《概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案.pdf（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 习题习题 2.1 1 口袋中有 5 个球，编号为 1,2,3,4,5从中任取 3 只，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码（1）试求 X 的分布列；（2）写出 X 的分布函数，并作图 解：（1）X 的全部可能取值为 3,4,5，且1.01013513=XP，3.010335234=XP，6.010635245=XP，故 X 的分布列为 6.03.01.0543PX；（2）因分布函数 F(x)=PX x，分段点为 x=3,4,5，当 x 3 时，F(x)=PX x=P()=0，当 3 x 4 时，F(x)=PX x=PX=3=0.1，当 4
2、 x 5 时，F(x)=PX x=PX=3+PX=4=0.1+0.3=0.4，当 x 5 时，F(x)=PX x=PX=3+PX=4+PX=5=0.1+0.3+0.6=1，故 X 的分布函数 0=1 PX=0=1 0.583752=0.416248 8 设随机变量 X 的分布函数为=.6,1;63,21;31,31;10,41;0,0)(xxxxxxF 试求 X 的概率分布列及 PX 1，PX 1 解：X 的全部可能取值为其分布函数 F(x)的分段点 0,1,3,6，且41041)00()0(0=FFXP，1214131)01()1(1=FFXP，5613121)03()3(3=FFXP，21
3、211)06()6(6=FFXP，故 X 的概率分布列为 2161121413210PX；且31)03(3=FXPXP；43411)01(1111=FXPXP 9 设随机变量 X 的分布函数为=.e,1e;1,ln;1,0)(xxxxxF 试求 PX 2，P0 X 3，P2 X 2.5 解：PX 2=F(2 0)=ln 2；P0 X 3=F(3)F(0)=1 0=1；P2 X 2.5=F(2.5 0)F(2)=ln 2.5 ln 2=ln 1.25 10若 PX x1=1 ，PX x2=1 ，其中 x1 x2，试求 Px1 X x2 注：此题有误，应改为“试求 Px1 X x2”解：Px1 X
4、 x2=PX x2 PX x1=PX x2+PX x1 1=1 +1 1=1 11从 1,2,3,4,5 五个数字中任取三个，按大小排列记为 x1 x2 x3，令 X=x2，试求（1）X 的分布函数；（2）PX 4 解：（1）X 的全部可能取值为 2,3,4，且3.010335312=XP，4.010435223=XP，3.010335134=XP，因分布函数 F(x)=PX x，分段点为 x=2,3,4，当 x 2 时，F(x)=PX x=P()=0，当 2 x 3 时，F(x)=PX x=PX=2=0.3，当 3 x 4 时，F(x)=PX x=PX=2+PX=3=0.3+0.4=0.7，
5、当 x 4 时，F(x)=PX x=P()=1，故 X 的分布函数=;4,1;43,7.0;32,3.0;2,0)(xxxxxF（2）PX 4=P()=0 12设随机变量 X 的密度函数为=.,0;11|,|1)(其他xxxp 试求 X 的分布函数 解：分布函数 F(x)=PX x，分段点为 x=1,0,1，6当 x 1 时，F(x)=PX x=P()=0，当1 x 0 时，21221122)(1)()(22121+=+=+=xxxxuuduuduupxFxxx，当 0 x 1 时，xxxuuuuduuduuduupxF0201200122)1()(1)()(+=+=21202211022+=
6、+=xxxx，当 x 1 时，F(x)=PX x=P()=1，故 X 的分布函数+=.1,1;10,212;01,212;1,0)(22xxxxxxxxxF 13如果 X 的密度函数为=.2|,0;2|,cos)(xxxAxp 试求（1）系数 A；（2）X 落在区间(0,/4)内的概率 解：（1）由密度函数正则性知122sin2sinsincos)(2222=+AAAxAxdxAdxxp，故21=A；（2）所求概率为4204sin21sin21cos21404040=xxdxXP 15设连续随机变量 X 的分布函数为=.1,1;10,;0,0)(2xxAxxxF 7试求（1）系数 A；（2）X
