《2009-2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2009-2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2009-2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 北 京 交 通 大 学 北 京 交 通 大 学 20092010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案 20092010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案 一（本题满分一（本题满分 8 分）分）某城市有汽车某城市有汽车 100000 辆，牌照编号从辆，牌照编号从 00000 到到 99999一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字 8 的概率的概率 解：解：设事件8汽车牌照号中含有数字=A，所求概率为()AP.2 分 ()()4
2、0951.01091155=APAP.6 分 二（本题满分二（本题满分 8 分）分）设随机事件设随机事件A，B，C满足：满足：()()()41=CPBPAP，()0=ABP，()()161=BCPACP求随机事件求随机事件A，B，C都不发生的概率都不发生的概率 解：解：由于，所以由概率的非负性以及题设，得ABABC()()00=ABPABCP，因此有.2 分()0=ABCP 所求概率为()CBAP注意到CBACBA=，因此有.2 分 ()(CBAPCBAP=1).2 分 ()()()()()()()ABCPBCPACPABPCPBPAP+=1 83016116104141411=+=.2 分
3、三（本题满分三（本题满分 8 分）分）某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，p()10=10000100010002xxxxp 求某只电子元件的使用寿命大于求某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时的概率（小时的概率（4 分）；分）；已知某只电子元件的使用寿命大于已知某只电子元件的使用寿命大于 1500小时，求该元件的使用寿命大于小时，求该元件的使用寿命大于 2000 小时的概率（小时的概率（4 分）分）解：解：设，则 小时于电子元件的使用寿命大1500=A ()()32100010001500150015
4、0021500=+xdxxdxxpXPAP.4分 设，则所求概率为小时于电子元件的使用寿命大0002=B()ABP ()()()()()APXPAPXXPAPABPABP20002000,1500=.2分 而 ()211000100020002000200022000=+xdxxdxxpXP，所以，()()4332212000=APXPABP.2分 五（本题满分五（本题满分 8 分）分）设随机变量设随机变量X服从区间上的均匀分布，而随机变量服从区间上的均匀分布，而随机变量 2,1=0101XXY 求数学期望求数学期望()YE 解：解：第 2 页 共 7 页 2009-2010 学年第一学期概率
5、论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 ()()1111=+=YPYPYE.2分 ()0101+=XPXP.2分 ()()+=0120003131dxdxdxxpdxxpXX 313132=.4分 六（本题满分六（本题满分 8 分）分）设在时间设在时间t（分钟）内，通过某路口的汽车数（分钟）内，通过某路口的汽车数()tX服从参数为服从参数为t的的 Poisson（泊松）分布，其中（泊松）分布，其中0为常数已知在为常数已知在 1 分钟内没有汽车通过的概率为，求在分钟内没有汽车通过的概率为，求在 2 分钟内至少有分钟内至少有 1 辆汽车通过的概率辆汽车通过的概率 2.0 解：解：的分布列为()tX
6、()()tkektktXP=!，()L,2,1,0=k.2分 因此在分钟内，通过的汽车数为 1=t ()=ekkXPk!1，()L,2,1,0=k由题设，所以()2.001=eXP5ln=.3分 因此，()()()252425111!0521021125ln220=eeXPXP.3分 七（本题满分七（本题满分 8 分）分）设二维随机变量的联合密度函数为设二维随机变量的联合密度函数为(YX,)()=其它020,101,xyxyxf 求：求：随机变量随机变量Y边缘密度函数（边缘密度函数（4 分）；分）；方差方差()yfY()YD（4 分）分）解：解：()()+=dxyxfyfY,因此，当或者时，0
7、y2y()0=yfY.1分 当时，20 y第 3 页 共 7 页 2009-2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 ()()2,20ydxdxyxfyfyY=+所以，()=其它0202yyyfY.3分 ()()34621203202=+ydyydyyyfYEY ()()282120420322=+ydyydyyfyYEY.2分 所以，()()()()929162342222=YEYEYD.2分 八（本题满分八（本题满分 8 分）分）现有奖券现有奖券 10000 张，其中一等奖一张，奖金张，其中一等奖一张，奖金 1000 元；二等奖元；二等奖 10 张，每张奖金张，每张
8、奖金 200 元；三等奖元；三等奖 100张，每张奖金张，每张奖金 10 元；四等奖元；四等奖 1000 张，每张奖金张，每张奖金 2 元而购买每张奖券元而购买每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益元，试计算买一张奖券的平均收益 解：解：设X：购买一张奖券所得的奖金 则X的分布律为 X 1000 200 10 2 P 100001 1000010 10000100 100001000 所以，.2分 ()531000010002100001001010000102001000011000=+=XE.4分 再令Y表示购买一张奖券的收益，则2=XY，因此 ()()572532=XEYE（元）.
