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1、第 3 3卷第 1期 1 9 9 9年 1月 西安交通大学学报 J OURNAL OF XI AN J I AOT ONG UNI VER S I TY Vo I 3 3 N 0 1 J a n1 9 9 9 够 一 7 6 五轴 五联 动数控 系统快 速递推插补算法的研究 帅 梅，堕，苗晓 燕，王小 椿 ，_ 一 一 1 西 安交 通 大学，7 1 0 0 4 9，西 安)弋 摘要：在 He m i t e 样条 和 B样条 的基础 上提 出了一种 新基样条，并在此基础上推 导 出“快速递推 插 补算法”谈算法满足二阶连续，并具有实时性及无累积误差的特性 作为数控 系统的核心，该算法 已成功
2、 地应 用 于西安 交通大学 自行 开发 的五轴五联动数控 系统，而且 可以应 用 于任 何 以微机 作为 董 键 词 。H 一 多 项 式 衩控彖 玩a l m l T G 6 5 9 q一一书资料分类法分类号：1 、多 抽 劝 I n t e r p o l a t i o n Al g o r i t h m f o r M u l t i-Ax e s Co mp u t e r Nu m e r i c a l Co n t r o l S y s t e m S h u a iM e i，BuGu o l e i，M i a oXi o,o y a n，W a n gXi a o
3、c h u n (xi B n J ia o t o n g Ur fi v e r s i t y，Xi 7 1 0 0 4 9，C h i n a)插、耸 Ab s t r a c t：A r e c u r s i v e i n t e r p o l a t i o n f o r mu l a i s d e v e l o p e d b y u s i n g t h e p r i n c i p l e o f He r mi t e s p fi n e a nd s p 1 i n e T h e r e s u l t i ng a l g o r i t h m h
4、 a s s e c o n d-o r d e r c o n t i n u i t y a n d r e a l t i m e i n t e r p o l a t im w i t h o u t e r r o r a c c u mu l a t i o n I t h a s b e e n a p p l i e d t o a f i v e-a x e s comp u t e r n u me r i c a l con t ml(C NC)s y s t e m a n d o t h e r s Ke y wo r d s：s p l i n e i n t e
5、 r p o l a t i o n；n u me r i c a l l y c o n t r o l l e d ma c h i n e；He r mi t e p o l y n o mi a l 五轴 五联 动数控 技术 是数控 技术难 度最 大、适 用范围最广的技术，它集计算 机控 制、高性能伺服驱 动和精密技术于一体，应 用 于加工 质量 要求很 高 的 自由曲面的高效、精 密、自动加工 插补算法是数控系统的核心 为使高级数控系 统(硬件)能发挥其功 能，不管是在 国外还是 国内，精 度 高、速度快的新的插 补算法(软件)一 直是科 研人 员努力 突破 的难 点，也 是各 数控
6、公 司竭 力保 密 的技 术 核心 像西 门子数控系统，其许 多功能都是 对用户 开放的，但其插补 软件却 从不 对用 户开放因此，为 使我们 的五 轴五 联动 数控 系统 能很 好 地工作，我 们 首先开发 了能应用 于高级数控 系统 的具有无累积误 差特性 的“快速 递推插 补算 法”，并将其 应用 于 自行 开发的五轴五联 动数控 系统 上，取得 了令人满 意的 效 果 在五 轴数控加工 中，插补运算 必须是实 时的，而 且要 在很 短的时间内(41 0 f m)完成插 补计 算、各 坐标轴速 度分 配等任 务，因此插 补算 法 的优劣 直接 影 响到整个数控系统的性 能 我们提 出的“
7、快速递推 插 补算 法”能满 足二阶连续，沿刀位轨迹 的切 削方 向 改变平稳；采用参数化的矢量表达式，能 表示 任意 空 间曲线，易于变换；插补速度快，缩 短了插 补、采 样 收稿 日期：1 9 9 8-0 1-0 7 作者 简介：帅梅，女，1 9 6 7年 1 2月生，机械 工程 学 院机械 工程 及 自动化 系，博 士生 维普资讯 http:/ 西安交通大学学报 第 3 3卷 周期；增加插补分段，在满 足实 时要求 与速度稳定 的 前提下，提 高 了加 工 效 率 和表 面 质量 作者 以一 张 3 5m长 的水 轮 机 叶 片 为 例，用 本 算 法 向前 递 推 5 0 0 0 步后