7、 落在区间(0.3,0.7)内的概率；（3）X 的密度函数 解：（1）由连续随机变量分布函数的连续性知AAxFFFx=211)(lim)01()1(1，故 A=1；（2）所求概率为 P0.3 X 0.7=F(0.7)F(0.3)=0.7 2 0.3 2=0.4；（3）密度函数 p(x)=F(x)，当 x 0 时，F(x)=0，有 p(x)=F(x)=0，当 0 x 1 时，F(x)=x 2，有 p(x)=F(x)=2x，当 x 1 时，F(x)=1，有 p(x)=F(x)=0，故 X 的密度函数为=.,0;10,2)(其他xxxp 16学生完成一道作业的时间 X 是一个随机变量，单位为小时它的
8、密度函数为+=.,0;5.00,)(2其他xxcxxp（1）确定常数 c；（2）写出 X 的分布函数；（3）试求在 20min 内完成一道作业的概率；（4）试求 10min 以上完成一道作业的概率 解：（1）由密度函数正则性知1812423)()(5.00235.002=+=+=+=+cxxcdxxcxdxxp，故 c=21；（2）分布函数 F(x)=PX x，分段点为 x=0,0.5，当 x 0 时，F(x)=PX x=P()=0，当 0 x 0.5 时，2727)21()()(2302302xxuuduuuduupxFxxx+=+=+=，当 x 0.5 时，F(x)=PX x=P()=1，
9、故 X 的分布函数+=;5.0,1;5.00,27;0,0)(23xxxxxxF（3）所求概率为541718127731213173131602023=+=+=FXP；（4）所求概率为108103721216716121617161161601023=FXP 17某加油站每周补给一次油如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其密度函数为 a 0.05，则05.010011001100105.0)(510051004=+axdxxdxxpaXPaaa，故0720.45)05.01(1005=a 18设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的密度函数为 a和 B=Y a独立，且 P(AB
10、)=3/4，求常数 a 解：由于事件 A 和 B 独立，且显然有 P(A)=P(B)，则43)()(2)()()()()()()()(2=+=+=APAPBPAPBPAPABPBPAPBAPU，可得21)(=AP或23)(=AP（舍去），显然 0 a=axxxaXPAPaa，故34=a 19设连续随机变量 X 的密度函数 p(x)是一个偶函数，F(x)为 X 的分布函数，求证对任意实数 a 0，有（1）=adxxpaFaF0)(5.0)(1)(；（2）P|X|a=21 F(a)证：（1）因 p(x)为偶函数，有+=aadxxpdxxp)()(且5.0)(0=dxxp，则+=+=aaadxxpd
11、xxpdxxpdxxpaF000)(5.0)()()()(，故=+aaaadxxpaFdxxpdxxpdxxpaF0)(5.0)(1)(1)()()(；（2）P|X|a=Pa X a=1 P|X|a=1 P|X|a=1 2 F(a)1=2 2 F(a)0 xp(x)a a 9习题习题 2.2 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 3.03.04.0202PX 试求 E(X)和 E(3X+5)解：E(X)=(2)0.4+0 0.3+2 0.3=0.2；E(3X+5)=(1)0.4+5 0.3+11 0.3=4.4 2 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数 X 的分布列为
12、04.009.013.031.033.010.0543210PX 试求顾客在商店平均购买服装件数 解：平均购买服装件数为 E(X)=0 0.10+1 0.33+2 0.31+3 0.13+4 0.09+5 0.04=1.9 3 某地区一个月内发生重大交通事故数 X 服从如下分布 002.0006.0026.0087.0216.0362.0301.06543210PX 试求该地区发生重大交通事故的月平均数 解：月平均数 E(X)=0 0.301+1 0.362+2 0.216+3 0.087+4 0.026+5 0.006+6 0.002=1.201 4 一海运货船的甲板上放着 20 个装有化学
13、原料的圆桶，现已知其中有 5 桶被海水污染了若从中随机抽取 8 桶，记 X 为 8 桶中被污染的桶数，试求 X 的分布列，并求 E(X)解：X 的全部可能取值为 0,1,2,3,4,5，且0511.012597064358208150=XP，2554.012597032175820715151=XP，3973.012597050050820615252=XP，2384.012597030030820515353=XP，0542.01259706825820415454=XP，0036.0125970455820315555=XP，故 X 的分布列为 0036.00542.02384.03973
