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1、第2 0卷第1期19 97年1月应用数学学报A C T AMA T H EMAT ICA EAP PLICAI,A ESIN IC AM1.20No.lJan.,19 97跟踪雷达测量误差的统计模型(I):模型的建立齐全跃t(中国科学院系统 科学研究所,北京1 0 0 0 80)陈敏安万福王寿仁(中国科学院应用数 学研究所,北京1 0 0 0 80)舒长胜(北京1 3 0 3信箱1 5分箱,北京1 0 0 073)摘要本文提出以如下具有慢时变方差 的线性回归一自回归混合模型万“一月了“+口“,L认+甲1几一1十十沪p认一p十自用 于描述跟踪雷达测量误差的变化规律,并提出了模型个数的估计方法.数
2、值例子表明,本文提出的模型能较好地拟合跟踪雷达误差数据.关键词跟踪雷达测量误差,线性回归一自回归混合模型,慢时变方差1引言研究雷达测量误差数据的统计分析方法,在雷达的精度分析、精度试验设计、跟踪雷达测量数据的卡尔曼滤波中量测方程的建立以及 同样的目标环境下雷达 测 量误差 的仿真等方面是极其重要的【l 是 中国最早 的一 份关于雷达的精度和误差 分析的文献,!l 中分析了 圆锥扫描雷达的各种误差 源!2,3中系统地分析了跟踪雷达测角、测距、测 速 的几种 主要误差源.这些文献的一个共 同之处是着重于对雷达的各种误差源进行分析和讨论.但是,在雷达的精度试验中,我们 只 能记录受到综合影 响 的测
3、量误差数据.记录 影响测 量误差 的各种误差源的变化数据是极其困难的,或是不可能的.因此,用分析误差源的方法对精度试验记录 的测量误差数据进行处理 并不是有效的,而且不能建立描述测量误差 的统计模型.按照口,3的分析,跟踪雷达测量误差中包括了“缓变的”系统误差 和快变的”随机误差两部分.对于给定的雷达,这两个部分均随着目标的雷达反射面积、目标运动状态和目标运动背景 的变化而变化.因此,对于运动目标来说,雷达测量误差 过程是 一个具有均值趋势和 时变方差 的非 平稳随机过程.误差过程的采样序列 也是 一个具有均值趋势和 时变方差 的 非平稳时 间序列.对这种类型 的误差序列进行统计分析是对跟踪雷
4、达进行精度评定的基础.本文19 9 5年9月7日收到.t现在的工作单位:北京1 3 0 3信箱1 5分箱,1 0 0 073.2应用数学学报2 0卷为 了建立有效地分析和处理跟踪雷达测量误差数据的统计方法,我们研究了大量在精度试验 中记录的跟踪雷达测量误差数据,找出了 一些关于 测量误差与目标运动状态之间 的基本规律.结果表明:跟踪雷达测量误差可 由下面的具有时变方差 的回归一自回归 混合模型描述:专,=口丁x,+。:,t=沪i t一i+沪p*一p+e*,(1.1)(1.2)其 中,口=(口1,归自变量,.几,口。)了是待估计的回归系数,二一(叭1,八2,八。)了是 可观测的回是不可观测 的平
5、稳AR(川序列,满足 如下条件:、夕产、了、l产gd41勺曰.土1土1土2.、r、护、刃:,=o,刀:矛=1,劝Ee,=1一沪1么一 饰尸务0,=百2,:三1,E嘴且。是i.i:d随机序列,。*0.在模型(1.1),(1.2)中,回归自变量x通常是目标的运动参数.采用 这 种统计 结构的误差模型,可 以指导我们进行精度试验的目标航路及目标运动参数设计.模型中的参数可以用误差过程的一个现实的采样进行估计.本文主要是讨论依据对测量误差数据的分析,建立跟踪雷达测 量误差 的统计模型.在文(n)和蔼(1 11)中,我们将建立本文提出的统计模型的参数估计的强相 合性和渐近正态性.2误差模型及其统计结构误
6、差模型 的建立依赖于对雷达测量误差数据的统计分析.在雷达的精度试验 中,我 们记录了以雷 达天线中心为座标原点 的球座标系 中目标位置座标D(约,B(t),E(t),这里D(t)是t时刻雷达测量的目标斜距离,B树,E闭分别 为时刻雷达测量 的目标 方位角 和高低 角.另 外,在同一时刻高精度的测量设备记录了目标位置座标的“真值”D*(约,B*(t),E*(t).因此,我们可 以得到雷 达的方位测量误差 B川,高低测量误差E(t),距离测量误差D树为:、.口声、!尹、l尹JI、了矛胜、(t)(t)(t)B(亡)=B(亡)E(艺)=E(艺)D(艺)=D(亡)B*2.1误差方 差 不等性检验从图1可
