1-2统计-古典-几何概率.pdf

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1、云师大数学学院 第 1 页 2011-10-05 1.2 统计概率、古典概率及几何概率 统计概率、古典概率及几何概率 随机事件发生的可能性有大有小随机事件发生的可能性有大有小.人们往往用介于人们往往用介于 0 和和 1 之间的一个实数（即百分比）来表示这个指标，记为之间的一个实数（即百分比）来表示这个指标，记为P(A)，称为随机事件，称为随机事件 A 发生的发生的概率概率.历史上曾先后出现过的概率定义：历史上曾先后出现过的概率定义：古典定义、几何定义、统计定义古典定义、几何定义、统计定义.云师大数学学院 第 2 页 2011-10-05 这些定义各适合一类随机现象，均有一定的局限性这些定义各适

2、合一类随机现象，均有一定的局限性.德国数学家希尔伯特，德国数学家希尔伯特，1900 年的数学家大会，倡议建立概率的公理化体系，年的数学家大会，倡议建立概率的公理化体系，1933 年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率的公理化定义概率的公理化定义.概率的公理化定义一经提出，就很快获得举世公认，这是概率论发展史上的一个里程碑式的大事件概率的公理化定义一经提出，就很快获得举世公认，这是概率论发展史上的一个里程碑式的大事件.云师大数学学院 第 3 页 2011-10-05 1.2.1 统计概率统计概率 设设 E 为任一随机试验，为任一随机试验，A 为其中任一事件，在相

3、同的条件下，把为其中任一事件，在相同的条件下，把 E 独立地重复做独立地重复做 n 次，以次，以()nA表示事件表示事件 A 在这在这 n 次试验中出现的次数（也称频数），则比值次试验中出现的次数（也称频数），则比值()()nnfAAn=称为事件称为事件A发生的发生的频率频率.云师大数学学院 第 4 页 2011-10-05 频率的稳定性频率的稳定性：大量长期的实践表明：当试验次数不断增加时，事件大量长期的实践表明：当试验次数不断增加时，事件 A发生的频率发生的频率()nfA稳定在某个常数稳定在某个常数 p附近，以附近，以 p 为中心上下摆动，即事件为中心上下摆动，即事件 A发生的频率随着试验

4、次数的增加表现出一种稳定性发生的频率随着试验次数的增加表现出一种稳定性.称称 p 为为频率的稳定值频率的稳定值.这是一个不依赖于任何主观意愿的这是一个不依赖于任何主观意愿的客观事实客观事实.云师大数学学院 第 5 页 2011-10-05 投币试验正面向上的次数和频率投币试验正面向上的次数和频率.实验者实验者 投币次数投币次数 正面向上的次数正面向上的次数 频率频率 蒲丰蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼维尼 30000 14994 0.4998 英文字母的使用频率：英文字母的使用频率：字母字母 空格空格 E T O Q Z 频率频率

5、 0.2 0.105 0.072 0.065 0.001 0.001 云师大数学学院 第 6 页 2011-10-05 定义定义 1.2.1 设设 E 为随机试验，为随机试验，A 为其中任一事件，当试验次数为其中任一事件，当试验次数 n 充分大时，事件充分大时，事件 A 发生的频率发生的频率()nfA稳定在某个常数稳定在某个常数 p 附近，则称附近，则称 p 为事件为事件 A 发生的发生的统计概率统计概率，记为，记为 P(A)=p.频率稳定性的意义频率稳定性的意义：一方面，它能适当地反映出一方面，它能适当地反映出 A 发生的可能性大小发生的可能性大小.在许多实际问题中，当概率不易求出在许多实际

6、问题中，当概率不易求出云师大数学学院 第 7 页 2011-10-05 时，可以取频率作为概率的近似值时，可以取频率作为概率的近似值.另一方面，频率的概念比较简单，容易掌握，常常可以由频率的性质去推测概率的性质另一方面，频率的概念比较简单，容易掌握，常常可以由频率的性质去推测概率的性质.例如，由频率的定义有：例如，由频率的定义有：0()1nfA，()1nf=及及()0nf =，于是可以推知概率于是可以推知概率 P(A)也满足性质：也满足性质：0()1P A，()1P =及及()0P =.云师大数学学院 第 8 页 2011-10-05 注意注意：不能按微积分中数列的极限概念来理解概率的统计定义