14、.02554.00511.0543210PX 且 E(X)=0 0.0511+1 0.2554+2 0.3973+3 0.2384+4 0.0542+5 0.0036=2 5 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组砝码：（甲）1,2,2,5,10（g）；（乙）1,2,3,4,10（g）；（丙）1,1,2,5,10（g），称重时只能使用一组砝码问：当物品的质量为 1g、2g、10g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？10解：设 X1,X2,X3分别表示使用甲、乙、丙组砝码称重时需要的砝码个数，当物品的质量为 1g、2g、10g 时，有 X1=1、1、2、2
15、、1、2、2、3、3、1，即 PX1=1=0.4，PX1=2=0.4，PX1=3=0.2，X2=1、1、1、1、2、2、2、3、3、1，即 PX2=1=0.5，PX2=2=0.3，PX2=3=0.2，X3=1、1、2、3、1、2、2、3、4、1，即 PX3=1=0.4，PX3=2=0.3，PX3=3=0.2，PX3=4=0.1，则平均砝码数 E(X1)=1 0.4+2 0.4+3 0.2=1.8，E(X2)=1 0.5+2 0.3+3 0.2=1.7，E(X3)=1 0.4+2 0.3+3 0.2+4 0.1=2，故用乙组砝码称重所用的平均砝码数最少 6 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合
16、格品装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望 解：设 X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为 0,1,2，则541080=XP，458981021=XP，45188911022=XP，故9245124581540)(=+=XE 7 对一批产品进行检查，如查到第 a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前 a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格 设产品的数量很大，可以认为每次查到不合格品的概率都是 p 问每批产品平均要查多少件？解：设 X 表
17、示检查一批产品要查的件数，X 的全部可能取值为 1,2,a 1,a，则 PX=1=p，PX=2=(1 p)p，PX=a 1=(1 p)a 2 p，PX=a=(1 p)a 1，即 E(X)=1 p+2(1 p)p+(a 1)(1 p)a 2 p+a(1 p)a 1，有(1 p)E(X)=1 (1 p)p+2(1 p)2 p+(a 2)(1 p)a 2 p+(a 1)(1 p)a 1 p+a(1 p)a，得 E(X)(1 p)E(X)=p+(1 p)p+(1 p)a 2 p+a(1 p)a 1 (a 1)(1 p)a 1 p a(1 p)a，即)1()1()1()1(1)1(1)(11papaap
18、pppXpEaa+=1 (1 p)a 1+(1 p)a 1 p=1 (1 p)a 1 (1 p)=1 (1 p)a，故ppXEa)1(1)(=8 某人参加“答题秀”，一共有问题 1 和问题 2 两个问题，他可以自行决定回答这两个问题的顺序如果他先回答问题 i，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题如果他有 60%的把握答对问题 1，而答对问题 1 将获得 200 元奖励；有 80%的把握答对问题 2，而答对问题 2 将获得 100 元奖励问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？解：设答对问题 i 记为事件 Ai，记为他先回答问题 i 获得的奖励金额为 Xi元，i=1,2，有 X1
19、的全部可能取值为 0,200,300，X2的全部可能取值为 0,100,300，且4.0)(011=APXP，12.0)(200211=AAPXP，48.0)(300211=AAPXP，2.0)(022=APXP，32.0)(100122=AAPXP，48.0)(300122=AAPXP，则 E(X1)=0.4 0+0.12 200+0.48 300=168，E(X2)=0.2 0+0.32 100+0.48 300=176，故 E(X1)10000，故现在就购买股票，则一年后所拥有的股票市值的数学期望达到最大；因500062504100005.01100005.010000=+=XE，故一年
