(2011)概率论与数理统计课后习题详细答案——龙永红.pdf

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1、 1 2 前言前言.3 编写任务记录编写任务记录.4 练习练习 1-1.5 练习练习 1-2.7 练习练习 1-3.8 练习练习 1-4.10 练习练习 1-5.13 习题一习题一.14 练习练习 2-1.16 练习练习 2-2.18 练习练习 2-3.19 练习练习 2-4.21 练习练习 2-5.24 习题二习题二.28 练习练习 3-1.31 练习练习 3-2.36 练习练习 3-3.41 练习练习 3-4.45 练习练习 3-5.49 练习练习 4-1.51 练习练习 4-2.51 练习练习 4-3.52 练习练习 4-4.54 练习练习 5-1.55 练习练习 5-2.56 练习练习

2、 5-3.59 练习练习 5-4.60 练习练习 5-5.61 练习练习 5-6.63 练习练习 5-7.65 练习练习 6-2.65 练习练习 7-1.66 练习练习 7-2.66 3 4 节次 手写初稿 录入 校对 更正 1.1 周玉龙 王骁 王骁 王骁 1.2 周玉龙 王骁 王骁 王骁 1.3 周玉龙 王骁 王骁 王骁 1.4 周玉龙 李政宵 王骁 王骁 1.5 周玉龙 李政宵 王骁 王骁 习题一 周玉龙 李政宵 王骁 王骁 2.1 周玉龙 王骁 王骁 王骁 2.2 周玉龙 王骁 王骁 王骁 2.3 周玉龙 孙士慧 王骁 王骁 2.4 周玉龙 孙士慧 王骁 王骁 2.5 周玉龙 孙士慧

3、王骁 王骁 习题二 周玉龙 孙士慧 未校对 3.1 周玉龙 唐艺烨 王骁 部分校打 3.2 周玉龙 孙士慧 王骁 3.3 周玉龙 唐艺烨 王骁 苏英彪 3.4 周玉龙 许彩灵 王骁 苏英彪 3.5 周玉龙 李政宵 王骁 苏英彪 习题三 4.1 周玉龙 许彩灵 王骁 林家敏 4.2 周玉龙 许彩灵 王骁 林家敏 4.3 周玉龙 许彩灵 王骁 凌芝君 4.4 周玉龙 许彩灵 王骁 苏英彪 习题四 5.1 周玉龙 唐艺烨 王骁 苏英彪 5.2 周玉龙 孙士慧 王骁 苏英彪 5.3 周玉龙 孙士慧 王骁 罗莘 5.4 周玉龙 孙士慧 王骁 罗莘 5.5 周玉龙 许彩灵 孙士慧 王骁 苏英彪 5.6 周

4、玉龙 许彩灵 王骁 苏英彪 5.7 罗莘 苏英彪 习题五 6.2 李欣 苏英彪 7.1 罗莘 苏英彪 7.2 罗莘 苏英彪 5 1-1 1、设样本空间为.（1）=(i,j)|i=1,26；j=1,2.6（2）=(0,+)（3）=0,1,2,3（4）=N*2、（1）=1324，1342，3124，3142 1423，1432，4123，4132 2314，2341，3214，3241 2413，2431，4213，4231；（2）A=1324，1342，1423，1432；（3）B=1324，1342，3124，3142 1423，1432，4123，4132；（4）ABB 如前给出。ABA 如

5、前给出。A=3124，3142，4123，4132，2314，2341，3214，3241 2413，2431，4213，4231。3、（1）=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT（2）A=HHT,HTH,THH（3）B=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH（4）AB=B AB=A AB=B=TTT 4、=1,2,3,4,5,6 A=1,3,5 B=1,2,3,4 C=2,4 A+B=1，2，3，4，5 AB=5 BA=2,4 AB=1,3 AC=A+B=1,2,3,4,6 6 5、（5）ABC （8）ABCABCABCABC （10）AB+BC+A