7、，就是说，不能认为不能按微积分中数列的极限概念来理解概率的统计定义，就是说，不能认为()lim()nnP AfA=.只能在一定概率意义下证明只能在一定概率意义下证明()P A趋近于趋近于()nfA 云师大数学学院 第 9 页 2011-10-05 例例1.2.1 抛掷硬币试验可以在Excel中进行模拟.云师大数学学院 第 10 页 2011-10-05 1.2.2 古典概率古典概率 古典概率是历史上最早出现的概率，它古典概率是历史上最早出现的概率，它源于赌博源于赌博，早在，早在 16 世纪，概率这个概念就已形成，它与抛掷骰子进行赌博这类活动有密切联系世纪，概率这个概念就已形成，它与抛掷骰子进行

8、赌博这类活动有密切联系.1564 年一个名叫德梅尔的人提出的问题曾引起法国数学家帕斯卡和费马的通信讨论年一个名叫德梅尔的人提出的问题曾引起法国数学家帕斯卡和费马的通信讨论.问题之一是将两颗骰子问题之一是将两颗骰子云师大数学学院 第 11 页 2011-10-05 抛掷抛掷 24 次，至少掷出一个“双次，至少掷出一个“双 6”的机率是否小于”的机率是否小于 1/2？这个值实际上为？这个值实际上为 24135 360.4914（），是一个简单的古典概率问题是一个简单的古典概率问题.历史上这类问题很多，如下面的“得分问题”也是一个著名的问题历史上这类问题很多，如下面的“得分问题”也是一个著名的问题.

9、云师大数学学院 第 12 页 2011-10-05 例例 1.2.2（得分问题得分问题）甲乙二人各出）甲乙二人各出8 元做赌注，以抛掷硬币的方式进行赌博，每抛掷一次，若出现正面，那么甲得元做赌注，以抛掷硬币的方式进行赌博，每抛掷一次，若出现正面，那么甲得 1 分，乙不得分；否则乙得分，乙不得分；否则乙得 1 分，甲不得分分，甲不得分.事先规定先得事先规定先得 10 分者获胜，胜者得到全部分者获胜，胜者得到全部 16 元赌注元赌注.当赌博进行到甲已得当赌博进行到甲已得 8 分，乙已得分，乙已得 7 分时，赌博被打断并终止了，问二人如何合理地分配这分时，赌博被打断并终止了，问二人如何合理地分配这

10、16 元赌注？元赌注？云师大数学学院 第 13 页 2011-10-05 概率的统计定义虽然具有一般性，但要得到一个事件的统计概率就要把试验在相同的条件下重复很多次，这就要受到一定的限制概率的统计定义虽然具有一般性，但要得到一个事件的统计概率就要把试验在相同的条件下重复很多次，这就要受到一定的限制.有的试验做起来费时费力，十分困难，不过在两类特殊的随机试验（古典概型和几何概型）中却可以用简单的方法得到一个事件的概率有的试验做起来费时费力，十分困难，不过在两类特殊的随机试验（古典概型和几何概型）中却可以用简单的方法得到一个事件的概率.云师大数学学院 第 14 页 2011-10-05 定义定义

11、1.2.2 具有下列两条性质的随机试验称为具有下列两条性质的随机试验称为古典概型古典概型：(1)有限性有限性：样本空间只包含有限个样本点；：样本空间只包含有限个样本点；(2)等可能性等可能性：每个样本点发生的可能性都相同：每个样本点发生的可能性都相同.如如例例 1.1.1 中中(1)、(2)、(3)三个试验均为古典概型三个试验均为古典概型.经常会碰到古典概型问题：产品抽查、抽签、买彩票等经常会碰到古典概型问题：产品抽查、抽签、买彩票等.云师大数学学院 第 15 页 2011-10-05 定义定义 1.2.3 在古典概型中，设样本空间在古典概型中，设样本空间 中的样本点总数为中的样本点总数为 n

12、，事件，事件 A包含的样本点数为包含的样本点数为 m，那么事件，那么事件 A 发生的概率为发生的概率为()mP An=.这是这是 1812 年由法国数学家拉普拉斯给出的概率的年由法国数学家拉普拉斯给出的概率的古典定义古典定义.云师大数学学院 第 16 页 2011-10-05 显然显然 P(A)满足性质：满足性质：0()1P A，()1P =及及()0P =.这个定义形式简单，易于理解，能解决很多实际问题这个定义形式简单，易于理解，能解决很多实际问题.它不仅给出了古典概率的定义，也同时给出了古典概率的计算公式它不仅给出了古典概率的定义，也同时给出了古典概率的计算公式.譬如抛掷一枚硬币的试验显然