20、以后购买股票，则所拥有的股票数量的数学期望达到最大 10保险公司的某险种规定：如果某个事件 A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额 a 元，而事件 A 在一年内发生的概率为 p如果保险公司向投保户收取的保费为 ka 元，则问 k 为多少，才能使保险公司期望收益达到 a 的 10%？解：设 X 表示保险公司的收益，X 的全部可能取值为 ka,ka a，则 E(X)=(1 p)ka+p (ka a)=(k p)a=0.1a，故 k=p+0.1 11某厂推土机发生故障后的维修时间 T 是一个随机变量（单位：h），其密度函数为=.0,0;0,e02.0)(02.0tttpt 试求平均维修时间
21、解：平均维修时间5002.0eee)e(e02.0)(002.0002.0002.0002.0002.0=+=+tttttdttdtdttTE 12某新产品在未来市场上的占有率 X 是仅在区间(0,1)上取值的随机变量，它的密度函数为=.0,0;0,e)(xxxpx 解：7e25e2e)52()e)(52(e)52()52(00000=+=+=+=+xxxxxdxxdxdxxXE 14设随机变量 X 的分布函数如下，试求 E(X)=.1,e211;10,21;0,2e)()1(21xxxxFxx 12解：因分布函数 F(x)是连续函数，有 X 为连续型，密度函数 p(x)=F(x)，当 x 0
22、 时，2e)()(xxFxp=，当 0 x 1 时，)1(21e41)()(=xxFxp，+=1)1(210e21)(e21xxdxdx 则+=+=1)1(2101)1(210e41e21e412e)()(dxxdxxdxxdxxdxxxpXExxxx，因1e0ee)(ee00000=xxxxxdxxdxdxx，6e42e2e2e2e1)1(211)1(211)1(211)1(211)1(21=+=+xxxxxdxxdxdxx，故1641)1(21)(=+=XE 15设随机变量 X 的密度函数为+=.,0;10,)(2其他xbxaxp 如果32)(=XE，求 a 和 b 解：由正则性得133)
23、()(103102=+=+=+=+baxbaxdxbxadxxp，又324242)()()(1042102=+=+=+=+baxbxadxbxaxdxxxpXE，故2,31=ba 16某工程队完成某项工程的时间 X（单位：月）是一个随机变量，它的分布列为 1.02.03.04.013121110PX（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；（2）设该工程队所获利润为 Y=50(13 X)，单位为万元试求该工程队的平均利润；（3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间 X（单位：月）的分布为 1.04.05.0121110PX 则其平均利润可增加多少？解：（1）平均月数 E(X)=10 0.4+
24、11 0.3+12 0.2+13 0.1=11（2）平均利润为 E(Y)=E 50(13 X)=150 0.4+100 0.3+50 0.2+0 0.1=100（万元）；（3）因 E(Y1)=E 50(13 X1)=150 0.5+100 0.4+50 0.1=120，有 E(Y1)E(Y)=20，故平均利润增加 20 万元 1317设随机变量 X 的概率密度函数为=.,0;0,2cos21)(其他xxxp 对 X 独立重复观察 4 次，Y 表示观察值大于/3 的次数，求 Y 2的数学期望 解：Y 的全部可能取值为 0,1,2,3,4，因216sin2sin2sin2cos21333=xdxx
25、XPp，则161)1(04=pYP，164)1(1413=ppYP，166)1(24222=ppYP，164)1(3413=ppYP，16144=pYP，故5168016141643166216411610)(222222=+=YE 18设随机变量 X 的密度函数为+=证：（1）)(11111XEnXnPnXPnXPkXPnnnkkknk=+=+=+=+=+=；（2）+=+=+=+=+=1110010)1(21nnnkkknknXPnnnXkPnXPkkXkP)()(21212112XEXEnXnPnXPnnn=+=+=20设连续随机变量 X 的分布函数为 F(x)，且数学期望存在，证明：+=