7、以看出,误差数据 曲线具有明显的趋势性.对误差数据作一 次 差分,由于采样间 隔较小,误差数据的一次差分的主要成份是随机误差.特别是误差数据的二次差分,几乎将误差数据的趋势消除 了.经正态性检验(参见 s l)可以认为:误差数据的 二次差分是 一个零均值正态序列.为 了确定误差数据二 次差分是方差 时变的,我们应用关于方差不等的Ba rt le tt检验(参见【8!).设(二=1,2,N)v(B。)=B。一B。一i,vZ(B。)=v(v(B。),(2.4)甲(E动=凡一凡一1,vZ(凡)=v(v(风),(z.5)侧D动二D。一D。一 1,沪(D动=侧侧D。).(2.6)1期齐全跃等:跟踪雷达测
8、量误差的统计模型(l):模型 的建立vZ(风)(或vZ(B。),甲2(D。),从一N,记第乞组的理论方差为岭,1,N分成K组,第该组从个数据,K,作如下假 设检验,将兀又阁H 0:Hl:时=峭=一。熟时,艺二1,K不全相等(2.7)(2.8)检验统计量为U一(n52一艺一 n男)/,(2.9)其中男S2N一击馨(护(场1一一,瓦一艺叭男/,乞=1,K,vZ(E)、=1兰六暮v(ENI一从一,一”“K,一+!艺云=1/3(K一),一艺v;,v、一从一1,一 1,一K,N 0易下面是两个航 次的检验结果.表2.1航次A检验(N=56 0,.胜1 0)vZ(刀。)vZ(E。)vZ(D。)10.76
9、3 9 13.58 7 32 2 6.4 121.3 31661.67493 5 9.5733.1 19 6 72.2 2 6 55 88.4647.6 6 6 9 24.3 1 4 3325.5552.9 59702.6320279.0 3617 3 3 705.0 6 54157.5772.085 2 08.50602 1 1.3 586.3 5 3 5 06.1 6 6 02 1 2.4399.4 5 5 02 9.3 2 8 31 67.941 027.2 7 0 82 5.0 2 0 98 6 5.1 8U29 5.2 5002 5 1 0 6 0 08 2.4 49应用数学学报20
10、卷表22航次D检验结果(、=450,、=10)vZ(沪。)vZ(二。)vZ(刀。)11.83 034.9 9 0 02 0 3 5 620 63 1 04.83 2 44 1 9.4 130.3 3 9 65.4 1 8 33 1 5.1 543.4 2 885.1 2 6521 0.4753.5 6775.09 5 12 1 97563.23 8 74.9 7 5 91 94.9 674.0 2515.90 1323 2.9 386一3 9 6 07,4 6 8 41 3 8.3 492 0一6 2 8 06.3 0 2 11 2 2.5 01010.2 8 902.2374124.61U3
11、 6 9.1 10 017.8 5 0 03 2.15对。一5%,查表得端刀5(9)=1 6.91 9.由于对两个航次都有U端刀5(9),故 拒绝H 0,即两个航次 的误差数据的二次差分序列 的方差非常数.由于检验结果表明误差数据的二 次 差分序列 的方差不是常数,所以原误差序列 的方差是 时变的.2.2趋势函数线性性检验图1是试验记录的测量误差数据 曲线.可以看出,误差数据 曲线具有明 显 的趋势性.对目标位置数据作一次差分,差分数据 曲线(图3)与误差曲线有相似的趋势.根据降,3中对跟踪雷达测量误差 的误差源的分析,我们知道测量误差与目标位置及其运动有关.这在统计上则表示误差序列B。,凡,
12、D。的均值函数和均方根函数与目标位置座标B森,嵘,D森和目标运动参数B二,嵘,D之,B之,E之,D二,之间存在着回归关系,即夕。=f(x。)+。,(2.10)这里,。代表误差序列,纵=(B二,嵘,D二,B二,E二,D。,)了字母上的点表示该字母所代表的参数的微分,E%=0,E嵘=。2(纵).我们用 r 中提出 的方法对误差数据的趋势部分f(x)作线性性检验检验计算结果列表如下表中%,、,祝 的定义见!7.取。=9 5%,查表知c 0.0 5二3.84 1.表2.3航次A趋势项线性性检验(N=5 60)参数B。E。D。回归自变量户二,宕二,力二结果0.0 0 5 01 8 2 5 50.8 3