8、累积 的舍人 误 差不 足 0 1岬 实 际加 工 中递推一般 不超过 2 0 0 3 0 0步，因而误差可忽略不 计 1 新基样条 用参数形式描述曲线曲面 已成为形状数学描述 的标准形式 在计算机辅助几何设计(C A G D)中，参 数 曲线 曲面 方程一般 写成 基表示式 在各类 函数 中，采用多项式函数作为基函数可使表示形式简单，无 穷 次可微，因而 足够光滑，且容易计算 函数值及各 阶 导数值，并可通过 改变 多项式 的次 数及基表 示式 的 系数矢量，使其具有丰富的表达力 采用分段参数三 次 曲线。既可生成带拐点的平面曲线，又能生成空 间 曲线的次数最低的参数多项式曲线，而且能避免因
9、 次数的增高而带来的曲线扭摆等缺点，同时又具有 可以快速递推 的特 性 然而，三次样 条的舍人误 差在 递推过程 中会 以步数 的三次 方 的速度 向上 累积，限 制了插补段的长度 为此，我们构造了一种新基来表 示空问曲线，它 具有与 三次样 条几乎 完全重 台 的外 特性。又可以避免误差累积问题 我们用这个新的曲 线表示推导出了新的插补公式，并使其满足插补曲 线的要 求 本文 先 阐述通 常采 用 的 He r mi t e 样 条 和 B样条 的原 理及优 缺点。然后再介绍新基样 条 1 1 l t e r mi li e 样 条1 He r mi t e 样 条公 式如下 1 0 3 2
10、 R(t)=1 t t t 0 0 3 2 0 1 2 1 0 0 1 l 巨 t 0，1(1)其中如图 1 所示，Ro、RI 为参数 t 分别等于 0，1 图 1 He r mi t e 样 条曲 线 时首束 2点 的位 置矢 量，盅0、盅l 为其切矢 将(1)式 右端 前 2个矩 阵相乘后变为 R(t)=h l(t)h 2(t)h a(f)h 4(f)R0 R J 盅。盅1 ，t 0，1】(2)其 中：1 3 t z+2t a =3 t 2 2t 3 ：f(卜f)0，1 =一t 2(1一 t)(3)称为混合函数(b l e n d in g f u n c t io n s)三次 He r
11、 mi t e 样条具有部分规范基，因而也具 有几何不变性，其边 界条 件 是 曲线 上 的端 点 及端 点 处的导矢 给定 R0、Rt、t t o、盅1，则可 以唯 一确定 一 条 曲线 1 2 新基样条 3】对 于五轴 五联动 数控 系统 的插 补算 击，要 求其 具有快 速递推 插 补的功 能及很 高 的插 补精 度 He r-mi t e 样 条和均匀 三 次 B样 条 虽 具备 快 速递 推 插 补 的功能，但都有累积误差 因此我们建立一种新基样 条，使其能同时满足上述 2 种要求 新基样条是在 He r ml t e 样 条与均 匀三次 B样 条 的基础上推 导得 出 的 He m
12、fi t e样 条 与 均 匀 三 次 B 样条都以参数多项式表示基，因此我们考虑用广义 参数多项式来表示新基 其构造如下 已知 曲线 首末两端位 置矢 量及切 矢，定义 样条 公式为 R(t)=h 1(t)Qo+h 2(t)Ql+h 3(t)Q 0+h 4(t)Ql t 0，1 (4)其中 Qo、Q1 分别是两端点矢量；Qo、Q J 是相应的 切矢；h 1(t)、h 2(f)、h 3(t)、h 4(t)是广义多项式，是 新基 的混 合函数，其表 达式如下 h (t)=A +B (t)+c (t)+DJ 3(t)+E 以(t)+(t)t 0，1(5)其 中：A 是 常数项；B 是 线 性 增量
13、；G、q、E、只 是可 以快速递推插补 的项；(t)是一组 正交基，i=1，2，3，4 为了求出式(5)中的 2 4个待定系数，须 根据 边界条件确立 4个六元 一 次线性方 程组，以分 别求出4组6个待定系数 求解原则是使新基样条 具有同 H e r m l t e 样条相同的边界条件，从而使新基 样 条成为 He r ml t e样条 的一种逼近 表 l即是 参数 t 分别等于 0，1时新基混合函数 的 0，1，2阶导数 值 维普资讯 http:/ 第 l期 帅梅 普：五 轴五联 动数控 系统 快速递 推插朴 算法 的研究 表 1 新基 边界 条件 将表 1中 h l(t)列的对应值代入式
14、(5)及其导 函数 的表达式 中，可得方 程组 如下 A l+Cl+E 1=l A l+Bl E 1+FI：0 BI K+2 D1 K+F1 0 一C1 K 一 2 Dl K+F1：0 【6)一C1 K 一 4 E1 K2：一 6 一B1 K+4 E1 K：6 其 中：K 是对 新 基求 导 时得 到 的一 个确 定常 数 求 解方 程(6)，可求 得 A1、Bl、C1、Dl、E1、Fl 6个 系 数 方程左边不变，右边边界条件值改变，可求得另 外 1 8个 系数 4组 解 的结 果如 下(保 留小 数 点后 6 位)A=一 1 8 9 4 6 3 8 B：一 3 0 4 8 9 4 8 C=
