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1、徐老641272611第一章习题解答（三大题第 14 题到 27 题）14.某种动物活到 10 岁的概率 0.92，活到 15 岁的概率为 0.67。求一只该种动物活到了 10 岁后还能活到 15 岁的概率。分析 典型的条件概率，关键在于事件的关系上不要错了。解 设表示“动物活到 10 岁”，AB表示“动物活到 15 岁”，显然活到15 岁这个事件包含在活到 10 岁这个事件中，因而有BA，()0.67()0.72826()0.92P BAP B AP A=15.设 P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(A-B)=0.14,求 P(A|B),P(B|BA).分析 概率的基本公式运用，()()
2、()P ABP A BP B=，而()(P ABP AB)=，第一个问题易解，第二个问题涉及条件概率与加法公式。解 ，()()(P ABP AP AB=)()()()0.50.140.36P ABP ABP A=得 ()()0.14()0.23331()0.6()P ABP ABP A BP BP B=()()()0.4()0.46510.50.36()()()()()()P B ABP BP BP B ABP ABP AP BP ABP AP BA=+=+其中 ()()()()()P BP ABP BP BAP BA=16.设 A,B 是两个事件，1()0P Ap=，2()0P Bp=，且。
3、证明：121pp+211()1PP B AP 分析 左边()()()()()()()P BAP BP AP BAP B AP AP A+=，右边21211111PPPPP+=+=，代入值后，对称，化简，可得 证明 ()()()()()()()P BAP BP AP BAP B AP AP A+=徐老641272611()()212111()1()PPP BAPPP BAPP1+=+=即 211()1PP B AP 得证 17.空战中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是 0.3；若甲机未被击落，再进攻乙机，击落乙机的概率是 0.4。求这几回合中
4、：（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率；分析 条件概率和独立事件的应用，注重事件的字母表示和事件的关系。解 设表示“甲机第一次击落乙机”，1AB表示“乙机击落甲机”，表示“甲机第二次击落乙机”，显然有：2A11()0.2,(P A=)0.8P A=，乙机在1A发生下的击落甲机的概率为，即：0.31()0.P B A=3，得：111()0.3()()0.3 0.8 0.24 P BAP AP BA=（2）由甲机未被击落，再进攻乙机，击落乙机的概率是 0.4，得：21()P A BA=0.4，即：211()0.4()P A BAP BA=，有：211()0.4()0.4 0.7 0.80
5、.224P A BAP BA=121()()0.20.2240.424P AP A BA+=+=+=+=18.一人从某地到上海参加会议，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为 0.3,0.2,0.1,0.4。若他乘火车，轮船，汽车去而迟到的概率分别为1/4,1/3,1/12.乘飞机去则不会迟到。（1）求他迟到的概率 （2）若他迟到了，他最可能乘什么交通工具？分析 全概率乘法公式与贝叶斯分式的应用。徐老641272611解 设表示依次乘坐的交通工具，iAB表示开会迟到，由题意可得：1234()0.3,()0.2,()0.1,()0.4,P AP AP AP A=1234111(),(),(),(
6、)0,4312P B AP B AP B AP B A=那么，41111()()()0.30.20.100.154312iiiP BP A P B A=+=+=（2）在已知迟到的情况，乘坐火车的概率为1110.3()34()()0.1540P ABP A BP B=，同理可得：22()30P A B=，31()120P A B=，最大者为340，最有可能乘坐火车。19一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患有关节炎的病人有 85%检验结果是患关节炎.对于未患关节炎的人有 4%的检验结果会认为是患关节炎，已知 50 岁以上人群中有 10%的人患有关节炎。求当一名被检验者经
7、检验认为没有关节炎，而他却患有关节炎的概率。分析 贝叶斯公式的应用，关键在于事件的描述上，谁是条件，谁是结果。解 设表示患有关节炎，AB表示检验结果是患关节炎，由题意知：，()0.1P A=(P B)0.85A=，()0.04P B A=，求：()P A B()()()0.1 0.850.085()()()0.9 0.040.036()()()0.121()1()0.879 P BAP A P B AP BAP A P B AP BP BAP BAP BP B=+=+=得 ()0.1(10.85)()0.017060.879()P ABP A BP B=20.有甲、乙两箱产品，其中甲箱有 10
8、 件正品 5 件次品；乙箱中有 12 件正品 3 件次品.（1）从甲箱中任取 2 件放入乙箱，再从乙箱任取一件，求从乙箱中取得这件产品是次品的概率；（2）今随机任取一箱，再从中先后依次任取两件产品，求这两件产品中有一正品一次品的概率，再求后取的是次品条件下，徐老641272611先取的是正品的概率。分析 古典概型，全概率乘法，条件概率，注意事件的字母表示。解 设表示甲箱中任取 2 件有 件次品（iAi0,1,2i=），B表示乙箱中取到次品，有：0251002153()7C CP AC=，11512150110()21C CP AC=，20510=2()C CP AC215221 1301173