13、0 20.95551.9 2 5 40.9 8 3 40.9 60 5接受H o0.1 0 0 00.15 3 2表2.4航次D趋势项线性性检验(N=4 80)参数回归自变量B。户二,宕二,力二 E。D。牡”U 几结果0一0 2 3 30.2 9 5 31.62 241.69 761.3 1 2 81.2 2 7 21.72091.6 0822.8 4 9 6接受万。1期齐全跃等:跟踪雷达测量误差 的统计模型(l):模型的建立检验结果表明误差数据的趋势部分 与二=(B尝,衅,D尝广呈 线性关系,即f(x)二产x,二=(B*,E*,D,)丁(2.11)当然,在进行分析的过程中我们 也发现有些误差
14、数据是分段线性的,而且,不同段中所取回归自变量也不完全相 同.下表是 这样一组数据的检验结 果.表2.5航次C的趋势项的分 段线性性检验(N二6 36)回归自变量户二,户二,力二户二,丘二,力二廿”刃几之几结果16 3 616 3 614 5 04 5 06 3 64 50、6 3 6Dol63 6户二,户二2,力二B二,E二,D二0.4 9 4 26.71 2 60.57 3 03.0 3 1 90.5 5 90.8 3 1 90.75 6 91.2 3 4 40.8 9 0 51.0 8 371.07 851.2 3781.2 5 17.94 71.4 6 3 54.1 1 571.6 3
15、 7 82.0 6 97接受万6拒绝 刀b接受万。拒绝刀6接受私接受万d本文暂不对 这类问题作进一步的讨论.2.3误 差 随机部分 的统计结构由2.2对误差趋势函数的检验结果知,(2.10)可以写 为,=口了x+二.(2.1 2)记砖=E啼0,则二可表为锐亡=口亡乙艺,(2.1 3)而E绪=1.我 们可以通过如下的方法得到:*的估计“:令寿一(xl,二、)了,瑜一(,1,、)了,一(二1,二N)了全(。1:1,则(2.1 2)可写成1场二XN口十乙场.假设XN列满秩,对回归方程(2.14),口 的L S估计为,。、。、)了,(2.14)声N=(x无xN)一lx几场.(2.1 5)再令云。=纵一
16、口凡x。,。QNJ二 1,QN,且艺凡j=1=1,N把云1,云N分成QN组,每组含凡个数据,=N.记 T 0=0,兀=艺从,j=1,Q凡无=1凡=。:耳一:o,(3.10)这里。=(。1,。刁是回归系数,。0意味。、0,艺一 1,r,x,l表示二的每一个分量均取绝对值.(v)对方程的参数进行非 线性最小二乘估计,。1B+。2 E t+。3D+令结果 为(3.1 1)di=0.2 683417,dZ=0.0 5 3713 4,d3=0,其 中d3=0是进行变量剔除 时得到的.于是我们得到误差模型 为B。=一0.1 1 lsg ogB。一o.06 3 0 5 9 3D。+甲0.2 6 8 3 41
17、71B。+0.0 5 3713 4E n:,(3.1 2)t=0.6 6 8 4 4 07乙卜i+0.12 4 5 1 3卜4+a,(3.13)1期齐全跃等:跟踪雷达测量误差的统计模型(l):模型的建立其 中a是零均值、均方根为厅。=0.8 0 14的正态白噪 声.用模型(3.1 2),(3.1 3)进行误差仿真,仿真的误差曲线见图sb.进行误差过程仿真所使用的模型是 由航次A的数据建立的,可观测 的目标状态变量的数据取自航次A和航次B的记录数据,结果与这两个航次 的实测数据进行比较,两组 曲线拟合得很好.我们还用航次C记录的数据进行仿真,结果与航次C的实测数据 曲线进行比较.可以看 出,两组
18、曲线类似.这说 明用本文建立的统计模型 来刻划跟踪雷达测量误差 的变化规是合理 的.由于篇幅的 限制,我们仅出C航 次的仿真曲线 图和实测数据图(见图5).0卜一一卜尸山、入八、Jl e s e s卜l e s e s.5.0一已50图13 04 04 0 06 0 0航次A。序 列的自相关函数02 0 0图2方位角测量误差户、和 偏 相关函数必;赫赫如鲡咧-一5一1 0长二U.l l l!l l l l l酬酬申咖州_ _ _2 0 04 0 06 0 0图3A航次方位 误差 一 次差 分图4A航次方 位误差二次 差分一5一10一5一1 0020040 06 0 0图SC航次方位角测 量误
19、差图6C航次方 位 仿真误差参考文献【l 王传 义,胡 毅然,刘清润炮瞄 雷达站 测 角误 差分析,经验与总结,1 9 62.【2D.K.Barton.Rada rSystemAnal ysis,Arte ehHous e,Ded hamM a ss.,1 979.13D.K.Ba rtonand H.R.M厄rd.Hand bo okofRada rMea sur e,Arte ehHous e,Ded hamMa ss.1 9 6 9.【4GJB Z2 002 8一9 0.Codef orFinal izationT estof Sh ipborneSear ehRada r,19 9 0