15、3 0 4 8 9 4 8 D1=0 E l：一 0 1 5 4 3 1 0 F=4 7 8 9 2 7 6 A，=2 8 9 4 6 3 8 B，：3 0 4 8 9 4 8 C，=3 0 4 8 9 4 8 D一：0 E=0 1 5 4 3 1 0 F2：一 4 7 8 9 2 7 6 A3：1 8 5 2 6 0 4 B3：一 1 1 1 9 1 8 9 Ct：1 9 2 9 7 5 9 D3=一 0 0 4 3 4 8 7 E3：一 0 0 7 7 1 5 5 【F3=2 8 9 4 6 3 8 A=一 1 0 42 0 3 4 B =一 1 9 2 9 7 5 9 C=1 1 1 9
16、 1 8 9 Dd=0 0 4 3 4 8 7 E=一 0 0 7 7 1 5 5 F4：2 8 9 4 6 3 8 将上述 4组解分别代式(5)，求得新基的混台 函数 h l(t)、h 2(t)、h 3(t)、h 4(f)，从 而可 得到 以新 基表 示 的样条公式 2 新基样条特性研究 在式(2)与式(4)2种基表示的参数 曲线中 参 数 t 的定义域都在 0 1 之间，而且首末两点完全 相同 由于 2种样条的参数化略有不同，因此在相同 t 处，求得的型值 略有差别 但是 2条 曲线几乎重 台 表 2中的数据表明 了它们之间的误差程度 其 中，型值点数据取 自于用密切曲率法加工 3 5 m
17、长 的混流式水 轮叶片的刀位文件(x，y ，z )和(，)分别用新 基样 条与 He r mi t e 样 条计算 段 曲线 的 5 个坐标值 x、y 、Z 、A、C，每段曲线计算 了9 个中间点 表 2列出了其中 1 段曲线 5个坐标值之 间的误 差 3 快速递推插补算法 3 1 插补公式 利用公式(4)、(5)求得递推公式 表 2 新基样条与 H e lx n i t e 样条逼近比较 维普资讯 http:/ 西安变通大学学报 第 3 3卷 R(t+At)=+“1(t+)十 “2(t+A t)+5(t+At)(7)其中m=AI Qo+Az QI+Az Q o+A4 QI，在每一 段曲线 内
18、 m 为各不相同的常数；I(t+At)=2 u l(t)l厂 (At)一U1(tAt)H (t+At)=2 u 2(t)f 4(At)一“2(tAt)“l()=1(t)+2(t)U 2(t)=3(t)+r 4(t)r I(t)=B1 l厂 I(t)Qo+B2 fl(t)Ql+B 3，1(t)Q0+B 4，l()OI r 2(t)=CI l厂 2(t)Q0+C2，2(t)Ql+C3 (t)Q 0+C 4 (t)Ql r 3(t)：Dl (t)Q0+D2，3(t)Ql+D3 (t)Q0+D4 f 3(t)QI r 4(t)=El f 4(t)Q0+EL f 4(t)Ql+E 3 f 4(t)Q o
19、+E 4 f 4(t)Ql(t)=F l厂 5(t)Q0+l厂 5()Ql+F 3 l厂 5(t)O o+F 4 f 5(t)QI 在每个插补程序 段 内，需 要进 行 3 7次加法、4 4 次乘法 运算，这对 于 主颓 6 6 MHz以上 的 8 0 4 8 6微 机来说，其时间大约 不超过 5 0 ，保证 了从时 间上 满 足实 时插补 的要求 3 2 插补精度的验证 采用 新基样 条的插补 公式，能保 证每次插 补点 都落在 曲线上，也 保 证了在数 控加工 过 程中投 有 园 插补而引起的理论误 差 但 实际上误 差是 不 可避 免 的，因为浮点运 算会带来误差 但经过我们实际计算 表
20、明，在 浮 点 运算 中如 果 采 用 Do u b l e型 的 数 据 类 型，当参数域 t 0，1 、划分段数(即插补 次)等 于 5 0 0 0次(甚至 1 0 0 0 0次 以上)时，其 累积误差 不 大 于 1 0 T t l n 3 3 实例验 证 采用本插 补 算法 进 行 插 补，理论 位 置 和 经 过 6 0 0步递推的实际位置在精确到 0 1 的情况下无 任何 差别，如 表 3所示 表 3 理论位 置和 实际住 置的比较 单住：mm 参考文献：1 全荣 五坐标联动数控技术 长沙：湖南科学技术 出版 社，1 9 9 5 2 施法中 计算机辅助几何设计与非均匀有理 B洋条 北 京：北京航 空航 天大 学 出版社，1 9 9 4 3 卜国磊 五(多)轴联 动数控加工 系统插补算法及后置 处理的研究：硕士学位论文 西安文通大学机械工程 学 院 1 9 9 7 (编辑葛赵青)维普资讯 http:/