13、为古典概型，易得譬如抛掷一枚硬币的试验显然为古典概型，易得 A=“出现正面”的概率“出现正面”的概率 P(A)=1/2，这是因为，这是因为 n=2，m=1.云师大数学学院 第 17 页 2011-10-05 例例 1.2.3 在在例例 1.1.2 中，从装有中，从装有用十个小球的袋中任取一球也显然是一个古典概型，用“用十个小球的袋中任取一球也显然是一个古典概型，用“i”(i=1,2,10)表示样本点“取到表示样本点“取到 i 号球”，那么样本点总数号球”，那么样本点总数 n=10.由古典概率定义可知事件由古典概率定义可知事件 A=“取到“取到 3 号球”号球”=3，B=“取到奇号球”“取到奇号

14、球”=1 1,3,5,7,9，C=“取到偶号”“取到偶号”=2,4,6,8,10，D=1,5,7,9，AC=，AC=2,3,4,6,8,10及及 ABC=云师大数学学院 第 18 页 2011-10-05 的概率分别为：的概率分别为：P(A)=1/10=0.1，P(B)=P(C)=5/10=0.5，P(D)=4/10=0.4，P(AC)=0，P(AC)=0.6及及 P(ABC)=1.在计算古典概率时，常常会用到排列与组合的有关知识在计算古典概率时，常常会用到排列与组合的有关知识.而排列与组合公式的推导都基于下面两个重要的基本原理而排列与组合公式的推导都基于下面两个重要的基本原理.云师大数学学院

15、 第 19 页 2011-10-05 加法原理加法原理（又称分类计数原理）（又称分类计数原理）完成一件事，有完成一件事，有 n 类办法，在第类办法，在第 1 类办法中有类办法中有 m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第 2 类办法中有类办法中有 m2种不同的方法，在第种不同的方法，在第 n类办法中有类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同而方法种不同而方法.云师大数学学院 第 20 页 2011-10-05 例如，由甲地到乙地有例如，由甲地到乙地有 3 类交通工具：汽车、火车和飞机，而汽车有类交通工具：汽车、火车和飞机，而

16、汽车有 4个班次，火车有个班次，火车有 3 个班次，飞机有个班次，飞机有 2个班次，那么由甲地到乙地共有个班次，那么由甲地到乙地共有 4+3+2=9 个不同的班次可选个不同的班次可选.云师大数学学院 第 21 页 2011-10-05 乘法原理乘法原理（又称分步计数原理），完成一件事，需要分成（又称分步计数原理），完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第个步骤，做第 1步有步有 m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第 2 步有步有m2种不同的方法，做第种不同的方法，做第 n 步有步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1m2mn 种不同而方法种不同而方

17、法.云师大数学学院 第 22 页 2011-10-05 使用加法原理中的任一种方法都可以一步完成这件事，而在乘法原理中，必须逐一使用完所有步骤中的各一种方法，才能完成这件事使用加法原理中的任一种方法都可以一步完成这件事，而在乘法原理中，必须逐一使用完所有步骤中的各一种方法，才能完成这件事.例如，由甲地到乙地有例如，由甲地到乙地有 5 条旅游线路，由乙地到丙地有条旅游线路，由乙地到丙地有 6 条旅游线路，则由甲地到丙地共有条旅游线路，则由甲地到丙地共有 56=30 条旅游线路可供选择条旅游线路可供选择.这两个基本原理在高中阶段已经学习过，要求熟练掌握它们的应用这两个基本原理在高中阶段已经学习过，

18、要求熟练掌握它们的应用.云师大数学学院 第 23 页 2011-10-05 由这乘法原理和加法原理可推导几个常用的排列组合公式由这乘法原理和加法原理可推导几个常用的排列组合公式.(1)排列排列 从从 n 个不同元素中任取个不同元素中任取r(rn)个不同元素按先后顺序排成一列，称为一个个不同元素按先后顺序排成一列，称为一个 n 中取中取 r 的排列，记这种排列的总数为的排列，记这种排列的总数为rnA.根据乘法原理，这一排列的第一位置可以取为这根据乘法原理，这一排列的第一位置可以取为这 n 个元素中的任何一个，有个元素中的任何一个，有 n 种取法，同理，种取法，同理，云师大数学学院 第 24 页

19、2011-10-05 第二位置可以取为余下第二位置可以取为余下 n1 个元素中的任何一个，有个元素中的任何一个，有 n1 种取法，第种取法，第r 个位置有个位置有 nr+1 种取法，故取法总数为种取法，故取法总数为!(1)(1)()!rnnAnnnrnr=+=?特别当特别当 r=n 时的排列称为全排列，此时时的排列称为全排列，此时!nnAn=.云师大数学学院 第 25 页 2011-10-05 (2)可重复排列可重复排列 从从n个不同元素中每次任取一个，放回后再任取下一个，如此连续取个不同元素中每次任取一个，放回后再任取下一个，如此连续取r次所得的排列称为一个次所得的排列称为一个n中取中取 r

