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1、第 3 4卷第 4欺2 0 0 6 年2 月1 6日桂 电畏RE L A YN o.42 0 0 6分岔理论在电力系统电压稳定研究中的应用述评李 宏 仲 ，程 浩忠 ，朱 振华“，李 树 静 2(1.上海交通大学电气-T-程系，上海 2 0 0 0 3 0;2.山东电力研究院，山东济南 2 5 0 0 1 4)摘要:首先简要介绍了分岔的基本概念，然后从静态分岔和动态分岔两个方面，评迷了分岔理论在电压稳定研究中的 应用 情况。重点介绍了 鞍节 分岔点和H o p f 分岔点的求取算法，分析了 各种算法的优缺点，并简要介绍了奇异诱导分岔在动态电压稳定分析中的应用情况，最后时分岔理论在电压德定研究应
2、用中的前景进行了展 望。关键词:电力系统;电 压穗定;分 贫理论;鞍节分岔;H o p f 分岔;奇异诱导分岔中圈分券号:T M 7 1 2文献标识码:A文童编号:1 0 0 3 4 8 9 7(2 0 0 6)0 4-00 6 9-0 50 引言 分岔是非线性科学研究的一种现象，主要研究当 一组微分方程所描述的解的动态特性与方程所含参数的取值相关，并随着参数取值的改变而发生的变化，包括系统一些重要特性，例如稳定性、稳定域和平衡点的变化。电压稳定问题是非线性分岔理论引人电力系统分析的一个切人点。1 9 8 9 年，1.D o b s o n 提出了 鞍节分 岔 点 导 致 电 压 崩 溃的 机
3、 理 解释 D 3，并 在此 基 础上继续应用鞍节分岔点理论来分析电压稳定问题 2-4 1，力图从特征值的 角度，计算和解释鞍节分岔点。此后，文【5 指出仅仅考虑鞍节分岔点对于电力系统稳定分析来说是不够的，作者沿用H.D.C h i a n g 的实例模型进行计算，结果发现系统在到达鞍节分岔点之前就已经发生了其它类型的分岔从而失稳。H.G.K w a tn v 较为全面和严谨地从理论上研究了局部分岔的 应用表现6,7 。从这些文献所反映出的研究现状来看，众多学者将电力系统视为一个非线性动力系统，将电压稳定视为结构性稳定问题，而分岔现象正是引起电 压失稳的主要原因之一。因此，对于 分岔点的求取就
4、成为电压稳定分析中一个重要的研究方向。对于这一问题，国际上已经较好地 掌 握 了 相 关的 数 学工 具，-7 1，并有 着较 成 熟的 软件开发经验和实践成果 8,9 而国内近几年在分岔理论的深人研究和 软件编程方面也取得了 长足的进展 10 一 2 11 分岔理论的基本概念”一 5 1 如下式所示的非线性动力系统，x=f(x 4 c),X E R ,pe R (1)其形态(包括平衡点的数目、稳定特性、轨道的拓扑结构)在一定的拌值处会发生突变，不能从一种流连续地变形为另一种流，这就是分岔，而对应的拼值及状态变量值则称为分岔点。分岔理论主要包括静态和动态两个方面。静态分岔指的是平衡点的数目 和
5、稳定性随参数变化而 发生的 变化，如鞍节分岔。动态分岔则是对系统结构稳定性的否定，对于结构不稳定的系统，一个小扰动就可能破坏轨线的拓扑等价。H o p f 分岔是最基本也最具有代表性的动态分岔。另外，奇异诱导分岔也是电压稳定动态分析中 经常涉及到的 动态分岔之一。下文将从动态和静态两个方面分别介绍分岔点的求解方法。2 动态分岔理论在电压稳定研究中的应用2.1 H o p f 分岔分析 IS 一 7 电压稳定问题可以用如下的微分代数方程组来表述:x=f(x,y.-)0 二 B(x,y,F)(2)墓金项目:上海市重点科技攻关(0 4 1 6 1 2 0 1 2)计划其中:x 是描述各种元件动态行为
6、的状态向量;y 是节点电 压向量W 为分岔参数向量;9是网络方程，即潮流方程。目 前在电压稳定的分岔分析中多数考虑的是平衡点附件电力系统拓扑结构的变化，往往将电力系统各种元件的动态行为用平衡点来模拟，得到以下的平衡点方程组:鼓电器0=f(-,y 4 1)0=g(x,Y,I L)(3)进一步简写为一般形式:W(u 4 z)=0 (4)其中:u 为状态向 量4L为分岔参数向 量。H o p f 分岔是指微分代数方程组的 雅可比矩阵V。二 a(p i a“的 一对共轨特征值的实部由 负变正时，在非双曲平衡点附近出现的分岔，其对应的失稳模式是周期性的振荡发散失稳。根据其规范形的系数又可区分为超临界分岔
