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1、2003年4月 晋东南师范专科学校学报Apr.,2003第20卷 第2期 Journal of Jindongnan Teachers CollegeVol.20,No.2收稿日期:20030110作者简介:李海增(1964),男,山西平顺人,讲师,主要从事概率统计、数学实验的研究。善于归纳 勤于总结 概率统计教学经验总结之四李海增(晋东南师专数学系,山西长治,046011)摘 要:文章结合作者多年从事概率统计的教学实践提出了在学习中适时地将一些分散的概率统计知识予以归纳总结的重要观点。关键词:随机事件;概率;归纳;总结中图分类号:O211 文献标识码:A 文章编号:1009-0266(200
2、3)02-0048-02 本文是继文123后,笔者在概率统计教学中的体会之四在传统概率论的教材中,受知识体系的限制,同时也为了分散难度,一个问题往往需要分散在不同的章节才能解决,初学时感觉非常零乱。根据笔者的教学体会,教师在教学中,就要善于及时地将这些散布在不同地方的东西加以归纳、总结,从中提炼出一些规律性的东西来,帮助学生理清思路。这样做既有利于学生从整体上把握概率论的知识体系,加深学生对相关知识的理解、应用;又可培养学生的归纳思维能力,养成一个良好的学习习惯。以下仅举几例加以说明。1求随机事件和的概率。求随机事件和的概率,针对不同的情况,有不同的简便方法,它们往往分散或者隐含在不同的地方,
3、学生在学习时,往往不得要领,感觉不易掌握。笔者根据自己的学习体会,给学生做了如下的总结:求n个随机事件A1,A1,An的和的概率P(ni=1Ai),常用的有如下三公式:当A1,A1,An互不相容时:P(6ni=1Ai)=6ni=1P(Ai)当A1,A2,An相互独立时:P(ni=1Ai)=1-7ni=1P(Ai一般情形,有如下多退少补公式:P(ni=1Ai)=6ni=1Ai-61ijnAiAj+61ijknAiAjAk+(-1)n-1PA1A2An根据这三个公式的易用程度和简捷程度,在求随机事件和的概率时,应该首先考察事件A1,A2,An是否互不相容,即首选公式;其次再考察他们是否独立,看能否
4、用公式;万不得已时才选用公式。例1:如图1所示的电路中,有六个元件,他们断电的概率均为0.3,求线路断电的概率。解:设Ai=“第i个元件断电”,i=1,2,3,4,5,6A=“整个线路断电”则:A=(A1A2)(A3A4)(A5A6)容易发现,这是一个求相容事件和的概率问题,因而不能用公式 去求事件A的概率,利用公式,得:p(A)=p(A1A2)(A3A4)A5A6)=p(A1A2)+p(A3A4)+p(A5A6)-p(A1A2A3A4)-p(A1A2A5A6)-p(A3A4A5A6)+p(A1A2A3A4A5A6)84 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical
5、Disc Co.,Ltd.All rights reserved.(利用A1之间的独立性)=p(A1)p(A2)+p(A3)p(A4)+p(A5)p(A6)-p(A1)p(A2)p(A3)p(A4)-p(A1)p(A2)p(A5)p(A6)-p(A3)p(A4A5)p(A6)+p(A1)p(A2)p(A3)p(A4)p(A5)p(A6)=30.32-30.34+0.36=0.246329这种解法,由于在选用公式时只顾及了事件的相容性而忽视了事件的独立性,导致求解过程十分繁琐。反之,如果我们在选用公式是就考虑到了随机事件的独立性而选用公式,则有简单的解法:p(A)=1-p(A1A2)p(A3A4
6、)p(A5A6)=1-(1-p(A1)p(A2)(1-p(A3)p(A4)(1-p(A5)p(A6)1-(1-0.30.3)3=0.2463292.二项分布的计算问题二项分布中有关事件的概率计算问题,是一件十分不友好的事,例如即使如此简单的问题:设 B(10,0.2),那么p(=2)=C2100.220.88的精确值,很难手工算出,因此,二项分布的计算问题,就成为一件重要的事情。对这个问题的解决,课本中一般也散布在不同的章节里,如不及时总结,学生很难从总体上掌握二项分布的计算方法。为此我给学生做了如下的总结:对于特别简单的问题,可以直接计算。例如设 B(3,0.2),则p(=2)就可直接计算出
7、来:p(=2)=C230.20.82=0.384但这种方法只适用于极个别的情形。对于n较大(一般n10),p较小(一般p 0.05)=np大小适中(即在Poisson分布表中可查到)时,可以用如下的Poisson逼近公式来近似计算:设 B(n,p),P(),则p(=m)=Cmnpmqn-nmm!e-=P(=m),后者可通过查Poisson分布表得到。只要n适当大时,都可通过正态逼近计算:设 B(n,p),则p(-npnpqx-npnpq)(x-npnpq)例2:设 B(100,0.05)求p(=10)p(10)解:显然,直接计算较为困难,可以考虑近似计算这里由于n=100较大,p=0.05较小
8、,=np=5大小适中,故可采用Poisson逼近。p(=10)51010!e-5查Poissoon分布表010318P(10)=1-p(9)=1-69m=0p(=m)1-69m=05mm!e-5=0.0318这时,需要计算10项的和,并不简单,可改用正态逼近计算:P(10)=1-p(9)1-(9-1000.051000.050.95)=1-(1.841-0.967=0.033例3:B(100,0.5),求p(30 70)解:这里,p=0.5不是很小,故只能用正态逼近求解p(40 60)p(40-1000.51000.50.5-1000.51000.50.560-1000.51000.50.5)
9、(2)-(-2)=2(2)-1=20.97725-1=0.08543经过这样的总结后,学生对二项分布的计算问题就不再感到无法下手了。总之,在概率论中,有很多知识需要经过归纳总结后,才能加以全面理解。教师在教学中,一定要有计划地进行知识点的归纳总结或有目的地引导学生自己去归纳总结出一些规律性的东西来。这样做,在教学中可以收到事半功倍的效果。参考文献:1李海增 1 对称原则在概率计算中的一些应用J.晋东南师专学报,2000,3.2李海增 1 利用事件之间的关系求解概率问题J.晋东南师专学报,2001,3.3李海增 1 概率论中几个关系的辨析J.晋东南师专学报,2002,3.4缪铨生 1 概率论与数理统计M.华东师范大学出版社,1985.5章昕等1 概率统计辅导M.科学技术文献出版社,北京:2000.(责任编辑 赵巨涛)94李海增 善于归纳 勤于总结 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.