20、 的可重复排列的可重复排列.根据乘法原理，这种排列的总数共有根据乘法原理，这种排列的总数共有rnnnn=?个个.注意这里允许注意这里允许 r 大于大于 n.(3)组合组合 从从 n 个不同元素中任取个不同元素中任取r(rn)个不同元素不管顺序并成一个不同元素不管顺序并成一云师大数学学院 第 26 页 2011-10-05 组，称为一个组，称为一个 n 中取中取 r 的组合，记这种组合的总数为的组合，记这种组合的总数为rnC.根据乘法原理，这种组合的总数为根据乘法原理，这种组合的总数为(1)(1)!.!()!rrnnAnnnrnCrrr nr+=?注意注意：同样是同样是 n 中取中取 r，相应的

21、排列数与组合数有关系：，相应的排列数与组合数有关系：!rrnnAr C=.这是因为每包含这是因为每包含 r 个不同元素的组合，可个不同元素的组合，可云师大数学学院 第 27 页 2011-10-05 以产生以产生!r个不同的排列，故排列数是组合数的个不同的排列，故排列数是组合数的!r倍倍.另外，由组合的定义可证另外，由组合的定义可证 rn rnnCC=，并规定，并规定01nC=及及0!1=，使得此式当，使得此式当 r=n 时也成立时也成立.(4)可重复组合可重复组合 从从n个不同元素中每次任取一个，放回后再任取下一个，如此连续取个不同元素中每次任取一个，放回后再任取下一个，如此连续取r次所得的

22、组合称为一个次所得的组合称为一个n中取中取 r 的可重复组合的可重复组合.可证，这种可重可证，这种可重云师大数学学院 第 28 页 2011-10-05 复组合总数为复组合总数为1rn rC+.注意这里也允许注意这里也允许 r 大于大于 n.例例 1.2.4（球盒模型球盒模型）设有设有 r 个小球被任意地放入个小球被任意地放入 n 个盒子中，小球分为可区别（如可编号）或不可区别两种情形，每个盒子又分为只能容纳一个小球或容纳数不限两种情形，则它们两两组合起来共有四种情形，这四个盒子中，小球分为可区别（如可编号）或不可区别两种情形，每个盒子又分为只能容纳一个小球或容纳数不限两种情形，则它们两两组合

23、起来共有四种情形，这四云师大数学学院 第 29 页 2011-10-05 种情形下小球放入盒子的放法总数可列表如下种情形下小球放入盒子的放法总数可列表如下：盒子容纳数为盒子容纳数为 1 盒子容纳数不限盒子容纳数不限小球可区别小球可区别 rnA rn 小球不可区别小球不可区别 rnC 1rn rC+云师大数学学院 第 30 页 2011-10-05 表中所列的结论实际上是对上述四种排列组合公式的概括表中所列的结论实际上是对上述四种排列组合公式的概括.例例 1.2.5（得分问题的计算得分问题的计算）计算例计算例 1.2.2 中事件中事件 A=“甲获胜”的概率“甲获胜”的概率 解解 若一定要分出胜负

24、，至多再抛掷四次硬币即可，每连续抛掷四次硬币看成一次试验，由对称性知该试验是一个古典概型，样本空间若一定要分出胜负，至多再抛掷四次硬币即可，每连续抛掷四次硬币看成一次试验，由对称性知该试验是一个古典概型，样本空间=HHHH,HHHT,HHTH,TTTT 云师大数学学院 第 31 页 2011-10-05 含有含有 16 个样本点其中“个样本点其中“H”表示出现正面，“”表示出现正面，“T”表示出现反面事件”表示出现反面事件 A=“甲获胜”等价于事件“四次抛掷中至少出现两次正面”，而后一事件包含的样本点数为三个事件“恰好出现“甲获胜”等价于事件“四次抛掷中至少出现两次正面”，而后一事件包含的样本

25、点数为三个事件“恰好出现 i次正面”次正面”(i=2,3,4)的样本点数之和，即的样本点数之和，即A 包含的样本点数为包含的样本点数为432444CCC+，据古典概率定义有，据古典概率定义有 云师大数学学院 第 32 页 2011-10-05 43244411()1616CCCP A+=.同理，事件 同理，事件 B=“乙获胜”的概率为“乙获胜”的概率为 10445()1616CCP B+=.注意有关系注意有关系 P(B)=1P(A).事实上，事实上，A 与与 B 互为逆事件，此等式即互为逆事件，此等式即()=1()P AP A.云师大数学学院 第 33 页 2011-10-05 例例 1.2.