7、和亚临界分岔。超临界分岔对应着稳定极限环，亚临界分岔对应着不稳定的 极限环，亚临界分岔会严重限制电压稳定域的大小 ”j。2.2 H o p f 分岔 点的求取方法 ie 7 目 前研究H o p f 分岔的主要方法有直接法和连续法两种方法。1)直接法 文【1 9 认为对于平衡点方程州u,/a)二 0，满足下列方程的平衡点即 为H o p f 分岔点。FO(u,I-t)=det(jaJ _ 2，。)二。，。=I。J。0_0-.0-(5)其中:(6)直接求解式(5)即可得到H o p f 分岔点，但每次迭代都需要求解,P(u,I L)的二阶导数，工作量大。另外此法也不能得到平衡解流形的全部信息。2
8、)连续法 这类方法主要是连续追踪平衡解流形，同时判别流 形上的 平衡点是否为H o p f 分岔点，判别的 方法有两种:一是逐点计算出随控制参数变化的系统雅可比矩阵的所有特征值，进而判断是否有共扼特征值穿 越虚 轴，以 此来确定是否出现H o p f 分岔;二是根据H u r w i tz 判据，通过特征多项式的系数构成的 一系列H u r w i t z 行列式符号的变化来搜索 H o p f 分岔点。前者由于要逐点计算雅可 比矩阵的所有特征值，计算量大;后者对于高维系统，构造特征多项式的各项参数 本身就是十分困难的。2.3奇异诱导分岔分析 Z a b o r s z k y 和V e n
9、k a t a s u b r a m a n i，等人首先提出并证明了奇异诱导分岔定理 z,2 1 1。在文献 2 0,2 1 中，作者把中心流形理论应用到微分代数方程组对应的奇异摄动常微分方程组上完成了这一证明。此后，B e m d m o l e 在他 的博士论文中也对此进行了证明【2 2 7。文 献 2 3 给出 了 奇 异 诱导 分 岔的 一 般 性 定义:定义1 假设对所有的I s 二 R，式(2)都有平凡平 衡 点，且关于平衡点的线性化都有一特征曲线a 恤)，如果对于某两 序列(h)，(p)C R 态 单调递增收敛于产。(记为I n 卞 拌。)，拼。单调递减收敛于/1 0(记为严
10、，上 产。)则有如F 性 质:1)当n-,a 恤)、二和a(h)。二 2)对任意n,R e a(l)I R e a(/.)0则称拼。为一 个奇异诱导分岔点。奇异诱导分岔主要描述了带参数的线性化微分代数方程组的特征值有极点的情形。奇异诱导分岔分析曾经是电 压稳定研究的热点，C a n i z a r e s 等学者依此理论研究了 励磁顶值等非线性环节对电 压稳定性的影响;王庆红等人提出了当系统参数发生变化的情况下搜索奇异诱导分岔点的方法，并利用改进的奇异诱导分岔定理对无阻尼和带阻尼情况下电力系统中发生的 奇异诱导分岔现 象进行了 详细的 分析 1 2,2 s 。目 前学 术 界已 经 普遍 认为
11、 奇异 诱导 分 岔是导致 电力系统 电压失稳 的三 种分岔形式之 1 s,ns,2 s 7 除了H o p f 分岔和奇异诱导分岔以 外，在电 压稳定研究中涉及到的动态分岔还包括闭轨分岔、同宿(或异宿)分岔等等。这些分岔的求取则更加复杂和困难，众多文献中多以简单系统为例来进行验证说明。而动态分岔对电压失稳的影响则更是说法众多，有的学者甚至认为在一定条件下，H o p f 分岔一般不会出现在电 压崩溃现象中 27 而随着理论研究的进一步深人，目前也出 现了一些较为可靠的应用动态分岔理论的电压稳定分析软件。例如美国电科院(E P R I,U S A)已推出的稳定J性分析商业软件 P S A P
12、A C中所包含的针对电力系统小扰动稳定性分析的工具软件，就计及了鞍节分岔和H o p f 分 岔 的 对 系 统 稳 定 性的 影 响 n 。动 态 分 岔理论对于揭示动态电压稳定的机理有着不可估量的作用，是一个值得深人研究的方向。3 静态分岔理论在电压稳定研究中的应用3.1 鞍节分岔分析 在电压稳定的静态分岔分析中，一般不考虑元件的动态特性，此时平衡点方程的最简形式就是潮流方程。如前文所述，电 力系统静态分岔分析中的主要研究对象是鞍节分岔点。鞍节分岔指得是平衡方程的雅可比矩阵的一个李宏仲，等分岔理论在电力系统电压稳定研究中的应用述评实特征值由 负变正时发生的分岔。在静态分析中，一般将潮流方程