6、C 或 ABC （11）ABCABCABCABCABCABCABC 6、（1）互不相容（2）对立（3）互不相容（4）既不互不相容也不对立（5）互不相容（6）对立（7）既不互不相容也不对立 7、注：事件之间的关系一共有五种：包含，等于，对立，互斥（互不相容），独立。记每小题中“与”字之前的事件为 X，后者为 Y，则有：（1）X：第 1-5 次至少 1 次击中目标 Y：5 次射击中至少 1 次击中目标 X=Y（2）X：第 2-5 次至少 1 次击中目标 Y：5 次射击中至少 2 次击中目标 XY（3）X：第 1、2 次至少 1 次击中目标 Y：第 3-5 次至少 1 次集中目标 独立（4）X：5

7、次射击中，击中目标 1 或 2 次 Y：5 次设计中，击中目标 3、4 或 5 次 X、Y 互斥（5）X：5 次射击中，击中目标 0、1 或 2 次 Y：5 次射击中，击中目标 3、4 或 5 次 X、Y 对立（6）X：第 1、4、5 次击中目标，第 2、3 次未击中目标 Y：5 次射击中击中目标 3 次 XY（7）X：第 1 次未击中目标 Y：5 次射击中最多击中目标 4 次 XY（8）X：第 1-5 次至少 1 次未击中目标 Y：5 次射击中最多击中目标 4 次 X=Y 8、证明 A（BA）=A（BA）=（AB）（AA）=（AB）=AB（AB）（BA）（AB）=（AB）（AB）（BA）=(

8、)()()()()ABAABBBAAABBA()ABA 7 由得证。1-2 1、（1）7%；（2）30%；（3）57%2、（1）即求“最多一位顾客购买洗衣机”的对立事件概率。0.913。（2）所求的对立事件为“既不买滚筒洗衣机，又不买直筒洗衣机”。“既不买滚筒洗衣机”概率为 10.0768；“又不买直通洗衣机”概率为 1-0.0102。故“既不买滚筒洗衣机，又不买直筒洗衣机”的概率为（10.0768）（10.0102）。所求即为 1（10.0768）（10.0102）=0.913 3、性质 3：()1()P AP A 证明：取两互不相容的事件,A A，可知其组成完备事件组。()()()()1P

9、P AAP AP A 即()1()P AP A 性质 4：()()()P ABP AP AB 证明：()()P ABP AB。已知AB和AB互不相容 故()()()()()P ABP ABP ABABP ABBP A 即()()()P ABP AP AB 若AB，则（1）()()()P ABP AP B 证明：()()ABP ABP B得证。（2）()()P AP B 证明：由（1）知()()()P AP BP AB由公理 1 知()0P AB。得证。性质 5：0()1P A 证明：A，()0;()10()1PPP A 性质 6：()()()()P ABP AP BP AB 证明：()ABAB

10、A A与BA互不相容，有()()()P BAP BP AB()()()()P ABP AP BP AB 推论：()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 证明：()()()()P ABCP AP BCP A BC()()()()()P AP BP CP BCP ABAC()()()()()()()P AP BP CP BCP ABP ACP ABC 4、()()()0.15P ABP AP AB()()()()0.5P ABP AP BP AB()()()0.1P BAP BP AB()()1()0.5P ABP ABP AB 5、方法可以用

11、韦氏图表示已知的各部分。故ABCABACAB又因其互不相容 故()()()()0.7P ABCP AP BAP CAB 方法()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 8 ()()()P BAP BP AB()()()P CABP CABP CAB()()()()()()()()P CP C ABP CP ACBCP CP ACP BCP ABC 故()()()()P ABCP AP BAP CAB 6、（1）0.88（2）121212121212()()()()()()()()P AAP AP AP A AP A AP AP AP AA 0

12、.06（3）131313()()()()0.03P A AP AP AP AA（4）12312123()()()0.060.010.05P AAAP A AP A A A（5）232323()()()()0.02P A AP AP AP AA 122313121323123123()()()()3()()P AAA AAAP AAP AAP A AP AA AP AA A 122313123()()()2()0.09P A AP A AP A AP A A A（6）即求“出现三个问题”的对立事件的概率，即1231()0.09P A A A 1-3 1、第（2）种符合；概率为12。古典概型假设之