26、00)()(1)(dxxFdxxFXE 证：设 X 的密度函数为 p(x)，有+=00)()()()(dxxxpdxxxpdxxxpXE，14因+=0000000)()()()()(yyxxxFdydxxpdydyxpdxdxxpdydxxxp+=00)(1)(1 dxxFdyyF，且=0000000)()()()()(yyxxxFdydxxpdydyxpdxdxxpdydxxxp=00)()(dxxFdyyF，故+=00)()(1)(dxxFdxxFXE 21设 X 为非负连续随机变量，若 E(X n)存在，试证明：（1）+=0)(dxxXPXE；（2）+=01)(dxxXPnxXEnn 证
27、：设 X 的密度函数为 p(x)，分布函数为 F(x)，当 x=00)(1 dxxXPdyyF；（2）+=010010010)()()()()(ynxnxnnndxxpnydydyxpnydxdxxpdynydxxpxXE+=010101)(1)(dxxXPnxdyyFnyxFnydynnyn 15习题习题 2.3 1 设随机变量 X 满足 E(X)=Var(X)=，已知 E(X 1)(X 2)=1，试求 解：因 E(X)=Var(X)=，有 E(X 2)=Var(X)+E(X)2=+2，则 E(X 1)(X 2)=E(X 2 3X+2)=E(X 2)3E(X)+2=+2 3+2=2 2+2=
28、1，故(1)2=0，即=1 2 假设有 10 只同种电器元件，其中有两只不合格品装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差 解：设 X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为 0,1,2，则541080=XP，458981021=XP，45188911022=XP，得9245124581540)(=+=XE，且154451245124581540)(2222=+=XE，故4058892154)()()Var(222=XEXEX 3 已知 E(X)=2，E(X 2)=5
29、，求 Var(1 3X)解：因 Var(X)=E(X 2)E(X)2=5 (2)2=1，故 Var(1 3X)=(3)2 Var(X)=9 1=9 4 设 PX=0=1 PX=1，如果 E(X)=3Var(X)，求 PX=0 解：因 PX=0+PX=1=1，有 X 的全部可能取值为 0,1，设 PX=1=p，PX=0=1 p，则 E(X)=0 (1 p)+1 p=p，E(X 2)=02 (1 p)+12 p=p，即 Var(X)=p p2，因 E(X)=3Var(X)，有 p=3(p p2)，可得 2p 3p2=0，即32=p或 p=0，故3110=pXP或 1 5 设随机变量 X 的分布函数
30、为=.1,e211;10,21;0,2e)()1(21xxxxFxx 试求 Var(X)解：因分布函数 F(x)是连续函数，有 X 为连续型，密度函数 p(x)=F(x)，当 x 0 时，2e)()(xxFxp=，当 0 x 1 时，)1(21e41)()(=xxFxp，则+=+=1)1(2101)1(210e41e21e412e)()(dxxdxxdxxdxxdxxxpXExxxx，因1e0ee)(ee00000=xxxxxdxxdxdxx，166e42e2e2e2e1)1(211)1(211)1(211)1(211)1(21=+=+xxxxxdxxdxdxx，可得1641)1(21)(=+
31、=XE，且+=+=1)1(212021)1(2120222e41e21e412e)()(dxxdxxdxxdxxdxxpxXExxxx 因2e202ee)(ee00020202=dxxxdxxdxdxxxxxxx，+=1)1(211)1(2121)1(2121)1(2122e2e2e2exdxxdxdxxxxxx 26642e421)1(21=+=+=+dxxx，可得2152641221)(2=+=XE，故2131215)()()Var(222=XEXEX 6 设随机变量 X 的密度函数为+=.,0;10,1;01,1)(其他xxxxxp 试求 Var(3X+2)解：因061613232)1(
32、)1()()(103201321001=+=+=+=+xxxxdxxxdxxxdxxxpXE，且611211214343)1()1()()(1043014310201222=+=+=+=+xxxxdxxxdxxxdxxpxXE，则61)()()Var(22=XEXEX，故23619)Var(9)23Var(=+XX 7 设随机变量 X 的密度函数为=xxFx，试求 E(X)和 Var(X)解：因密度函数0,e2)()(2=xxxFxpx，故2ee)e(e2)()(00002222=+=+dxxxddxxxdxxxpXExxxx；因+=0020202222ee)e(e2)()(2222xdxxd