26、6 n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.说明：这个问题显然是一个古典概率的问题，按样本空间的不同可以有多种解法说明：这个问题显然是一个古典概率的问题，按样本空间的不同可以有多种解法.解解 1 随机试验随机试验 E1：考虑：考虑 n 个人的所有可能坐法，每种坐法看成一个样本点个人的所有可能坐法，每种坐法看成一个样本点.n 个人的坐法可看成是个人的坐法可看成是 n 个不同元素的全排列个不同元素的全排列,故样本空间故样本空间 含有含有 n!云师大数学学院 第 34 页 2011-10-05 个样本点个样本点.而事件而事件 A=“甲

27、乙两人相邻而坐”“甲乙两人相邻而坐”所含的样本点数可以这样考虑：第一步，甲先坐，有所含的样本点数可以这样考虑：第一步，甲先坐，有 n 种坐法；第二步，乙接着坐，因为乙要坐在甲旁边，故有种坐法；第二步，乙接着坐，因为乙要坐在甲旁边，故有 2 种坐法；第三步，其余种坐法；第三步，其余 n2 个人可任意坐，有个人可任意坐，有(n2)！种坐法！种坐法.于是根据乘法原理，事件于是根据乘法原理，事件 A 共含有共含有n2(n2)！个样本点，故所求事件！个样本点，故所求事件 A的概率为的概率为 云师大数学学院 第 35 页 2011-10-05 2(2)!2()!1nnP Ann=.解解 2 随机试验随机试

28、验 E2：只考虑甲乙两人的坐法，即甲乙两人的每种坐法看成一个样本点：只考虑甲乙两人的坐法，即甲乙两人的每种坐法看成一个样本点.类似上面分析，甲乙两人总的坐法有类似上面分析，甲乙两人总的坐法有n(n1)种，故样本空间种，故样本空间含有含有n(n1)个样本点个样本点.而“甲乙两人相邻而坐”而“甲乙两人相邻而坐”云师大数学学院 第 36 页 2011-10-05 的坐法有的坐法有 n2 种种.故所求事件故所求事件 A 的概率为的概率为 22()(1)1nP An nn=.解解 3 随机试验随机试验 E3：只考虑乙的所有可能坐法（设甲已经在某个座位上坐好）：只考虑乙的所有可能坐法（设甲已经在某个座位上

29、坐好）.由于甲已经占了一个座位，故乙的由于甲已经占了一个座位，故乙的云师大数学学院 第 37 页 2011-10-05 坐法共有坐法共有 n1 种选择，即样本空间种选择，即样本空间 含有含有 n1 个样本点个样本点.而乙要坐在甲旁边的坐法只有而乙要坐在甲旁边的坐法只有 2 种种.故所求事件故所求事件 A 的概率为的概率为 2()1P An=.注意：三种方法求的是同一个事件.注意：三种方法求的是同一个事件 A=“甲乙两人相邻而坐”的概率，由于“甲乙两人相邻而坐”的概率，由于云师大数学学院 第 38 页 2011-10-05 所考虑的随机试验所考虑的随机试验 E 不相同，从而导致试验的样本空间不相

30、同，从而导致试验的样本空间 也不相同，但三种方法的结论是一致的！相对而言，第三种方法最简单也不相同，但三种方法的结论是一致的！相对而言，第三种方法最简单.可以看出，选择适当的样本空间可以看出，选择适当的样本空间（等价于选取适当的随机试验（等价于选取适当的随机试验 E）是很重要的！）是很重要的！云师大数学学院 第 39 页 2011-10-05 例例 1.2.7 袋中装有袋中装有 a 个白球，个白球，b 个黑球，从中任意接连摸出个黑球，从中任意接连摸出 k（ka+b）个球，试求事件）个球，试求事件 Ai=“第“第 i 次摸出白球”（次摸出白球”（1ik）的概率）的概率.摸球采用两种方式：摸球采用

31、两种方式：(1)无放回抽样：每摸出一个球观察后不放回袋中，再摸下一球；无放回抽样：每摸出一个球观察后不放回袋中，再摸下一球；(2)有放回抽样：每摸出一个球观察后放回袋中，再摸下一球有放回抽样：每摸出一个球观察后放回袋中，再摸下一球.云师大数学学院 第 40 页 2011-10-05 解解 为明确起见，设球与球之间是可以区别的（比如说，为明确起见，设球与球之间是可以区别的（比如说，a+b 个球已经编过号：个球已经编过号：a 个白球编号为个白球编号为 1,2,a；b 个黑球编号为个黑球编号为 a+1,a+2,a+b）.(1)在无放回抽样情形下，每摸完在无放回抽样情形下，每摸完 k个球看成一次试验，

