘密度都是正态密度函数，因 94此 和 两个边缘密度为标准正态密度函数，即 同理可得 由 于 ，则，又 所以相关系数 由题意可设 由于,所以 与 不独立.5
49、设 的分布密度 求.解答 95 6设 服从区域 上的均匀分布，求相关系数.解答 因为 的面积为，故 和 的联合密度函数为 于是 即 则 96 又 则 7在长为 的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差.解 答 设 分 别 表 示 两 点 的 坐 标，服 从 区 域 上的均匀分布，其联合密度函数为 令，则 的分布密度为 当 时，当 时，于是 当 时，区域 包含整个正方形区域，则 即 则 密度函数为 97 所以 8设 为服从正态分布 的随机变量，且 相互独立，求.解答 9设随机变量 的分布函数为 求.解答 98 10设 的联合密度为 求.解答 所以 同理可得 又 故 11假设一部机器在一年内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周 个工作日里无故障，可获利润 万元，发生一次故障仍可获利润 万元；发生二次故障所获利润 万元；99发生三次或三次以上故障就要亏损 万元，求一周内期望利润是多少？解答 以 表示一周内机器发生故障天数，且 ，则 以 表示所获利润，则 (万元)100You stupid cunt!