9、2分 九（本题满分九（本题满分 8 分）分）两家电影院竞争两家电影院竞争 1000 名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1%？第 4 页 共 7 页 2009-2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 附：标准正态分布的分布函数附：标准正态分布的分布函数(1,0N)()x的某些数值表的某些
10、数值表 x 1.96 2.06 2.17 2.33 2.38()x 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 解：解：设甲电影院应设个座位才符合要求 N 设1000名观众中有X名选择甲电影院，则21,1000 BX.1分 由题意，而 99.0 NXP ()500211000=XE，()25021211000=XD.2分 所以，()()()()=250500250500NXPXDXENXDXEXPNXP 99.0250500N.3分 查表得 33.2250500N，所以有 84.53625033.2500=+N 所以，应至少设537个座位，才符合要求.2分 十（本题满分十（本题满分
11、 8 分）分）设总体设总体X的密度函数为的密度函数为()=其它0102xxxf，()nXXX,21L是从总体是从总体X中抽取的一个简单随机样本令中抽取的一个简单随机样本令()()nnXXXX,max21L=，试求的密度函数，试求的密度函数()nX()()xfn 解：解：总体X的分布函数为()=1110002xxxxxF.3分 因此的密度函数为()nX第 5 页 共 7 页 2009-2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 .4分()()()()()()=其它0102121xxxnxfxFnxfnnn .1分=+xxxxf01，；，其中其中1,0为参数，为参数，(是从总
12、体是从总体)nXXX,21LX中抽取的一个简单随机样本中抽取的一个简单随机样本 当当1=时，求未知参数时，求未知参数的矩估计量（的矩估计量（6 分）；分）；当当M1=时，求未知参数时，求未知参数的最大似然估计量（的最大似然估计量（6 分）分）L 解：解：当1=时，密度函数为 ，()=10111xxxxf，；所以，()()1111=+dxxdxxxdxxxfXE，；.2分 解方程：()1=XE，得解：()()1=XEXE.2分 将替换成()XEX，得未知参数的矩估计量为1=XXM.2分 当1=时，密度函数为 ，()=10111xxxxf，；所以，似然函数为 )()()(111+=inniixxf
13、L，；，()()nixi,1,1L=.2 分 所以，()()()nxxxnLL21ln1lnln+=第 6 页 共 7 页 2009-2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 对求导，得(nxxxnLL21lnln=).2 分 令 0ln=L，得方程()0ln21=nxxxnL 解得 ()nxxxnL21ln=因此，的最大似然估计量为 ()nXXXnL21ln=.2 分 十二（本题满分十二（本题满分 8 分）分）设总体设总体()2,NX，(是从总体是从总体)nXXX,21LX中抽取的一个简单随机样本中抽取的一个简单随机样本X与分别表示样本均值与样本方差令与分别表示样本均值与样本方差令2SnSXT22=，求，求()TE，并指出统计量，并指出统计量T是否为的无偏估计量是否为的无偏估计量 2 解：解：()=XE，()nXD2=，.2 分 由 ()()()(22XEXEXD=)，得 ()()()()2222+=+=nXEXDXE.2 分 又 ()22=SE，所以有.1 分 ()()=nSEXEnSXETE2222 ()2222=+=nSEn.2 分 这表明nSXT22=是的无偏估计量.1 分 2 第 7 页 共 7 页