13、一是每一个可能结果发生的可能性相同。而（1）中一正一反的概率为12，两正概率和两反概率各为14，不符合假设。2、证明:当且仅当1(,),(,)2PH HH T时，11(,),(,)122PT HT T 即第一枚出现正面的概率和第二枚出现反面的概率皆为12，即第一枚硬币是均匀的。同理可证第二枚硬币是均匀的当且仅当 1(,),(,)2PH HT H。析：(,),(,)PH HH T表示“出现（H,H）或（H,T）”的概率，即“第一枚硬币是正面”的概率，为12。只需证“第一枚硬币为反面”的概率也为12，即可证明其为均匀的，又两事件相互对立，故得证。3、此题为古典概型。事件总数为nNC。（1）分两步完

14、成。先从1N件次品中选k件，有1kNC种取法。再从1NN件非次品中选择nk件，有1n kNNC种取法。故总取法为11Kn kNNNCC种，概率为11kn kNNNnNC CC。（2）此类题目先求其对立事件，即没有次品的概率。从1NN件非次品中选择n件，有1nNNC种取法，故没有次品概率为1nNNnNCC，有次品概率为11nNNnNCC。（3）其对立事件为“没有次品或者有一件次品”。没有次品的概率为 9 1nNNnNCC，有 1 件次品的概率为1111nNNNnNCCC。所求概率为111111nnNNNNNnnNNCCCCC。4、（1）由于每个同学到学校模式相同，所以可以将问题看做 30 个同学

15、的排队问题，要求女生在最后六个位置。总的排法有 30！种，而男生排前 24 位，女生排后 6位有 24！6！种。故概率为243024!6!130!C。（2）所有事件可分为“李明比王菲早到”和“李明比王菲晚到”两类，且两类事件数相同。故所求概率为12。5、考虑其对立事件“没有任何两人生日在同一天”有365nP种可能，而 n 个人生日所有可能情况为365n种。故对立事件概率为365365nnP，所求为3651365nnP。（注：本题书后答案错误）6、此题用到伯努利定理，见书 P34 例 1.30。（1）对立事件为“在第 i 站不停车”，对于每个人，不在 i 站下车的概率为89，故所有人都不在 i

16、站下车的概率为258()9，所求为2581()9。（2）对立事件为“在第 i,j 站均不停车”，即要求每个人都不在 i,j 站下车，概率为257()9，故所求为25719。（3）设“第 i 站不停车”为 A，“第 j 站不停车”为 B，则 258()()9P A 258()()9P B 257()9P AB 252587()(B)1(B)1()()()1 2()()99P ABP AP AP AP BP AB （4）根据伯努利定理易得3223251899C 7、此为古典概型。每封信有 4 种投法，故样本总数为24。要求前两个邮筒没有信，则每封信有 2 种投法，总投法为22。第一个概率为2221

17、44；使第一个邮筒有1 封信，分两步，首先选一封投入第一个邮筒有12C种投法，剩下那封信有 3 种投法。故总投法为123C，概率为1223384C 8、分两步完成，首先从a个黑球中选择k个，取法有kaC种，然后从b个白球中选择ik个，有i kbC种，故总取法有ki kabC C。事件总数为ia bC，概率为两者之商ki kabia bC CC。9、（1）149!210!5C（2）即前两把钥匙不能开门，第三把才能开门，取前两把钥匙有5 6种取法，第三把有 4 种取法，故总的取法为6 5 4。又事件总数为10 9 8，故所求为16。（3）易知其对立事件为“前三把均不能打开”，概率为367!110!