13、的雅可比矩阵做为主要的研究对象。在鞍节分岔点处，由于出现了零特征值，潮流方程雅可比矩阵奇异，导致潮流计算不收敛;而此零特征值对应的左右特征向量则包含了 关于分岔性质、系统响应和控制措施的有效性等有价值的 信息。其中，右特征向量表明在状态空间中由于鞍节分岔而导致系统演变时其状态所沿的方向，利用该方向可以确定引发鞍节分岔现象、造成系统电压失稳的最危险的扰动 形式;而左特征向量则表明 哪个状态对零特征值有着显著的影响，即为了控制分岔对哪些状态控制更为有效，从而找到消除鞍节分岔现象，提高电压稳定裕度的控制措施 16 对于鞍节分岔点目 前的求解方法主要有连续法、直接法和非线性规划法三种方法。3.2 鞍节
14、分岔点的求取方法 1)连续法 连续法主要是利用连续潮流从系统初始状态开始追踪潮流的解曲 线，直至 P v曲线的拐点(鼻尖点)，也就是鞍节分岔点。连续潮流首先对常规潮流方程进行参数化处理，得到如下所示的扩展方程组:现在线计 算。2)直接法 直接法从鞍节分岔的定义出发，认为满足下列条件时，系 统即 处于鞍 节分岔 点 M-3 5。l zI L vVTV，入)=0=0二1(8)if,x,入 卜g(x)一 A b=”L P(x,A)=0(7)其中:g(x)=。为 常规潮流方程;b 为表示节点注人功率变化方向的向量;人为节点注入变化参数。式(7)中的 第二个方程就是参数化方程。目 前主要有弧长参数化和局
15、部参数化两种方法。由于添加了一维参数化方程，式(7)的雅可比矩阵在鞍节分岔点并不奇异，从而解决了常规潮流雅可比 矩阵在鞍节分岔点奇异，以及在分岔点附近雅可比矩阵病态造成的潮流计算不收敛问题。连续潮流可以完整地刻画出系统的P v曲线，准确求得鞍节分岔点。目前最常用的连续潮流方法是预测 一校正方法，其主 要思想是:从潮流解曲 线的 一个已知点(x 0,A)开始，通过预测环节，在给定的节点注人功率的变化步长下，利用切线法或者插值法获得解曲线上下一点(X I，A t)的近似值(x A 1);然后通过校正环节求得(二;,A 1)的准确值;如此循环求解，直至达到鞍节分岔点 2，。利用连续潮流求取鞍节分岔点
16、，可以方便地计及各种不等式约束，而且鲁棒性较好，但是对预测环节的步长控制要求比较严格，而且计算量大，难以实其中，为雅可比 矩阵零特征值对应的特征向量。式(8)中第一组方程为增广的潮流方程;第二组方程表示潮流方程雅可比矩阵大在分岔点处有一零特征值;第三组方程是对向量v 的 规范 化。显然，求解式(8)即可求得鞍节分岔点。但是对于一个n 维系统来说，式(8)就是一 个(2 n+I)维的方程组。对于大型电力系统来说，直接求解这样一个方程组计算量是非常大的。此外在鞍节分岔点处潮流方程的雅可比矩阵奇异也给数值计算带来了困难。为了 解决上述问 题，文 3 4 对 求解鞍节分岔点的特征方程组进行了重新参数化
17、，引人了新的参数，将(2 n 十 I)维的特征方程组降维为(n+I)维，并给出了鞍节分岔点的测试函数，然后利用连续性方法，逐步跟踪到鞍节分岔点。文仁 3 5 在此基础上，进一步提出 潮流 解曲线在鞍节分岔点附近可以用二次型曲线来近似描述。因此利用潮流方程解曲线上的两或三个 点，可以近似估计出鞍节分岔点的 位置。文 3 6 则提出 利用分块矩阵 方法来进行求解以简化计算。文仁 3 7 中通过引人辅助变量和辅助方程，将高维方程组简化为两个小规模的方程组，以此来实现对原方程组的简化求解。总之，直接法一般都采用变换方法来简化对式(8)的 求解，同时克服因潮流雅可比矩阵在分岔点处奇异给数值计算带来的困难
18、，但是这往往会对原方程组的稀疏性造成不同程度的破坏。直接法必须在消除雅可比矩阵在分岔点处奇异与对其原有稀疏性的破坏之间取得一定程度的平衡 3 8 相对于连续法而言，直接法的 计算速度较快，目前已 经成功地运用到了实际系 统中，但是由于直接法不便于计及各种不等式约束，因此所得出的结果具有一定的局限性。3)非线性规划法 非线性规划法将电压稳定极限点，即分岔点的求解转化为一个非线性优化问题，其优化 目标是在满足系统各种约束的情况下，如何确定电力系统中(整个系 统或系统中 特殊区域、特殊节点)负荷增量桩电居的 最 大 值，侧。该 方法 可以 很 方便 地计 及各 种等式和不等式约束，并从一定程度上避开
19、了潮流雅可比矩阵在分岔点处奇异给数值计算带来的困难。而且可以将众多成熟的非线性规划方法直接引人分岔点的求解中来。综上所述，鞍节分岔点的三种求解方法各 有优劣:连 续法和 非线性规划法可以方便地计及各种约束，计算结果较为准确，但是计算量大、速度慢，难以在线应用;直接法计算速度快，但是鲁棒性差，而且难以 有效计及不等 式约 束。但这三 种方法之间又互相联系，文【3 4 提出的直接法中也用到 了连续潮流;而文 4 1 丁 更是直接证明了 直接法从本质上讲是非线性规划在不考 虑各种约束条件下的一种特例。因 此，深人 研究三 种方法之间的内在联系，兼顾三者的 优点，取长 补短，找出 一种求解鞍节分岔点的