20、.【5安鸿志等时 间序列 的 分析与应用,北 京:科 学出版社,19 83.10应用数学学报2 0卷!61G.E.p.BoxandG.M.Jenkins.Tim eSe rie sAnal ysis:F Or e eastingandCon trolHol den一D叭1 970.【7Li-XingZ hu.F red.J.H ICkernel landHon牙ZhiAn,AGo odne s s一of-F itT estf orLinea rityof stoehastieRegre s sionModel,Re s ear ehReportNo.1 9,InstituteofAp plie
21、dMa th.,theC hineseAeademyofseiene e,1 9 9 0.【s 贾沛璋误差分析与数据 处理,北京:国防工 业出版社,1 992.!9J.5.BendatandAG.Pie r sol.RandomDa ta:Anal ysisandMeasur emen tProeedure s,John乙Sons,1 9 8 6.【1 0复旦 大学 编概率论(第三册),北京:人民教 育出版社,1 98 1.【1 1Hand bookofSta tistie sV ol.5:TimeSe rie sintheTimeDomain,North一Hol land,19 85.【1
22、2A.Gif i.Nonl inearMui tiv aria teAn alysis,JohnWiley&Sons,1 9 9 0.【13M.Fis:.、va hr s eheinl iehk eits r e ehn u ngundMa them a tiseheSta tistik,V ebDeuts ehe rV erl铭de rwis-s enschaf ten,Be rl in19 5 8.【1 41王寿仁.概率论基础和 随机过程,北京:科 学出版社,1 9 8 6【15p.Bra tle又 B.L.Fbxand LE.Sc hrage.A GuidetoSim ula tion(
23、Se eonded ition),Springer-V erl雏,19 87.THES TA TISTICALh4ODE LOFTHEMEASURINGER RORS ERIES(I):TRACKINGRA D ARBUILDING入 硬ODELQlQu ANYuE(几s:葱。eo f勺s亡eosseeoe e,hec h。e s eAc ade。,o fseeoe e1 0 0 05 0)C H E NMINAN、V ANFUVV A NGSOURE N(几st云toteo fA二l乞e dMaheoa“e s,theC h。e s eAeade。,o fSeeoee1000 8 0)S H
24、 UCH A NGSHE NG(尸.0.刀。二,泞。孚1,刀e砂乞二1 0 0 073)AbstraetInthisPaPe r,thestatistiealmodel de s e ribingmeasuringe r r o rs e rie softr ac kingrada r15built.Byanalysisingte stdataoftraekingradarae eur a eyreeorded,w ePre s ent theline a rr egr e s sion一autor egr es sionmixingmodel withslowlyv a ryingv ariane e s,whic hde s e rib-ingtraC kingrada rmeasuringe r r o rs e rie sasf ollo ws万“一月r“+口“,t自+沪1几一1+一十沪p自一p十e tT hemethodof demonstra tetheelf eetiv ene ssofmodel.Keyw ordsMeasuringe r r o r softraekingr ada r,line a rr egr e s sion一autoregr e s sionminingmodel,slo wlyv a ringv aria ne e s