18、6A。10 10、从 10 次中选 3 次为正面，7 次为反面，又正反的概率均为12，故为3373101010111()()()222CC。11、分三步，分别取红、白、黑球，共5 3 2 种，又事件总数为310C，故概率为3105 3 214C。12、将 13 个字母全排列，有 13！种排法。因 A 有 3！种排法，I、M、T 各有 2！种排法。所以排成 MATHEMATICIAN 的方法一共有 3！2！2！2！种，易得概率4813!。13、此题类似于例 1.17 的几何概型，可得下图 乘客在 710 分钟之间到才能满足要求，总长为 10，故概率为310。14、此题类似于例 1.18，为会面问

19、题。设要等待 1 小时的船 X 到达时刻为x，要等待 2 小时的船 Y 到达时刻为y，则样本空间为(,)|024,024x yxy。以 A 表示事件“X 需要等待 Y”，则有(,)|(,),02Ax yx yxy。以 B 表示事件“Y 需要等待 X”，则有(,)|(,),01Bx yx yyx。设所求事件为C，有CAB。作图如下（阴影部分为 C）：由几何计算，有22221124232222()0.12124P C 1-4 1、（1）（2）题解法见 P23 例 1.20；答案皆为11aab.（3）设事件“取出的两球中有黑球”为A，“另一个也是黑球”为B，则A即为“全是白球”。22ba bCP A

20、C（）=()1()P AP A 22aa bCP ABC（）=故所为()(/)()P ABP B AP A=22221211aa bba bCCaabCC 2、证明：（1）BA 11 故()()P ABP A ()()(|)1()()P ABP AP B AP AP A（2）1212121212(|)()()()()()()()()P BBAP BBAP B AB AP AP AP B AP B AP B B AP A 又12B B 故12()0P B B A 故原式左边=12()()()()P B AP B AP AP A=右边 得证 3、（1）此题和第一题的（3）类似，1141314 （2

21、）设“第一胎为女孩”为A，“第二胎也是女孩”为B 则所求得：1()14(/)1()22P ABP B AP A 4、设“点数不相同”为A，“其中有一个点数为 4”为B，则A为“点数相同”，且61()6 66P A 5()1()6P AP A 121 55()6 618CP AB 故所求()1(|)()3P ABP B AP A 5、（1）古典概型，易知为25 （2）6 4410 915 （3）4 3 2110 9 830 6、（1）()()()()0.2P EFP EP FP EF()0.21(|)()0.63P EFP E FP F,()0.21(|)()0.42P EFP F EP E（2

22、）()(|)0.4()P EFP E FP F()0.4 0.50.2P EF()()()()0.80.20.6P EFP EP FP EF ()2(|)()3P EFP F EP E 12 7、（1）正确；()(|)()P EFP E FP F 0()1P F，故()(|)P EFP E F （2）错误；设()0.4P E，()0.5P F，()0.3P EF 则0.3(|)0.5P E F,0.3(|)0.4P F E。（3）正确；由（1）方法可知()(|)P EFP F E 故()(/)()()()(/)P EFP F EP EP FP EFP F E =()()P EP F （4）错误

23、；设()0.3P E()0.4P F()0.1P EF 则()(|)0.25()()P EFP E FP EP F。（5）正确；()()|)()P EFFP EFFP F =()(|)()P EFP E FP F 8、由全概率公式可得 P=71340.59102105 9、（1）30200.060.050.05630203020（2）30 100 0.0620 120 0.05130 10020 12018 10、（1）由全概率公式可得，设所求事件为A，则 3212121122132139339843975966331212()0.455C C CC C C CC C C CC C CP AC

24、 C （2）设“第一次恰有的一个新球”为B，则所求 12129348331212(/)()/()0.1370.455C C C CC CP B AP ABP A 11、（1）设“确实带有病毒”为A，“检验为阳性”为B，则()0.001P A，(|)0.95P B A，(|)0.01P B A 由贝叶斯公式知，所求()()(|)(|)0.087()()(|)()(|)P ABP A P B AP A BP BP A P B AP A P B A（2）同理，设“确实带有病毒”为A，“检验为阳性”为B，则()0.01P A (|)0.95P B A (|)0.01P B A 所求即为()()(|)(