20、 混合方法也是一个很有价值的研究方向。电压稳定性判别指标。4)作为远景规划，在深人开展电压稳定分岔分析的基础上，应该积极研究、探索电力系统中的混沌现象，力争 从非线性动力学的角度出发 对电 力系 统这一典型的非线性非自 治系 统的 稳定问 题做出 合理的解释。参考文献:4 分岔理论在电 压稳定分析研究中的展望 目前，国内外学者在将分岔理论引人电压稳定分析方面已 经取得了长足的进展，尤其在静态分岔方面，已 经出 现了在实际系统中得到应用的成功范例。然而由于电力系统的 特殊性和 分岔 理论的自 身特点，该领域还有许多问题有待进一步深人研究。1)在目 前的研究当中，众多学者往往受电 力系统按照静态、
21、动态的分类来进行研究的影响，将静态、动 态分岔 现象割裂开来分别进行研究。而实际上，静态分岔和 动态分岔对电压稳定的影响是纠合在一起的，文仁 1 6 中提出电 压稳定所决定的可行域的边界通常是由 鞍节分岔、H o p#分岔和奇异诱导分岔三个分岔空间组成的。因 此电 压稳定的分岔 分析方法应具有统一性，可以同时研究静态和动态分岔问题。2)相对于静态分岔，电压稳定的动态分岔 分析方法仍处于理论探索阶 段。而分 岔理 论本身是一套统一的数学分析方 法，在动态分岔分析研究中，静态分岔分析的一些数学思想是值得借鉴的。此外，还应该加强对分岔理论分析方法的实用化研究，尽量降低计算量。在精确求得分岔点的基础上
22、，进一步找出对电压稳定影响最大的 最危险的分岔方向 也是很有实际应用价值的。3)利用分岔理论深人研究电 力系统动态元件对电压稳定的影响，通过研究动态元件在失稳过程中的共性来解释电 压失稳的机理，理清电压失稳与功角失稳之间的关系，力争构造出合理可靠的动态 I D o b s o n 1,C h ia n g S D.T o w a r d s a T h e o ry o f V o l ta g e C o ll a p s e in E-le c tr i c P o w e r S y st e m 1 .S y s t e m&C o n t ro l L e t te r s,1 9
23、8 9,1 3 荀 3 一6 2.2 D o h e o n 1.O b s e r v a ti o n s o n th e G e o m e try o f S a d d l e N o d e B if u m a-t io n a n d V o lt a g e C o l la p s e i n E le c tr ic a l P o w e r S y s te m s J .I E E E T r m c,o n C i rc u i t a n d S y s te m s-1,1 9 9 2,3 9(3):2 4 0-2 4 3 3 D o b so n I,L
24、u L.N e w M e th o d s f o r C o m p u tin g a C lo s e s t S a d d le N o d e B if u rc a tio n a n d Wo rs t C a s e L o a d P o w e r M a rg in f V o lta g e C o l l a p s e J .IE E E T ra n s P WR S,1 9 9 3,8(3):9 0 5-9 1 3.4 D o b s o n L,L U W-n u n g.C o m p u t in g a n O p t im u m D i r e
25、c ti o n i n C o n-t oo l S p a c e to A v o id S a d d le N o d e B i fu rc a ti o n a n d V o lt a g e C o ll 即s e in E le c t ric P o w e r S y s t e m s J -I E E E T r a n s o n A u to m a ti c C o n trol,1 9 9 2,3 7(1 0):1 6 1 6-1 6 2 0.5 T-C w，V a r g h e s e M,V a rs iy a P,e t a l.B ifu r c