9、()17CP B AC=，1411174()17CP B AC=，1521175()17CP B AC=203 310 42 511()()()0.21577 1721 721 751iiiP BP A P B A=+=+=iii（2）用表示一正一次C11111051232215151143()0.409522105C CC CP CCC=+=+=，设表示任取中第 次正品（iAi1,2i=），所示问题为：12(P A A)，而：1212121212()()()()()()P A AP A AP A AP AP A AP A A=+=+2 121211 10 51 12 343()()()2 1
10、5 142 15 14210P A AP A P A A=+=+ii=ii 121211 541 3213()()()2 15 142 15 14210P A AP A P A A=+=+iiii=124343210()0.767857431356210210P A A=+=+21.若三事件 A、B、C 相互独立，证明 AB 及 A-B 都与 C 相互独立。分析 只需要证明。()()(PAB CP AB P C=)证明 ()AB CACBC+=+=+()()()()()()()()()()()()()()()()()()PAB CP ACBCP ACP BCP ABCP A P CP B P
11、CP A P B P CP AP BP A P BP CP AB P C+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+得证 注意 证明方法类似()()(PAB CP AB P C=)徐老64127261122.甲、乙两人向同一靶各射击一次。两人击中靶的概率分别为 0.9 和 0.8.求：（1）恰有一人击中靶子的概率；（2）已知靶子被击中，求它是甲未击中而乙击中的概率。分析 独立事件的概率，注意事件的表示。解 设表示甲击中靶子，AB表示乙击中靶子，相互独立，有。表示恰有一人击中靶子，则:()0.9,().8P AP B=0C()()()()()()()()0.9 0.20.1 0.80.26 CAB
12、ABP CP ABP ABP A P BP A P B=+=+=+=+=+=+=+=+=(2)用表示已知击中情况下，甲未击中乙击中事件，则有击中事件为DAB+,甲未击中乙击AB,有：()()()()()0.90.80.720.98P ABP AP BP A P B+=+=+=+=+=+=()0.1 0.80.08P AB=()0.08()()0.0816()0.98P ABP DP AB ABP AB=+=+=+=+注意 也可用()1()10.020.98P ABP AB+=+=；教材答案为 0.1837，其过程为0.9 0.20.183670.98=,表示在已知击中，甲击中乙未击中的概率。2
13、3.设概率统计课的重修率为 6%，若一个班至少一人重修的概率不小于0.95，则这个班至少有多少位同学。分析 伯努利概型问题的应用，注意要用函数计算器帮助求解。解 设至少有 位同学，用nX表示重修的同学数,由题意得：()()10.95p X 徐老641272611()()()0011010.06 0.9410.9410.940.95 nnnnp Xp XC=ii 即：0.940.05n 取自然对数得：ln0.05ln0.94n 解得 48.41n 答：至少 49 人 注意 是个小于零的数，不等号反向，当除以该数时。ln0.9424.一系统由四个元件联结而成，各个元件独立地工作，且每个元件能正常工
14、作的概率均为 p.求系统能正常工作的概率。分析 独立事件串、并联稳定性问题。解 用表示第 个元件正常工作,其中,用iAi1,2,3,4i=A表示系统正常工作，得：()()()()(1234142143142143124333434()()2 P Ap A AA Ap A A AA A A)p A A Ap A A Ap A A A Appppp=+=+=+=+=+=+=+=+=25.统计表明，某加油站前来加油的车加汽油和柴油的比例是 8 比 2，现有5 辆车前来加油。求：（1）5 辆车中恰有 3 辆加汽油的概率；（2）5 辆车中至少1 辆加汽油的概率。分析 典型的伯努利概型，注意量化的方法。解
15、 用A表示加汽油,用B表示加柴油，其概率分别为,用表示恰有 3 辆加汽油，用表示至少 1 辆加汽油的事件，可得：()0.8,()0.2p Ap B=CD徐老641272611(1)(332532()()()5 40.80.22 10.2048 P CC p Ap B=)(2)0055()1()1()(10.20.99968 P DP DC p Ap B=5)注意 教材上（2）答案为 0.6723，其过程为,至少 1 辆加柴油的概率。510.8 26.一工人每天加工的 100 个零件。每个零件不合格的概率是 0.01。设每个零件是否合格是相互独立的。若他加工的零件中不合格不超过两个，则可获得当日
16、完成任务奖,求他能获奖的概率。分析 典型的伯努利概型的应用。解 设每个零件不合格的概率为p，加工的零件不合格数为X，由题意得：001001199229810010010098299(2)(0)(1)(2)(1)(1)(1)0.990.990.990.9920.992.490.9206 P XP XP XP XCppCppCpp=+=+=+=+=+=+=+=+=答：所求的概率为 0.9206 27.一工厂生产的电子元件为一、二、三等品的概率分别为 0.9,0.08,0.02。现任取一盒（10 只）该厂生产的电子元件，求其中有 8 只一等品、1 只二等品、1 只三等品的概率。分析 伯努利概型的推广，10 只中取 8 只一等品发生，2 只中取 1 只二等品发生，1 只中只有 1 只三等品发生，用不着死记 P26 的公式 解 设其概率为p，有：8811102180.90.080.0210 9 0.90.08 0.020.06198 pCCC=ii 答：所求的概率为 0.0620