25、|)0.490()()(|)()(|)P ABP A P B AP A BP BP A P B AP A P B A 12、说法是错误的，原因如下：13 我们假设“凶手是白人”为A，“凶手是其他色人”为B，“受害者正确识别”为C，则可知 0.8(|)(|)P C AP C B 且 (|)(|)(|)(|)1P C AP C BP C AP C B 0.8 0.2 受害者“断言凶手是白人”，表明(|)(|)0.8P C AP C B 而 “袭击者确实为白人”的概率应为(|)(|)P C AP C A。但是我们不知道(|)P C B是否与(|)P C A 相等。所以条件不足，故说法错误 13、否

26、设“死于肺癌”为A，“吸烟”为B。则当“吸烟是导致肺癌的重要因素”时，所指的应为(/)P A B较大。而“80%死者都吸烟”是指(|)P B A较大。必须搞清何为条件，何为所求概率对应的事件。1-5 1、如图所示 若AB相互独立，则()()()P ABP AP B，由几何概型知 ABABSSSSSS 即 ABABSSSS 即当.AB独立时，各部分面积的关系满足上式。2、由题意可知 1()()()2P AP BP C 1()()()()4P ABP ACP BCP ABC 有()()()P ABP AP B()()()P ACP AP C()()()P CBP CP B 故两两独立。但是()()

27、()()P ABCP AP BP C 故不相互独立。3、证明 ()()(/)P ABP AP B A 当()0P A 时，()0P AB 即()()()P ABP AP B 当()1P A 时，A为必然事件，()(/)()P ABP B AP B 即()()()P ABP AP B 得证。14 4、否 假设相互独立，则()()()0P ABP AP B 与AB互不相容矛盾。5、证明：()()()()()()P ABCP ABCP CP AB CP CP ACBC()()()()()()()()()()()()P CP ACP BCP ABCP CP A P CP B P CP A P B P

28、C()(1()()()()()P CP AAP BP C P A P B 6、证明：性质一，用数学归纳法（1）当1m 时，(2)kn 12(,)kiiiP A AA=212(,)(,)kkiiiiiP AAP A AA 21(,)(1()kiiiP AAP A 123()()()()kiiiiP AP AP AP A（2）当(2)mp p时成立，即 121123(,)()()()()ppkkiiiiiiiiiP A AAAAP A P AP AP A （3）当1mp时 1212(,)pppkiiiiiiP A AAAAA 1221212(,)(,)ppkpppkiiiiiiiiiiiP A A

29、AAAP A AAAAA 由 式 1221(,)(1()ppkpiiiiiiP A AAAAP A 1212()()()()().()pppkiiiiiiP A P AP AP AP AP A 综合 1，2，3 得证 性质二，证明:111nniiiiPAPA 由性质 1，得 111()nniiiiPAP A 又()1()iiP AP A 代入上式 故得证 7、0.3161 0.9 0.95 0.8 8、(1 0.1)(1 0.3)0.63 9、（1）可由全概率公式求得 12223330.3 0.70.20.30.7 0.60.30.2286CC （2）设“被击落”为A，“中两弹”为B 则 22

30、30.30.7 0.6()(|)0.4961()0.2286CP ABP B AP A 10、（1）1 0.1 0.11 0.9 0.90.9981 （2）0.90.90170.9981 15 1、事件总数为1020C，当最强的两队分在同一组的事件分两步选择：先为这两队选一组为12C种选择，再从剩余的 18 队中选 8 队放入这一组，有818C选择，故总数为18218C C。所以概率为 182181020919C CC “两队分在不同组”为“分在同一组”的对立事件，故概率为 91011919 2、（1）,A B之间恰有r个人按如下步骤实现：把所有人全排列，故事件的总数为1njA；站成一行并且

31、AB 间夹 r 个人，AB 有2(1)nr 种排法，其他人全排列有(2)!n种。故概率为 2(1)(2)!2(1)!(1)nr nnrnn n （2）n 个人围成一圈时全排列方法为!nn种。AB 顺时针，A 定则 B 定，因此只考虑 A。则有(1)!1nn种排法，因此 (1)!11!1nnnnn 3、即要求前2Nk有N根是从变空的那盒中取得的，由伯努利概型知 222111222N kNN kNNN kN kPCC 4、如果每个坛子都从1至m号球中取一个，最大编号不超过m,有km种取法，同理，不超过1m有1km种取法 为了保证取到m，最大编号为m有1kkmm种取法 又 事件总数为kn 则 1kk

