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1、现代商业MODERN BUSINESS40金融视线Financial View一 背景综述自从B a c h e l i e r 关于债券价格运动的研究以来,产生了许多描述资产价格收益行为的模型。针对B a c h e l i e r 的算术布朗运动模型出现价格的负值,S a mu e l s o n 提出了几何布朗运动模型,O s b o r n e 也建议用正态分布随机变量来建模对数资产价格。随后,布朗运动以其良好的随机计算性质而广泛应用于衍生品定价中。布莱克和斯科尔斯的经典衍生品定价理论,奠定了当代衍生产品定价的理论基础。然而大量的实证研究表明,大多数资产市场中的随机现象都体现出了很强的
2、肥尾、长期相关等特征,这导致了大量的由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场。Ma n d e l b r o t 和V a n N e s s 提出分数布朗运动,对上述模型缺陷进行弥补。建立在资产价格几何布朗运动基础上的衍生品定价理论也迅速发展。但由于几何分数布朗运动具有长程相关性,人们根据过去资产价格的变动趋势,可预测未来资产的变动趋势,从而获得套利,所以具有长程相关性的几何分数布朗运动事实上并不满足无套利条件。虽然此后H u 和k s e n d a l 在分数伊藤积分意义下证明,分数B l a c k-S c h o l e s 市场不存在套利且完备,但这事实上一种保底的无套利策略,即
3、资产持有者宁愿放弃套利机会,来获得保本收益,并非说市场真的没有无套利机会。几何分数布朗运动中,波动率虽然可以随着时间变化,但其仍然是确定的函数。如果波动率本身也是随机的,倘若此随机数期望值为0,则波动率就具有无偏性,长程相关性就不确定,因此也就不存在套利。但此时是否还能无套利定价呢？He s t o n 等人将布朗运动引入波动率,以在波动率中进行随机分析,并推出多因子模型。从表面上看,波动率仿佛就是高阶项,因此将随机数引入波动率,就是将随机数引入高阶项。然而事实并非如此。例如以下方程：(1)展开得：(2)显然,(2)式高阶项d(t)d B(t)的不确定性趋于0。因此(2)式并未真正将随机数引入
4、高阶项,(2)式的随机数仍然只保留在一阶项。问题在于：即使我们承认资产价格连续,但并没有任何机制保证资产价格的波动率变化也连续。而H e s t o n 等人假设波动率为布朗运动,事实上施加了外生条件：资产的波动率必须连续变化。二 资产价格的连续性探讨资产价格可以进行各阶展开。首先我们讨论资产价格的连续性。资产价格连续的假设,具有一定的现实意义。假定资产价格在任意无限短的时间内以有限的方差独立跳跃,则其在任意有限短的时间内,将独立跳跃无穷次,这必然导致其在任意有限短时间内资产价格的方差无穷大,这并不符合实际。从这一点判断,资产价格至少在有限短的时间内连续,是符合实际的。不过在实际中,这种有限短
5、的时间可能太短,以至失去意义。例如倘若一天之内(8小时)资产价格跳跃3 6 0 0 次,则平均资产价格保持连续的时间不过8 秒,对于金融操作来说并无意义。如果资产价格的跳跃相关,则其在任意无限短的时间内以有限的方差跳跃,在任意短的有限时间内将跳跃无穷多次,在任意有限短时间内资产价格的方差将可能有限。此时总体说来,资产价格前后跳跃是负相关的。但是,这种相关性将使得市场出现有偏的趋势,从而产生套利,破坏无套利条件。综合以上分析可以得到结论：在无套利且方差有限的市场上,资产价格至少在有限短的时间内连续。三 资产价格各阶连续性探讨现在来讨论资产价格高阶变化的连续性。从物理意义上说,并未有任何外在机制保
6、证资产价格高阶连续。资产价格高阶非连续变化,亦有两种可能。一种是在有限的时间段内,波动率发生有限次跳跃；一种是在有限的时间段内,波动率发生无限次跳跃。如果无限次跳跃之间彼此无关,则在任意短的有限时间段内,波动率跳跃的二次方差将趋于无穷大,这不符合实际情况。如果无限次跳跃之间彼此相关,则在任意短的有限时间段内,波动率跳跃的二次方差可以有限。不过,根据几何分数布朗运动的性质可知,当资产价格变化存在时序相关时,存在套利机会。那么,波动率跳跃的相关性,是否也会破坏无套利条件呢？几何分数布朗运动有如下性质:(3)因为:(4)所以:(5),随机序列呈正相关关系,可以判断未来增量趋势,有套利机会。,随机序列