33、xdxxxdxxpxXExxxx 1e002=+x，故4121)()()Var(222=XEXEX 9 试证：对任意的常数 c E(X)，有 Var(X)=E(X E(X)2 E(X E(X)2=Var(X)10设随机变量 X 仅在区间 a,b 上取值，试证 a E(X)b，22)Var(abX 证：因 X a，有 X a 0，得 E(X a)=E(X)a 0，即 E(X)a，又因 X b，同理可得 E(X)b，故 a E(X)b；因 a X b，有222abbaXab+，得2222+abbaX，则022222222+=+abbaXEabbaXE，即2222+abbaXE，故22222)()V
34、ar(+=abbaXEXEXEX 11设随机变量 X 取值 x1 xn的概率分别是 p1,pn，11=nkkp证明212)Var(xxXn 证：因 x1 X xn，有222111xxxxXxxnnn+，得212122+xxxxXnn，故2121212222)()Var(=+=xxxxExxXEXEXEXnnn 1812设 g(x)为随机变量 X 取值的集合上的非负不减函数，且 E(g(X)存在，证明：对任意的 0，有)()(gXgEXP 注：此题应要求 g()0 证：以连续型随机变量为例加以证明，设连续型随机变量 X 的密度函数为 p(x)，因 g(x)为非负不减函数，当 x 时，有 g(x)
35、g()0，即1)()(gxg，故)()()()()()()()()()()(gXgEgXgEdxxpgxgdxxpgxgdxxpXP=+13设 X 为非负随机变量，a 0若 E(e aX)存在，证明：对任意的 x 0，有axaXExXPe)(e 证：以连续型随机变量为例加以证明，设连续型随机变量 X 的密度函数为 p(x)，故axaXaxaXaxauxaxauxEEduupduupduupxXPe)(eee)(ee)(ee)(=+14已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是 7.3 10 9，标准差是 0.7 10 9试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在 5.2 10 9至 9.4
36、 10 9之间的概率的下界 解：设 X 表示每升血液中的白细胞数，有 E(X)=7.3 10 9，Var(X)=(0.7 10 9)2=0.49 10 18，则 P5.2 10 9 X 9.4 10 9=P2.1 10 9 X 7.3 10 9 2.1 10 9=P|X E(X)|2.1 10 9 989111041.41049.01)101.2()Var(1181829=X，故所求概率的下界为98 19习题习题 2.4 1 一批产品中有 10%的不合格品，现从中任取 3 件，求其中至多有一件不合格品的概率 解：设 X 表示取到的不合格品个数，有 X 服从二项分布 b(3,0.1)，故所求概率
37、为972.09.01.0139.010123=+=+=XPXPXP 2 一条自动化生产线上产品的一级品率为 0.8，现检查 5 件，求至少有 2 件一级品的概率 解：设 X 表示检查到的一级品个数，有 X 服从二项分布 b(5,0.8)，故所求概率为99328.02.08.0152.01101245=XPXPXP 3 某优秀射手命中 10 环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3试求该射手三次射击所得的环数不少于29 环的概率 解：设 X 表示三次射击所中的 10 环次数，有 X 服从二项分布 b(3,0.7)，故所求概率为784.07.03.07.02332232=+=+=XPXPX
38、P 4 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为 20%如今餐厅有 50 个座位，但预定给了 52 位 顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？解：设 X 表示到时来到餐厅的顾客人数，有 X 服从二项分布 b(52,0.8)，故所求概率为0001279.08.02.08.051525251515251=+=+=XPXPXP 5 设随机变量 X b(n,p)，已知 E(X)=2.4，Var(X)=1.44，求两个参数 n 与 p 各为多少？解：因 X b(n,p)，有 E(X)=np=2.4，Var(X)=np(1 p)=1.44，有6.04.244.11=p，故 p=0.4，64.