32、kmmPn 5、设所折得三段分别为,x y lxy，则构成三角形应满足“两边之和大于第三边”，“两边之差小于第三边”。即有:xylxy xylxy yxlxy 0lxy 由几何概型可知 16 14P 6、由题意知，甲得胜的概率为 1120(1)nnniPPP =1121012121(1)lim1(1)1(1)nnPPPPPPPP 乙得胜的概率为 21212121PPPPPPPP 7、（1）131715293 103 1532590（2）2061?8、设“收到ABCA”为A，“被传为AAAA”为 B（1）由全概率公式可得 2233111()0.60.20.20.60.20.60.008333P

33、A （2）由条件概率可得 2210.20.63(|)0.60.008P B A 2-1 1、（1）345,，两个事件发生了，12,，两个事件没有发生。345343545,等事件是否发生不能确定。（2）12345,等事件通过观察x的取值一定能知道是否发生了。2、（1）,S FS FFSFFFS （2）1()1,()2,()kX SX FSX FFSk个 3、(,)|1,2,6,1,2,6i jij (,),(,)X i jij i j (,)max(,),(,)Y i ji ji j 4、概率分布为：40,20,X出现正面出现反面 1 0,3 0,Y出现正面出现反面 分布函数为 1401()20

34、402020XxFxxx，1301()10302010YxFxxx 图形，略。5、由()1iiP x知（1）21002221aaa 17 100101111222iia（2）121iia即()2 lim11nna aaa。易知01a，故有 12113aaa 6、由阶梯型函数的特点可知概率分布为 X-5-2 0 2 P 15 110 15 12 7、概率分布如下（1）X 1 2 k P 710 23 710 13710kk 即10.30.7,1,2,kP Xkk（2）感觉这题有点问题 X 1 2 3 4 P 710 730 7120 1120 8、由概率分布可知 143155P x ，143 3

35、3155PPxx 11721312510PP xxx 或 9、由()1f x dx，即10()1f x dx，2101Ax，得1A 20.80.50.50.80.39Pxx 10、（1）否，不符合单调性；（2）否，不符合()1F ；（3）是，符合分布函数的本征性质（见书 P40）。可以这样定义 210()110 xF xxx 11、（1）是，因为符合其本征性质。密度函数()()f xF x，即 201()0 xxf x其他（2）不是，因为11lim()12xF x，不符合右连续性。不是理由.答案错 12、（1）即0()0 xxaexf xaex。由()1f x dx得 001xxae dxae

36、 dx即0121212xae dxaa 18 故11(0)2()1(0)2xxexF xex。212221 1()(1)1()222PxFFee 2222212(2)()()222PxFFee 1111(1)2P xFe （2）由101(2)1axdxx dx得211321222aa即2a 故22001012()12112212xxxF xxxxx 故221 1()(1)224PxFF 2292(2)()2 2224PxFF 111(1)2P xF 13、证明：等式左侧=()()()()()1u xu xu xu xf t dtf t dtf t dtf t dtf t dt 得证。2-2 1

37、、第 5 题（2）：211112 12333nniiiEXx pn 23111112 123333nEXn ，得111111211313223133313ninnniEXnn 当n时，有2132(0)322EXEX 第 6 题：1111115202510525niiiEXx p 2、10.37，0.0201 3、由题意知 501()()2.55E kxf x dxxdx即10252.5%pp，得1000p 即市场定价为 1000 元。19 4、（1）证明：设组合收益率为，则0011001 11X NX NN PN P 又设无风险资产收益率为0，风险资产为1，则0001XP，1111XP 000