26、a t io n,C h a o s,a n d V o lt a g e C o ll a p s e in P o w e r S y s te m s 7 .P r o c e e d i n g s o f 此 兀E E,1 9 9 5,3 3(1 1)2 1 4 8 4-1 4 9 6.汇 6 了 K w a m m y H G.S ta ti c B if u rc a ti o n in E le c tr ic P o w e r N e tw o rk s;L a s s o f S t e a d y-S ta t e S t a b il it y a n d V o l
27、t a g e C o ll a p s e j .I E E E T ra n s o n C A S,1 9 8 6,3 3(1 0):9 8 1-9 9 1.7 K w a t n y H G,F is c h l R F,N w a n k p a C O.L o c a l B i fu rc a t io n in P o w e r S y s t e m s:T h e o r y,C o m p u ti o n,a n d A p p l ic a ti o n 7 .P ro.c e e d in g s o f t h e IE E E,1 9 9 5,8 3(1 1)
28、:1 4 5 6-1 4 8 3.t 8 K w a t n y H G,Y U X ia o-w i n g,N w a n k fu r C.L o c a l B if u rc a ti o n A-n a y s ie o f P o w e r S y s te m s U s i n g M A T L A B A .P m c o f 4 th I E E E C o n f o n C o n t ro l A p p li c a t io n s.A l b a n y:1 9 9 5.5 7-6 2.9 A j jm a p u V.A p p li c a t io
29、n o f B i fu r c a t io n a n d C o n t in u a ti o n M e th o d s f o r t h e A n a ly s is o f P o w e r S y s t e m D y n a rn ic s A .P mc o f 4 t h I E E E C o n f o n C o n trol A p p li ca t io n s.A lb a n y:1 9 巧 一 5 2-5 6.1 0 贾宏杰，余贻鑫，李鹏一 电力系统环面分岔与馄沌现象【7 .中 国 电机工程 学报,2 0 0 2,2 2(幻:6-1 0-R A
30、 H o n g-ji e,Y U Y i-x in,L I P a n g.T o m s B if u r c a t io n a n d C h a n s in P o w e r S y s t e m 1 1.P ro c e e d in g s o f th e C S E E,2 0 0 2,2 2(8);6-1 0.【川王庆红，周双喜.电力系统奇异摄动模型名普夫分岔分析 J 3 中国电机工程学报.2 0 0 3,2 3(8):1-6.WA N G Q in g-h o n g,Z H O U S h u a n g-x i.H o p f B if u r c a tio
31、 n A n a ly s is o f P o w e r S y s te m S i n g u l a rl y P e rt u r b e d O r d i n a ry D iff e r e n ti a l M o d e l .P ro c e e d i n g s o f th e C S E E 夕 W3,2 3(8):1-6 1 2 王庆红，周双喜，胡国根.电力系统微分代数模型奇异诱导分 岔点的搜索及其理论分析 I 一 电网技术，2 003,2 7(1 1):14 尸 洲 1 7.WA N G Q i n g-h a n g,Z H O U S h u a n g