32、由于摸球是随机的，每次试验可以通过个球看成一次试验，由于摸球是随机的，每次试验可以通过 k 步完成，第步完成，第 1个球有个球有 a+b 种取法，第种取法，第 2 个球有个球有 a+b1 种取法，种取法，,第第 k 个球有个球有 a+bk+1云师大数学学院 第 41 页 2011-10-05 种取法，故由乘法原理知样本点总数为种取法，故由乘法原理知样本点总数为ka bA+；事件；事件 Ai发生相当于摸出的第发生相当于摸出的第i 个球为白球，它可以是个球为白球，它可以是 a 个白球中任意一个，有个白球中任意一个，有 a 种取法，而其余种取法，而其余 k1 个球可以是剩余个球可以是剩余a+b1个球

33、中任意个球中任意k1个，有个，有11ka bA+种取法，由乘法原理知事件种取法，由乘法原理知事件 Ai共含有共含有11ka baA+个样本点，所以个样本点，所以 云师大数学学院 第 42 页 2011-10-05 11(),(1)ka bika baAaP AikAab+=+.另解另解：这个问题也可以模仿上例解这个问题也可以模仿上例解3，把试验规定为只看，把试验规定为只看第第 i 次摸球的结果，即考虑哪一个球在第次摸球的结果，即考虑哪一个球在第 i 次被取到次被取到.由于摸球的随机性，每一个球都等可能地在第由于摸球的随机性，每一个球都等可能地在第 i 次被取到，故样本点总数为次被取到，故样本点

34、总数为a+b，而事件，而事件 Ai含有含有 a 个样本点，同样个样本点，同样云师大数学学院 第 43 页 2011-10-05 可求出可求出(),(1)iaP Aikab=+.(2)在有放回抽样情形下，对任意在有放回抽样情形下，对任意 i（1ik），第），第 i 次摸球时仍有次摸球时仍有 a+b 个球可选，即样本点总数为个球可选，即样本点总数为 a+b，而事件“第，而事件“第 i 次摸出白球”有次摸出白球”有 a 种选择，于是种选择，于是(),(1)iaP Aikab=+.云师大数学学院 第 44 页 2011-10-05 注注：本题为古典概型中非常典型的摸球模型，它能本题为古典概型中非常典型

35、的摸球模型，它能概括多种实际问题，如抽签、产品检验等，概括多种实际问题，如抽签、产品检验等，特别要注意特别要注意 P(Ai)与与 i 无关，即无论哪一次取到白球的概率都是一样的，它说明在抽签时没有必要争先恐后无关，即无论哪一次取到白球的概率都是一样的，它说明在抽签时没有必要争先恐后.另外，根据对随机试验的不同看法和假设条件的差别，本题有很多种解法，比如把另外，根据对随机试验的不同看法和假设条件的差别，本题有很多种解法，比如把 a+b 个球顺序摸完看成一次试验，或假设同色球之个球顺序摸完看成一次试验，或假设同色球之云师大数学学院 第 45 页 2011-10-05 间不可区别等等间不可区别等等.

36、考虑顺序时通常用排列，不管顺序时通常用组合，所得结论均相同，其中考虑顺序时通常用排列，不管顺序时通常用组合，所得结论均相同，其中(1)中的“另解”是最简单的方法，该方法的样本空间是最小的（因为再小就不能保证等可能性了）中的“另解”是最简单的方法，该方法的样本空间是最小的（因为再小就不能保证等可能性了）.云师大数学学院 第 46 页 2011-10-05 例例 1.2.8（生日问题）（生日问题）一个班学生有一个班学生有 n 个人，求他们的生日都不相同的概率个人，求他们的生日都不相同的概率 pn.解解 把把 n 个人看成可以区别的小球，一年个人看成可以区别的小球，一年 365 天看成天看成 365

37、 个容纳数不限的盒子，假设每个人的生日在一年中任一天是等可能的，那么由例个容纳数不限的盒子，假设每个人的生日在一年中任一天是等可能的，那么由例 1.2.4 结论知样本点总数为结论知样本点总数为 365n，而事件，而事件 An=“n个人生日都不相同”相当于个人生日都不相同”相当于 1.2.4 中一中一云师大数学学院 第 47 页 2011-10-05 个盒子（天）只能容纳一个球（人）的情形，有个盒子（天）只能容纳一个球（人）的情形，有365nA个样本点，故所求事件的概率个样本点，故所求事件的概率 365365!().365365nnnnnnAn CpP A=利用利用Excel可很方便地求出可很方