38、1110011PNPNP NPN，代入1，0，得0011001 11X NX NN PN P得证。（2）期望收益率为0(1)jj 方差为 222220011(1)(1)(1)()(1)nnjjijjjijii 标准差为1j。（3）图见书 P260 5、证明：222()(2()()E XEXxxEXEXf x dx 22()2()()()x f x dxEX xf x dxEXf x dx 22222()2()()()x f x dxEXEXEXEX得证。6、2.31 证明：2222222()()()2()D aXE aXEaXa EXaEXaEX 2222222222()2()()()aEXE

39、Xa EXEXEXa E XEXa DX 2.32 证明：22222()(2)2E XCE XCXCCCEXEX 2222()()()CEXEXEXCEXDXDX 即当CEX时，()L C最小，为DX。2.33 证明：()h x故()Eh x即()1Eh x又()1P h x，得证。2-3 1、服从二项分布，有 550.60.4(0,1,.)kkkP XkCk，5 2、服从二项分布：(1)(0,1,.)kkn knP XkC ppk，n()(1)D Xnpp，故 当()0D X 时，P=0 或 1 211(1)24nPpnp 故当12p 时，()D X最大，为4n 3、能出厂的概率为0.70.

40、3 0.80.94 不能出厂的概率为0.3 0.20.06 服从二项分布 0.940.06(0,1,.)kkn knP XkCk，n 将 k=n 代入上式，得概率为0.94n 设：“至少两台不能出厂”为 A，则 20 11()0.960.940.06nnnnP AC 故1()1()1 0.960.940.06nnP AP An 设不能出厂仪器数为 Y，则()0.06E Yn()(1)0.06 0.940.0564D YnPPnn 4、证明：由题意知，在 k+r 项独立重复试验中，前 k+r-1 次有 k 次失败，第 k+r次成功，故概率分布为 11(1)krkk rP XkCppp 1(1)(

41、0,1,.)1rkrkppkk 10(1)nkrkk rkEXkCpp 0(1)!(1)!(1)!nrkkkrkppk r 111(1)(1)!(1)!nrkkrpkrkpppk r 111(1)nrrkk rkrpCp qp 0(1)nrrkr kkrpCp qp(1)rpp 2210(1)nkrkk nkEXk Cpp？EX2=之后未校对 10(1)(1)(1)nkrkk nkrpk kCppp 22222(1)(1)(1)!(1)(1)(2)!(1)!nrkkr rpkrrpkppprrp 22(1)(1)(1)r rprppp 故222(1)()rpD XEXEXp得证。5、服从几何分

42、布：(1)(0,1,.)1()1kP XkPp kE Xp，n 6、由题意知 2!21!2!ee 得1（0不符合泊松分布假设）21 故1EXDX 22121133!6EXP Xee 7、（1）1EXnp 即泊松分布为：1!eP Xkk 二项分布为：10100.10.9kkkP XkC 列出两种分布列如下：泊松 二项 0 0.3679 0.3487 1 0.3679 0.3874 2 0.1839 0.1937 3 0.0613 0.0574 4 0.0153 0.0116 5 0.0031 0.015 （2）（3）（4）同理 此题提醒我们 n 足够大，足够小时，泊松分布才适合近似代替二项分布。

43、8、分别用两种概型表示，概率基本一致为 0.2642。二项分布：10001000(0.1%)(1 0.1%)kkkP XkC 211P XP X 100019991(1 0.1%)1000(0.1%)(1 0.1%)0.2642 泊松分布：1np 1!eP Xkk 211P XP X 111 ee 0.2642 2-4 1、考察均匀分布和二项分布 23232320.352555C 2、平均利润=期望收入-成本 K P 22 500 800040000 0.01 8000 800000（元）3、指数分布的密度函数为,00,0 xexf xx（）分布函数()()F xf x dx 即-000 0t

44、xedtxF Xx，（），得-1-00 0 xexF Xx，（），-0 xEXxf xdxx edx（）-0 xxd e（）-0-0 xxxeedx-110()0 xedx 222-0 xEXx f xdxxedx（）2-0-20 xxx exedx-200 xx edx 20EX 210 22 2221-DXEXE X（）4、即求证指数分布的“无亿忆性”证明：|P Xrs Xs P XrsP Xs 11P xrsP xs()111(1)r ssee re 23 又11(1)rrP xrP xree 得证。5、其分布函数为1000100 0 xexF Xx，（），故一个元件寿命不超过 1000