32、-x i,I T Go-g e n.T r a c i n g o f S in g u l a r it y I n d u c e d B ifu r c a ti o n i n P o w e r S y s t e m D iff e ren t ia l A l g e b ra i c E n u a ti o n M o d e l a n d I ts T h e o r e ti c a l A n a l y e i s J l.P o w e r S y s李宏仲，等分岔理论在电力系统电压稳定研究中的应用述评7 3 t e rn T e c h n o lo g y，2
33、 0 0 3,2 7(1 1):1 4-1 7巨 1 3 陈予恕.唐云.非线性动力学中的现代分析方法【M .北京 科 学出版社，2 0 0 2.C H E N Y u-s h u,T A N G Y o n.M o d e r n A ml y s is M e t h o d in N o n l in e a r D y n a m ic.M.B e ij in g:S c i e n c e Press-,2002.“胡海岩 一 应用非线性动 力学 M .北京:航空 工业山版杜，2 0 0 3.H U H a i-y a n.A p p li e d N o n lin e a r D
34、y n a m ic s MB e ij in g:A e ro n a u-tic s In d u s t ry P re s s,2 0 0 3 1 5 陆启韶.分岔与奇异性【M，上海:上海科技教育出版社，1 9 9 5.L U Q i-s h a o.B i f u rc a t io n a n d S in g u la ri ty M 一 S h a n g h a i:S h a n g h a i T e c b n 曲,g y a n d E d u c a ti o n P r e s s,2 0 0 3.1 6 余贻鑫.电压稳定研究述评 J .电力系统自动化，1 9 9
35、 9,2 3 (2 1):1-8 Y U Y i-x in.R e v i e w a n V u h a g e S ta b i lit y S tu d ic s J .A u t o m a t io n o f E l e c t r ic P o w e r S y s t e m s,1 9 9 9,2 3(2 1):1-817 薛禹胜，周海强，顾晓荣.电力系统分岔与棍沌研究述评 J .电力系 统 自 动化，2 0 0 2,2 6(1 6):9-1 5.X U E Y u-s h e n g,Z H O U H a i-g i a n g,G U X ia a-ra n g.A
36、R e v ie w o f B if u r c a t io n a n d C h a o s R e a e a r c h e,i n P o w e r S y s te m J .A u t o m a-t io n o f E le c tr ic P o w e r S y s te m s,2 0 0 2,2 6(1 6):9-1 5.1 8 彭志炜一 基于分岔理论的电力系统电压稳定性的研究【D 杭 州:浙江大学，1 9 9 8 P E N G Z h i-w e i.R e s e a r c h o n P o w e r S y s te m V o lt a g e
37、 S ta b ili t y B a s e d o n B i fu rc a ti o n T h e o ry D .H a n g z h o u:Z h e j ia n g U n iv e rs i ty,1 9 9 8.1 9 R o o s e D,H l a v a c e k L.A D i r e c t M e t h o d f o r t h e C o m p u t a t io n o f H o p f B if u r c a t io n P o i n t s J .S I A M J A p p l ie d M a th e m a ti c