38、便地求出pn.如图如图1.2.3，可先在单元格区域，可先在单元格区域 B1:H1 中输中输云师大数学学院 第 48 页 2011-10-05 入要计算的人数入要计算的人数 n 的相应取值，然后在单元格的相应取值，然后在单元格 B2 中公式中公式=FACT(B1)*COMBIN(365,B1)/365B1 确定后得所求概率值确定后得所求概率值 0.8831.该公式中该公式中 B1=10=n，Excel 中用中用:FACT(n)计算阶乘计算阶乘!n，FACT(B1)即即10!，COMBIN(365,B1)计算组合数计算组合数365nC，云师大数学学院 第 49 页 2011-10-05 365B1

39、 即即 365n；然后鼠标点击单元格；然后鼠标点击单元格B2 右下角，等出现小黑十字后按住不放，拖动鼠标至右下角，等出现小黑十字后按住不放，拖动鼠标至 H2 放开，就可以在单元格区域放开，就可以在单元格区域 C2:H2 中自动计算出其余中自动计算出其余 n所对应的概率值所对应的概率值 pn.类似地，在单元格类似地，在单元格B3 内输入“内输入“=1B2”确定，再同上拖放至”确定，再同上拖放至 H3 放开，可得诸放开，可得诸 1pn的值的值.云师大数学学院 第 50 页 2011-10-05 从计算结果可以看出，对较大的从计算结果可以看出，对较大的 n，事件“，事件“n 个人生日都不相同”发生的

40、概率个人生日都不相同”发生的概率 pn很小，而该事件的对立事件“很小，而该事件的对立事件“n个人中至少两个人生日相同”发生的概率个人中至少两个人生日相同”发生的概率 1pn却较大却较大.云师大数学学院 第 51 页 2011-10-05 例例 1.2.9(超几何概率(超几何概率)一批产品共有一批产品共有 100 件，其中有件，其中有 30 件次品，有件次品，有 70件合格品，从中不放回地任取件合格品，从中不放回地任取 10 件产品，求事件件产品，求事件 A=“所取“所取 10 件产品中恰有件产品中恰有 5 件次品”的概率件次品”的概率.解解 由抽取的随机性知这是一个古典概型，由于只关心所抽出的

41、这由抽取的随机性知这是一个古典概型，由于只关心所抽出的这 10 件产品中的次品件数，而不管抽取顺序，件产品中的次品件数，而不管抽取顺序，云师大数学学院 第 52 页 2011-10-05 故用组合公式可得取法总数为故用组合公式可得取法总数为10100C；而事件；而事件 A 发生可分两步完成：先从全部发生可分两步完成：先从全部30 件次品集合中随机抽出件次品集合中随机抽出 5 件次品，有件次品，有530C种取法，再从种取法，再从 10030=70 件合格品集合中任取件合格品集合中任取 105=5 件合格品，有件合格品，有10 55100 3070CC=种取法，据乘法原理，事件种取法，据乘法原理，

42、事件 A 包含有包含有553070C C种取法，由古典种取法，由古典云师大数学学院 第 53 页 2011-10-05 概率定义概率定义 55307010100()0.0996.C CP AC=在在 Excel 的任一单元格中键入公式“的任一单元格中键入公式“=COMBIN(30,5)*COMBIN(70,5)/COMBIN(100,10)”容易算出这个概率值容易算出这个概率值.一般，假设一般，假设 N 件产品中有件产品中有 M 件次品，件次品，云师大数学学院 第 54 页 2011-10-05 从中不放回地任取从中不放回地任取 n 件产品，那么事件件产品，那么事件 Ak=“所取“所取 n 件

43、产品中恰有件产品中恰有 k 件次品”的概率为件次品”的概率为(),(0min(,).kn kMN MknNC CP Akn MC=这就是概率论中常用的超几何概率公式这就是概率论中常用的超几何概率公式.云师大数学学院 第 55 页 2011-10-05 这 个 概 率 值这 个 概 率 值kn knMNMNC CC在在Excel 中也可以用超几何分布命令中也可以用超几何分布命令“=HYPGEOMDIST(k,n,M,N)”来计算来计算.云师大数学学院 第 56 页 2011-10-05 例例 1.2.10（双色球彩票中奖概率双色球彩票中奖概率）一种名为“双色球”的福利彩票，每期开奖时从编号为）一

44、种名为“双色球”的福利彩票，每期开奖时从编号为 01，02，33 的红球中不重复地随机摇出的红球中不重复地随机摇出 6 个红色球中奖号码，再从编号为个红色球中奖号码，再从编号为 01，02，16 的蓝色球中随机摇出的蓝色球中随机摇出 1 个蓝色球中奖号码个蓝色球中奖号码.购买彩票者事先选择购买彩票者事先选择 6 个不同的红球号及一个蓝球号作为一注进行博彩，求任买一张该彩票能中各种等个不同的红球号及一个蓝球号作为一注进行博彩，求任买一张该彩票能中各种等云师大数学学院 第 57 页 2011-10-05 级奖的概率级奖的概率.中奖规则如下中奖规则如下:一等奖一等奖(6+1)：中：中 6 个红球号及