39、04.2=n 6 设随机变量 X 服从二项分布 b(2,p)，随机变量 Y 服从二项分布 b(4,p)若 PX 1=8/9，试求 PY 1 解：因 X 服从二项分布 b(2,p)，有98)1(10112=pXPXP，即32=p，故8180311)1(101144=pYPYP 7 一批产品的不合格率为 0.02，现从中任取 40 件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算 解：设 X 表示发现的不合格品个数，有 X 服从二项分布 b(40,0.02)，（1）所求概率为1905.098.002.01409
40、8.0110123940=XPXPXP；（2）因 n=40 较大，p=0.02 很小，取=np=0.8，有)8.0(PX&，故查表可得所求概率为191.0809.01112=XPXP 208 设 X 服从泊松分布，且已知 PX=1=PX=2，求 PX=4 解：设 X 服从泊松分布 P()，有 0，则=e22e1121PXP，得22=，即=2，故查表可得 PX=4=PX 4 PX 3=0.947 0.857=0.090 9 已知某商场一天来的顾客数 X 服从参数为 的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为 p，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为 p 的泊松分布 证：设 Y 表示该商场一
41、天内购买商品的顾客人数，Y 的全部可能取值为 0,1,2,，有=rkrkrkrkpprkkkXrYPkXPrYP)1(!e|=+=0!)1(!e)!()1(!e)1()!(!ennrnrrkrkkrrkrkrknprprkprppprkrkk prprnnrrrprpnprp=e!)(e!e)(!)1(!e)1(0，r=0,1,2,，故 Y 服从参数为 p 的泊松分布 10设一个人一年内患感冒的次数服从参数=5 的泊松分布现有某种预防感冒的药物对 75%的人有效（能将泊松分布的参数减少为=3），对另外的 25%的人不起作用如果某人服用了此药，一年内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是
42、多少？解：设 X 表示他（她）一年内患感冒的次数，事件 A 表示该药对他（她）有效，若 A 发生，X 服从参数=3 的泊松分布；若A发生，X 服从参数=5 的泊松分布，故|2)(|2)(|2)(2)2()2|(AXPAPAXPAPAXPAPXPXAPXAP=+=I 8877.002125.0168.0168.0)040.0125.0(25.0)199.0423.0(75.0)199.0423.0(75.0=+=+=11有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，
43、直到确定了由谁来付账求以下事件的概率：（1）进行到了第 2 轮确定了由谁来付账；（2）进行了 3 轮还没有确定付账人 解：设 X 表示三个人投掷的轮数，p 表示每一轮三个人掷出的结果不一样的概率，有432213=p，（1）163)1(2=ppXP；（2）641)1(33=pXP 12从一个装有 m 个白球、n 个黑球的袋子中返回地摸球，直到摸到白球时停止试求取到黑球数的期望 解：设 X 表示取到的黑球数，有 X+1 服从参数为nmmp+=的几何分布，有mnmpXE+=+1)1(，故mnmnmXE=+=1)(13某种产品上的缺陷数 X 服从下列分布列：121+=kkXP，k=0,1,，求此种产品
44、上的平均缺陷数 21解：因 X+1 服从参数为21=p的几何分布21Ge，有21)1(=+pXE，故 E(X)=2 1=1 14设随机变量 X 的密度函数为 3 p2 2 p3，即 3 p2 12 p3+15 p4 6 p5 0，有 3 p2(1 p)2(1 2 p)0.5 17设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，试证明 E(X n)=E(X+1)n 1，利用此结果计算 E(X 3)证：因 X 的概率函数为L,2,1,0,e!=kkkXPk，故+=+=+=+=+=+=01011110e!)1(e!)1(e)!1(e!)(mmnmmnkknkknnmmmmkkkkXE=E(X+1)n 1；且