38、s,1 9 8 5,4 5:8 7 9-8 9 4.2 0 V e n k a ta s u b aa m a n ia n V,S c h a td e r H,a b o m匆J.L o c a l B ifu r c a-tio n s a n d F e a s ib ili t y R e g io n s in D iff e re n ti a l-a lg e b r a i c S y e te m e 1 IEE E T ra n s o n A u t o m a ti c C o n tro l,1 9 9 5,4 0(1 2):1 9 9 2-2 0 1 3.2 1
39、V e n k a t s a u b r a m a n ia n V.S in g u la r it y In d u c e d B if u r c a ti o n a n d th e V a n d e P o t O s c ill a t o r 1 .I E E E T r a n s o n C ir c u it s a n d S y s te m s I 1 9 9 4,4 1(1 1):7 6 5-7 6 9.2 2 B e a r d m o re R E.A S t u d y o f B if u r c a ti o n i n S in g u la
40、r D iff e r e n ti a l E-q u a t io n s M o ti v a t e d场E l e c tr ic a l P o w e r S y s t e m,D o c t o ra l D i ss e n s-tio n D .L o n d o n,B m n n e l U n i v e m ity,1 9 9 9.2 3 王庆红，周双喜.电力系统微分代数模型奇异诱导分岔分析 J .中国电机工程学报，2 0 0 3,2 3(7);1 8-2 2.W A N G Q in g-h o n g,Z H O U S h u a n g-x i.S in
41、g u la ri ty In d u c e d B i6 rr-c a ti o n in P o w e r S y st e m D i ffe re n t ia l A l g e b ra ic M o d e l J .P r o c e e d-in g s o f t h e C S E E,2 0 0 3,2 3(7);1 8-2 2.2 4 C a n i s a r e s C A,A lv a rad o F L.P o in t 可C a l l即s e a n d C o n ti n u a ti o n M e th o d s fo r L a rg e
42、A C/D C S y s te m s J .I E E E T m n s o n P o w e r S y s-t a m s,1 9 9 3,7(1):1 3.2 5 余贻鑫，王成山.电力系统稳定性的理论与方法仁 M .北京:科 学出版社，1 9 9 9.Y U Y i-x i n,WA N G C h e n g-s h a h.T h e o ry a n d M e th o d o f P o w e r S y s-t o m S t a b ili ty M.B e ij in g;S c ie n c e P re s s,1 9 9 9 2 6 V e n k a t
43、a s u b mm a n ia n V,S e h a t tl e r H,Z a b o-k y J.V o lt a g e D y-n a m ic s,S tu d y o f a G e n e ra t o r w i th V o l ta g e C o n tro l,T ra n s,a n d M a tc h e d WM Ia a d J .I E E E T r a n s o n A u to m a ti c C o n tro l,1 9 9 2,3 7(1 1);1 7 1 7-1 7 3 3.2 7 曹国云，王冲，陈陈.中心流形方法降维分析电压崩溃中
44、的 F o ld 分岔 J 中国电机工程学报，2 0 0 2,2 2(7);4 0-4 3.C A O G u o-y u n,W A N G C h e n g,C H E N C h e n.C e n te r M a n i fo l d M e th o d to S im p li 朽t h e A n a l y s i s o f F u ld B i fu rc a t io n A s s o c i a te d w it h V o l ta g e C o l la p s e J .P ro c e e d i n g s o f th e C S E E,2 0