7、呈不相关关系,不可判断未来增量趋势,无套利机会。,随机序列呈负相关关系,可以判断未来增量趋势,有套利机会。由(5)式易看出,序列是否有趋势,是否有套利机会,其指标就是随机增量是否与历史数据相关。现在我们要了解的是,如果资产价格变化的高阶相关,是否一定会导致资产价格相关。构造资产价格运动方程：(6)其中d B(t)与(t)独立,c o v(t),(t+t)0,E(d B(t)=0,D(d B(t)=d t,E(t)=0,D(t)=2,是非随机数。因为我们仅仅考察随机部分的相关性,所以将(6)式中的漂移项去掉,考察随机增量与历史数据的相关性。资产价格高阶跳跃下的衍生品定价【文章摘要】文章认为资产价
8、格的连续性与资产价格变化的高阶连续性不能相提并论。在研究几何分数布朗运动、多因子模型等衍生品定价理论的基础上,论文指出在资产价格连续、无套利、方差有限的情况下,由于资产价格高阶变化可能不连续,衍生品不能进行无套利定价。并由此推广到多因子模型下,由于无法保证因子高阶变化的连续性,因此多因子模型的无套利定价也是难以实现的。【关键词】资产定价;高阶跳跃;连续性;衍生品定价程碧波 中国民航管理干部学院 100102现代商业MODERN BUSINESS41金融视线Financial View【参考文献】1、B a c h e lie r L.T h e o r y o f S p e c u la t
9、 io n M .C o o t n e r P.T h e R a n d o m C h a r a c t e r o f S t o c kM a r k e t P r ic e s.C a m b r id g e:M I T P r e s s,1 9 0 0:1 7 7 8.2、S u m u e ls o n P A.R a t io n a l t h e o r y o f w a r-r a n t s p r ic in g J .In d u s t r ia lM a g e m e n t R e v ie w,1 9 6 5,6 (1):1 3 3 1.3、O
10、 s b o r n e M F M.B r o w n ia n m o t io n in t h es t o c k m a r k e t J .O p e r a t io n s R e s e a r c h,1 9 5 9,7 (2):1 4 5 1 7 3.4、B la c k,F is c h e r,M y r o n S c h o le s.T h e p r ic in go f O p t io n s a n d C o p o r a t e L ia b ilit ie s J .J o u r n a lo f P o lit ic a l E c o
11、n o m y,1 9 7 3:8 1 6 3 7-6 5 9.5、M a n d e l b r o t B B,V a n N e s s J W.F r a c t io n a lB r o w n ia n m o t io n,f r a c t io n a l n o is e sa n d a p p lic a t io n J .S I A M R e v ie w,1 9 6 8,1 0 (4):4 2 2 4 3 7.6、H u Y a o z h o n g,k s e n d a l B.F r a c t i o n a lw h it e n o is e c
12、 a lc u lu s a n d a p p lic a t io n t o f i-n a n c e J .I n f i n i t e D i m e n s i o n a l A n a l y s i s,Q u a n t u m P r o b a b ilit y a n d R e la t e d T o p ic s,2 0 0 3,6 (1):1 3 2.7、程碧波：国计学,社会科学文献出版社2 0 1 0 年修订版,第1 5 1 页。【作者简介】程碧波（1 9 7 6 年0 3 月-）,男,重庆人,经济学博士,中国民航管理干部学院经济学副教授 研究方向方向：
