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1、2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话：62701055 网管电话：62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址:三十六技之技三十一：一维连续画密度，正态计算标准化，三十六技之技三十一：一维连续画密度，正态计算标准化，指数分布无记忆，函数分布直接求。指数分布无记忆，函数分布直接求。【相关知识点】【相关知识点】?利用密度函数计算相关问题（注意对称性）；?利用密度函数计算相关问题（注意对称性）；?正态分布与指数分布的计算；?正态分布与指数分布的计算；?随机变量的函数的分布求法?随机变量的函数的分布求法 例题 一维连续性的相关概率问题 例 31
2、例 31-1 1 设随机变量X的密度函数为 ，试求+=,0 1,0(10,1()(其它若若xxxxAxf（1）常数 A；（2）)21|(|XP；（3）3EX.【1；3/4；0】例 31-2例 31-2.设随机变量 X的密度函数为 =,06,39/2 1,03/1)(其它若若xxxf若k使P(X k)=2/3,则k的取值范围是_.【1,3】正态分布与指数分布的计算 例 31-3例 31-3 某单位要招聘 2500 人，按考试成绩从高分到低分依次录取，共有 10000 人报名，假设报名者的成绩，已知 90 分以上的有 359 人，60 分以下的有 1151 人，问被录用者中最低分为多少？【79】)
3、,(2NX例 31-4.例 31-4.设随机变量X的概率密度为+=000)(yyeyfyY （2）证明对任意的实数，均有 0,0ba )()|(bYPaYbaYP=+.例 31-5例 31-5.设(X,Y)联合密度函数为，清华大学东门外创业大厦 1006 1 2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话：62701055 网管电话：62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址:（I）证 明 随 机 变 量Y具 有 如 下 性 质：对 任 意 的0,ts，有)()|(tYPsYstYP=+（II）求Y 的标准化变量DYEYYY=*的密度函数。【解
4、解】（1）略 （2）1,)1(1)()1(*=+=+ueufufuYY 随机变量函数的分布的直接法 =)(,)(,)()()()()(:)(xfXdxxfpXpyXgPyFyFyxgiyxgiiXgYi连续型离散型 例 31-6例 31-6.设X是随机变量，Y是其线性函数。（1）设 X P()，求 Y=2X1 的分布。（2）设X U(0,1)求 Y=2X+2 的密度函数。（3）设X Ex(),求 Y=aX+b,a 0,和ZminX,3的分布。【（1）P(Y=2k1)=L,2,1,0,!=kekk；（2）)2,0()(21IyfY=（3）.0/)(exp)(|bybyabyyfaY=；。】0,其
5、分布函数为F(x).又设FY(y)是随机变量 Y=F(X)的分布 清华大学东门外创业大厦 1006 2 2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话：62701055 网管电话：62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址:函数，则当 0y1 时FY(y)=.【y】清华大学东门外创业大厦 1006 3 例 31-9例 31-9.设X的密度函数为)(31)(8,1 32xIxxf=,F(x)是X的分布函数.求Y=F(X)的分布函数.【解解】Y=F(X)的分布函数为 =.110000)(yyyyyFY若若若【注】一般结论:当X的分布函数 F(x)连
6、续且严格单调时 10,)()()()(11=yyyFFyFXPyXFPyYPyFY 例 31-10例 31-10.设X Ex().(1)则 Y=minX,2的分布函数(A)是连续函数;(B)至少有两个间断点;(C)是阶梯函数;(D)恰好有 1 个间断点.(2)求Y=minX,2的分布函数并画出其图像略图【(1)D (2)】=.21,201,00)(2yyeyyF若若若【类似例子：设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布,平均无故障工作时间 EX为 5 小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数 F(y).】【=.21,201,00)(5yyeyyFy若若若】【注】定理 函数y=g(x)是严格单调且连续可微，其唯一反函数x=h(y)连续可微.则)()()(yhyhfyfXY=2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话：62701055 网管电话：62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址:若反函数有多支)(yhxjj=,j=1,2,.,J,则)()()(1yhyhfyfjjJXY=.清华大学东门外创业大厦 1006 4