45、0 2,2 2(7);4 0-4 3.2 8 K u n d u r P,e t a l.S m a ll S i g n a l S ta b il ity A n a ly s is P ro ga ri，V e rs io n 3.1 Z .F in a l R e p o r t.E P R I T R-1 0 1 8 5 0-V 2 11 1,1 9 9 4.2 9 王成山，李国庆，余贻鑫，等.电力系统区域间功率交换能力的 研究(一)连续型方法的基本理论及应用仁 7 .电力系统自 动 化，1 9 9 9,2 3(3):2 3-2 6.W A N G C h e n g-s h a n
46、,L I G u o-g i n g,Y U Y i-,i n,e t a l.S t u d y。T r a n s m is s i o n T r a n s fe r C a p a b ili ty o f L a te r C o n n e c te d E le c tr ic P o w e r S y st e m s(1):B a s ic T h e o r y o f C o n t in u a ti o n M e th o d a n d I ts A p p li-catto n2 3-2 6 J 1.A u to m a tio n o f E le c t
47、r ic P o w e r S y s te m.1 9 9 9,2 3(3)3 0 S e y d e l R.N u m e ri c a l C o m p u ta t io n f B r a n c h P o in ts in N o n li n e a r E q u a ti o n s 7 .N u m e r is c h e M a th e m a tik,1 9 7 9,3 3;9 8 1-9 9 1.3 1 A jj a m p u V.I d e n t ifi c a ti o n o f S t e a d y-s ta te V o lt a g e
48、S ta b il ity in P o w.o r S y s t e m J .I n t J E n e r g y S y s t,1 9 9 1,3 3;4 3-4 6.3 2 C a r p a n e to E G,C h ic c o G,e t a l.N e w to n-R a p h s o n M油记f o r S t e a d y S t a te V o lta g e S t a b il ity A s s e s s m e n t J .P ro c B u lk P o w e r S y m,MD:1 9 9 1,3 4 1-3 4 5.3 3 C
49、h ia n g H D,J u tn e a r R J.A M o r e E f fi c ie n t F o r m u la tio n f o r C o m-p u ta tio n o f t h e M a x im u m l o a d in g i n E le c tri c P o w e r S y s t e m 1 .IE E E T o n s o n P o w e r S y s te m s,1 9 9 5,1 0(2):6 3 5 5 4 6.3 4 R a te J 1,C h ia n g H D.P a r a rn e te d sa t
50、io n s o f L o a d-fl o w E q u a tio n fo r E li m i n a tin g Ill-c o n d it io n in g L o a d F l o w S o l u t io n J 一I E E E T ur n s o n P o w e r S y s te m s,1 9 9 3,8(3):1 0 0 4-1 0 1 2.3 5 王成山，dM 江晓东.一种新的电力系统鞍型分叉点计算方 法 1 中国电机工程学报，1 9 9 9,1 9(8):2 0-2 4.W A N G C h e n g-s h a n,J IA N G W