13、经济学、运筹学 (7)因为d B(t)与(t)独立,E(d B(t)=0,E(t)=0,所以：c o v(S t,S t(+(t)(B()-B(t)=0 (8)因此(6)式的随机增量与历史数据无关,随机序列不具有趋势,无套利机会。由此可见,虽然资产价格波动率的时序跳跃(t)之间具有相关性,但因为波动率(t)变化与资产价格中的d B(t)变化无关,所以资产价格的随机增量与资产价格历史数据无关,资产价格分布是无套利的。这就得到一个结论：资产价格变化的高阶时序相关性,并不必然导致资产价格变化的时序相关性。现在考察资产价格高阶不连续时,资产价格的连续性。有：(9)所以(6)式描述的资产价格变化是连续的
14、。这就证明了,资产价格的高阶变化在无限短时间内不连续、任意有限短时间内高阶跳跃方差有限、资产价格连续、无套利机会等要素可以同时存在。四 资产价格高阶不连续下的无套利定价问题在新的资产价格运动方程中,我们试图来构造基于S的衍生品V的定价方程V(S,t)。由I t o 方程得：(1 0)因为上式中t 不能被忽略,故上式无法与S组合成无风险资产。例如,若在V(S,t)中卖空份S,则d t时间后资产组合价值为：(1 1)显然上式资产组合无法对冲风险。此模式可以推广到所有多因子资产定价模型中。现实中由于无法保证多因子模型中各个因子的高阶连续性,多因子模型事实上无法进行无套利定价。综上所述,资产价格变化的
15、高阶在无限短时间内跳跃、任意有限短时间内高阶跳跃方差有限,资产价格连续,市场无套利等要素的同时存在的情况下,衍生品无法使用无套利定价方法。衍生品只能通过风险资产定价来计算均衡价格。【参考文献】1、财讯网.h t t p:/s t o c k s.c a ix u n.c o m/in-cl ude/newsLi st.php?p a g e=1&c o d e=0 0 0 0 0 4&n a m e=工业指数&t y p e=.2、易丹辉.数据分析与E v ie w s 应用 M .中国统计出版社,2 0 0 5.3、何书元.应用时间序列 M .北京大学出版社,2 0 0 3.【作者简介】文慧
16、娜,女,（1 9 8 7.0 2-）,首都经济贸易大学2 0 0 9 级统计学研究生,硕士,研究方向:金融统计与计算A R C H(1)效应。探究A R C H的滞后阶数,选取较大的q值进行回归。根据回归结果,发现 ARCH(1)、A R C H(4)、A R C H(6)、A R C H(6)、A R C H(7)、A R C H(9)均显著,说明这是一个长期记忆结果。L M检验的辅助回归方程的q 值很大（q 8）,但依然显著,即残差序列存在高阶ARCH(q)效应,考虑建立 GARCH(p,q)模型。G A R C H模型。经过多次尝试,建立G ARC H(2,2)模型时,均值方程各检验都通
17、过,根据回归结果,得出均值方程为:D Yt=-1.7 6 D Yt-1-0.8 4 D Yt-2+1.6 3 u t-1+0.6 2 u t-2+0.0 9 u t-3G ARC H(2,2)方程:三、预测对序列的预测实质就是根据所有的已知历史信息对序列未来某个时期的发展水平做出估计。选择修正预测的方法,预测2 0 1 0年 1月 4日美国道琼斯工业指数为1 0 4 4 5.7 3,预测如图2:已知2 0 1 0 年1 月4 日美国道琼斯工业指数实际值是1 0 5 8 3.9 6 亿点。预测误差为：模型预测误差较小,说明模型拟合程度较好,符合经济运行规律,可以利用该模型进行道琼斯工业指数的短期预测。四、结语文章运用A R I MA和G A R C H模型分析2 0 0 8.1.2-2 0 0 9.1 2.3 1 美国道琼斯工业指数波动情况。结果表明,股票指数时序具有显著的异方差性,并且具有高峰厚尾的特征。运用G A R C H模型对时间序列的波动性做出较好的拟合和解释。研究还发现道琼斯工业指数波动的持续时间较长,说明证券市场受到宏观政策、自然环境突变等影响出现的异常波动,需要较长时间才能消除。所以,掌握股票价格的波动规律,对投资者进行投资决策和风险管理有重要的意义。接4 2 页