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1、概率论与数理统计公式总结第一章第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)特别地，当特别地，当 A A A A、B B B B 互斥时，互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式条件概率公式概率的乘法公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果全概率公式：从原因计算结果BayesBayesBayesBayes 公式：从结果找原因公式：从结果找原因第二章第
2、二章二项分布（二项分布（BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli 分布）分布）XB(n,p)XB(n,p)XB(n,p)XB(n,p)泊松分布泊松分布XP(XP(XP(XP()概率密度函数概率密度函数怎样计算概率怎样计算概率均匀分布均匀分布 XU(a,b)XU(a,b)XU(a,b)XU(a,b)指数分布指数分布 XExpXExpXExpXExp()分布函数分布函数对离散型随机变量对离散型随机变量对连续型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法分布规律的
3、描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章第三章数学期望数学期望离散型随机变量，数学期望定义离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=aE(a)=aE(a)=aE(a)=a，其中，其中 a a a a 为常数为常数 E(a+bX)=a+bE(X)E(a+bX)=a+bE(X)E(a+bX)=a+bE(X)E(a+bX)=a+bE(X)，其中，其中 a a a a、b b b b 为常数为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y
4、)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X X X X、Y Y Y Y 为任意随机变量为任意随机变量随机变量随机变量 g(X)g(X)g(X)g(X)的数学期望的数学期望常用公式常用公式)()()|(BPABPBAP=)|()()(BAPBPABP=)|()(ABPAP=nkkkBAPBPAP1)|()()(=nkkkiikBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(),.,1,0()1()(nkppCkXPknkkn=，,.)1,0(!)(=kekkXPk，1)(=+dxxf)(bXaP=badxxfbXaP)()()0(
5、1)(/=xexfx=xkkXPxXPxF)()()(=xdttfxXPxF)()()(=xdttfxXPxF)()()(),(yxf),(yxF0),(yxf1),(=+dxdyyxf1),(0yxF,),(yYxXPyxF=+=dyyxfxfX),()(+=dxyxfyfY),()(,jYPiXPjYiXP=)()(),(yfxfyxfYX=+=kkkPxXE)(+=dxxfxXE)()(=kkkpxgXgE)()(=ijijipxXE)()(1)(bxaabxf=)()(xfxF=方差方差定义式定义式常用计算式常用计算式常用公式常用公式当当 X X X X、Y Y Y Y 相互独立时：相
6、互独立时：方差的性质方差的性质D(a)=0，其中 a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、b 为常数当 X、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差与相关系数协方差的性质协方差的性质独立与相关独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章第四章正态分布正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式标准正态分布的概率计算公式)()()(aaZPaZP=)()()(abbZaP=1)(2)()()(=aaaaZaP一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式一般正态分布的概率计算公式第五
7、章第五章卡方分布卡方分布t t t t 分布分布F F F F 分布分布正态总体条件下正态总体条件下样本均值的分布：样本均值的分布：dxdyyxxfXE=),()()()()(YEXEYXE+=+=ijijjipyxXYE)(dxdyyxxyfXYE=),()()()()(,YEXEXYEYX=独立时与当()+=dxxfXExXD)()()(222)()()(XEXEXD=)()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD+=+)()()(YDXDYXD+=+)()()(),(YEXEXYEYXCov=)()(),(YDXDYXCovXY=)()()()()(YEXEXYEYEYXEXE=()
8、()()(),(22XDXEXEXXCov=),(),(YXabCovbYaXCov=),(),(),(ZYCovZXCovZYXCov+=+),(2NX222)(21)(=xexf2)(,)(=XDXE)(1)(aa=)1,0(),(2NXZNX=)()()(=aaXPaXP)()()(=abbXaP)()1,0(212nXNXnii=，则若()(1),(21222nYNYnii=则若),(/),(),(21212212nnFnVnUnVnU则若),(2nNX)1,0(/NnX则若),(),1,0(2nYNX)(/ntnYX样本方差的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比两个正态总体的
9、方差之比第六章第六章点估计：参数的估计值为一个常数点估计：参数的估计值为一个常数矩估计矩估计最大似然估计最大似然估计似然函数似然函数均值的区间估计均值的区间估计大样本结果大样本结果正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间两个正态总体方差比的置信区间第七章第七章假设检验的步骤假设检验的步骤1根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不
10、可避免的两类错误不可避免的两类错误第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验单个正态总体的显著性检验单正态总体均值的检验大样本情形Z 检验正态总体小样本、方差已知Z 检验正态总体小样本、方差未知 t 检验单正态总体方差的检验正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式统计假设的形式双边检验双边检验左边检验左边检验右边检验右边检验单正态总体均值的单正态总体均值的 Z Z Z Z 检验检验拒绝域的代数表示拒绝域的代数表示双边检验双边检验左边检验左边检验右边检验右边检验比
11、例比例特殊的均值的特殊的均值的 Z Z Z Z 检验检验单正态总体均值的单正态总体均值的 t t t t 检验检验)1()1(222nSn)1(/ntnsX)1,1(/2122212221nnFSS);(1inixfL=);(1inixpL=nzx2/正态分布的分位点大样本要求样本容量代替准差通常未知，可用样本标标准差样本均值2/)50()(znnsxnppzp)1(2/正态分布的分位点大样本要求样本容量样本比例2/)50(znnp已知准差小样本、正态总体、标nzx2/未知准差小样本、正态总体、标nsntx)1(2/分布的分位点的自由度为tnnt1)1(2/()22/1222/2)1()1(,SnSn卡方分布的分位点样本方差22/2S()+2221212/21nnzxx)1,1(/,)1,1(/212/2221212/2221nnFSSnnFSS0100:)1(=HH0100:)2(HHnXZ/0=代替）未知时用（大样本情形S2/ZZZZnppppZ/)1(000=样本比例总体比例pp0ZZ单正态总体方差的卡方检验单正态总体方差的卡方检验拒绝域拒绝域双边检验双边检验左边检验左边检验右边检验右边检验nSXt/0=2022)1(Sn=22/1222/2或22/1222/2