45、E(X 3)=E(X+1)2=E(X 2)+2 E(X)+=2 E(X+1)+2 E(X)+=2(+1)+22+=3+32+2218令 X(n,p)表示服从二项分布 b(n,p)的随机变量，试证明：PX(n,p)i=1 PX(n,1 p)n i 1 证：+=+=+=nikknknikppknkpnXPipnXPipnXP11)1(1),(11),(1),(1)1,(1)1(1)1(11010=inpnXPppmnppmnninmmnminmmmn 19设随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，试证明：pppXE=1ln1 证：因 X 的概率函数为 PX=k=(1 p)k 1 p，k=1,2,
46、，则+=+=111)1(1)1(11kkkkkpppppkXE，设+=1)(kkkxxf，有xxxfkk=+=11)(11，可得)1ln()1ln(11)(00 xuduuxfxx=，故ppppfppXE=1ln)1(11 20设随机变量 X b(n,p)，试证明：pnpXEn)1()1(1111+=+证：因 X 的概率函数为nkppknkXPknk,2,1,0,)1(L=，故=+=+=+=+nkknknkknknkknkppknnppknknppknkXE000)1(1111)1()!()!1(!)1(1111=+=+=+=nmmnmnkknkppmnpnppknpn1101)1(1)1(1
47、)1(11)1(1 pnpppnppmnpnnnnmmnm)1()1(1)1(01)1(1)1(111001+=+=+=+23习题习题 2.5 1 设随机变量 X 服从区间(2,5)上的均匀分布，求对 X 进行 3 次独立观察中，至少有 2 次的观察值大于3 的概率 解：设 Y 表示“X 大于 3 的次数”，有 Y 服从二项分布 b(3,p)，且3225353=XPp，故所求概率为272032313223232=+=YP 2 在(0,1)上任取一点记为 X，试求+081432XXP 解：因 X 服从区间(0,1)上的均匀分布，且0214181432=+XXXX，即41X或21X，故432110
48、412141081432=+=+XXPXXP或 3 设 K 服从(1,6)上的均匀分布，求方程 x 2+Kx+1=0 有实根的概率 解：因方程 x 2+Kx+1=0 有实根，有判别式 =K 2 4 0，即 K 2 或 K 2，故所求概率为541626022=+=KKP或 4 若随机变量 K N(,2)，而方程 x 2+4x+K=0 无实根的概率为 0.5，试求 解：因方程 x 2+4x+K=0 无实根，有判别式 =16 4K 4，则 PK 4=0.5，且 PK =0.5，故=4 5 设流经一个 2 电阻上的电流 I 是一个随机变量，它均匀分布在 9A 至 11A 之间试求此电阻上消耗的平均功率
49、，其中功率 W=2I 2 解：因电流 I 的密度函数为=.,0,119,21)(其他xxp 故平均功率36023212)(2)2()(1193119222=+xdxxdxxpxIEWE 6 某种圆盘的直径在区间(a,b)上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积 解：设 d 表示“圆盘的直径”，S 表示“圆盘的面积”，有241dS=，因直径 d 密度函数为 a 时，Y=500a+300(X a)=300X+200a，即+=,200300,100600)(aXaXaXaXXgY 则+=+3010201)200300(201)100600()()()(aadxaxdxaxdxxpxgYE 525035
50、0215)10215()515(2302102+=+=aaaxxaxxaa，要使得92805250350215)(2+=aaYE，有040303502152+aa，可得26362a，故 a 可取 21,22,23,24,25,26，即最少进货量为 21 单位商品 8 统计调查表明，英格兰在 1875 年至 1951 年期间，在矿山发生 10 人或 10 人以上死亡的两次事故之间的时间 T（以日计）服从均值为 241 的指数分布试求 P50 T 100 解：因 T 服从指数分布，且2411)(=TE，有 T 的密度函数为=,0,0,0,e2411)(241tttpt 故1523.0ee)e(e2