45、h 的概率为 1100(1000)1P xFe 故超过 1000h 概率为1111ee 系统寿命超过 1000h 的概率为 32232311132(1)Ceeeee 6、-EXxf xdx（）()-xf xdx（）22()2-2xxedxf xdx（）22()2-2xxedx 令xp，则dxdp，代入22EX-2ppedp 0uu 说明：奇对称函数的积分=0 2()DXE X 22()221()-2xXedx 22221-2ppedp 222-2ppd e 22222-2pppeedp 2022 说明：利用到了2-xedx 2 7、先求一次实验误差绝对值不大于 19.6 的概率为 24 001

46、9.6019.619.61010P X 021.961 查表知，01.960.975 故19.60.975P x 19.61 0.950.05P x 010001991298210010010010.9750.050.975 0.050.975 0.05CCC 100 0.0555EX 即服从泊松分布55!kP Ykek 25505218.5!kkP Yeek 所求为511 18.5P Yze 8、020022022025P X 010.8()查表 1 0.78810.2119 2401240P XP X 0240220125 010.8 0.2119 故2202401 2 0.21190.5

47、762PX 故损坏的概率为0.2119 0.1 0.5762 0.01 0.2119 0.2 0.0693 条件概率为 0.5762 0.010.08310.0693 9、设所求最少成绩为0 x，015%P Xx 即00.95P Xx 有00700.9510 x 查表得 0.95 对应于 1.64 和 1.65 之间，故取 1.645 即0701.64510 x，086.45x 所求为 86.45 分 2-5 1、25 X 100 121 144 169 ip 0.1 0.4 0.3 0.2 2、由题意 x 分布函数 1,0,XxbxaFxaxbbaxa 设YX，分布函数为 YFy，则当xb即

48、yb时，1YFy，当axb即ayb时，()()()YXyyyaFyP YyPXyP XFba当xa即yb时，0YFy，即 1,()0,YybyaFyaybbayb，得证。3、由题意，X分布函数为 1,1(1)1,111(1)20,1XxxxFxxx 设2YX，分布函数为 YFy，则当1x 即21yx时，()()()1 01YXXFyP YyPyXyFyFy 当11x 即01y时，YXXFyP YyPyxyFyFyy当1x 即1y 时，0YFy 即 1,1,010,0YyFyyyy 求导得密度函数为 0,1,012YFyyy其他 4、即 1,00,0 xXexFxx 当0 x 即y时，1yYxy

49、yFyPXyP XFe 当0 x 即y时，Y 20 22 24 26 ip 0.1 0.4 0.3 0.2 26 0YFy 即 11,0,yYeyFyy 5、设直径为X，则 1,0,Xaxbfxba其他 设体积为Y，则36XY 3X16YEYyfy dydxba？此步 44222424babaabba 6、证明：当0 x 即0y 时，2YFyP YyPXy 2012xyXFyedx 2120 xyyee 当0 x 即0y 时，()0YFy 对()YFy求导得其密度函数21,0()20,0yYeyfyy 得证。7、由题意知，X的分布函数为21,0()0,0 xXexFxx 故0 x 即01y时，

50、2ln(1)()12XYyFyeyP Xy 当1y 时，()1YFy 当0 x 即0y 时，()0YFy 即Y的分布函数为1,1(),010,0YyFyyyy 求导得密度函数为1,01()0,Yyfy其他 27 8、全题重弄！由题意可设2ln(,)YXN 又知收益率lnln10,lnln10RXXr 则其分布函数为()lnln10lnln10RF rP rxPXxPXx 即 R 服从正态分布 又2221(ln)(,)22xYNe 故221(ln10)22rRe 22(ln10)122re 2(ln10,)N 又2222(1)EXeDXee 可得245ln10ln2 229229ln225 即4