45、个红球号及 1 个蓝球号；个蓝球号；二等奖二等奖(6+0)：中：中 6 个红球号；个红球号；三等奖三等奖(5+1)：中：中 5 个红球号及个红球号及 1 个蓝球号；个蓝球号；四等奖四等奖(5+0)或或(4+1)：中：中 5 个红球号，或者中个红球号，或者中 4 个红球号及个红球号及 1 个蓝球号；个蓝球号；五等奖五等奖(4+0)或或(3+1)：中：中 4 个红球个红球云师大数学学院 第 58 页 2011-10-05 号，或者中号，或者中 3 个红球号及个红球号及 1 个蓝球号；个蓝球号；六等奖：在其余情形下，中六等奖：在其余情形下，中 1 个蓝球号，即个蓝球号，即(2+1)或或(1+1)或或

46、(0+1).云师大数学学院 第 59 页 2011-10-05 云师大数学学院 第 60 页 2011-10-05 解解 根据开奖结果，我们把每期的红球号分为根据开奖结果，我们把每期的红球号分为 6 个中奖号和个中奖号和 27 个无用号两部分，再把蓝球号分为个无用号两部分，再把蓝球号分为 1 个中奖号和个中奖号和 15 个无用号两部分.因为买彩票时是不重复地选个无用号两部分.因为买彩票时是不重复地选 6 个红球号和个红球号和 1 个蓝球号，故样本空间含有个蓝球号，故样本空间含有613316C C个样本点；每一张彩票的个样本点；每一张彩票的 6 个红球号和个红球号和 1 个蓝球号总是在这四类号码

47、中选取，按照乘个蓝球号总是在这四类号码中选取，按照乘云师大数学学院 第 61 页 2011-10-05 法原理、加法原理以及中奖规则，事件法原理、加法原理以及中奖规则，事件 Ai=“买一张彩票中“买一张彩票中 i 等奖”等奖”(i=1,6)所包含的样本点数分别为所包含的样本点数分别为 6161C C，61615C C，5116271C C C，511421627156271C C CC C C+，421331627156271C C CC C C+以及以及 6651423313666276276271()CCC CC CC CC.利 用利 用Excel中 的 组 合 函 数 命 令中 的 组

48、合 函 数 命 令云师大数学学院 第 62 页 2011-10-05 COMBIN(n,k)容易算出具体的各等级中奖注数以及中奖概率，如图容易算出具体的各等级中奖注数以及中奖概率，如图 1.2.4.由以上计算结果可以看出，买双色球彩票中奖概率是很低的，总的中奖概率约为由以上计算结果可以看出，买双色球彩票中奖概率是很低的，总的中奖概率约为 6.7%，也即不中奖的概率约为，也即不中奖的概率约为 93.3%，其他类型的彩票也大致如，其他类型的彩票也大致如云师大数学学院 第 63 页 2011-10-05 此，所以购买彩票要有平常心此，所以购买彩票要有平常心.小结小结：讨论古典概率问题时关键是抓住四个

49、步骤：讨论古典概率问题时关键是抓住四个步骤：判断判断 E 是否为为古典概型；是否为为古典概型；样本空间样本空间 的构成和样本点总数的计算；的构成和样本点总数的计算；计算事件计算事件 A 中的样本点数；中的样本点数；代入公式代入公式 P(A)=m/n 计算事件计算事件 A发生的概率发生的概率.云师大数学学院 第 64 页 2011-10-05 特别要注意排列和组合的使用场合特别要注意排列和组合的使用场合.1.2.3 几何概率几何概率 概率的古典定义具有易理解、易计算的优点概率的古典定义具有易理解、易计算的优点,但它也有明显的局限性但它也有明显的局限性.要求样本点有限、等可能要求样本点有限、等可能

50、.如果样本空间中的样本点有无限个如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了概率的古典定义就不适用了.古典概率的有限性在实际中有时不古典概率的有限性在实际中有时不云师大数学学院 第 65 页 2011-10-05 能满足，例如：能满足，例如：?公交车每十分钟来一趟，由随机性，任意一位乘客的公交车每十分钟来一趟，由随机性，任意一位乘客的等车时间等车时间 x 可以在区间可以在区间0,10内等可能地任意取值，这样的样本点内等可能地任意取值，这样的样本点 x 有不可数的无穷多个，充满了整个区间有不可数的无穷多个，充满了整个区间0,10.即样本空间为即样本空间为=:010 xx，又记事件，又