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1、1 0数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第5 期美国A P 统计学课程体系研究来虹(西安高新一中国际课程中心7 1 0 0 7 5)1 美国A P 课程简介美国大学先修课程(A d v a n c e dP l a c e m e n t，A P)始于1 9 5 5 年，A P 课程项目管理机构美国大学理事会(C o l l e g eB o a r d)与学院(C o l l e g e)、大学(U n i v e r s i t y)、高中(H i g hS c h 0 0 1)联合向学生提供高中阶段参加大学课程的学习和考试A P 课程共3 4 个科目，学习这些科目使中学生在申请大学时
2、更有优势，并可获得大学学分A P 课程由具有专业背景和教学技能的认证资质教师讲授，培养学生发展大学所需的学习技能、思维习惯和批判性思维A P 课程被世界范围内3 6 0 0 多个学院和大学认可(包括美国9 0 以上的4 年制研究机构)每个A P 课程对应相应的考试，全球范围内参与的学校每年5 月参加考试(除A P 艺术这个综合评估科目)每个科目的A P 考试包含选择题部分和解答题部分，考试试卷是A PC o l l e g e B o a r d 考试委员会中的阅卷官进行批改A P 考试成绩是由机改的选择题和由A P 阅卷官批改的解答题两部分分数结合，经过权重计算得到一个综合分数，该综合分数将
3、会转换成A P 的5 分制分数，并和大学课程评分对应，A P 课程5 分制含义及相应大学评分列于表1 表1A P 课程5 分制含义及相应大学评分分数含义大学课程评分5具有非常好的资格A4具有好的资格A 一B+B3具有资格B 一c+c2可能有资格1不予推荐2A P 统计学课程体系A P 项目组提供给高中学生A P 统计学课程，期望高中学生完成这个一学年、介绍性的、非微积分基础的、大学统计学课程在学院和大学里面，学生参加统计学课程的人数和参加微积分课程的人数一样多一个来自于2 0 0 2 年的c h r o n i c l eo fh i g h e re d u c a t i o n)统计数据
4、表明：从1 9 9 0 年到2 0 0 0 年，学统计学课程的人数增加了4 5 统计学课程和A P 统计学课程相似，是社会科学、健康学、商业专业中典型必需学科每个学年大概有2 3 6 0 0 0 名大学生学习数学或统计学学院提供的统计学课程另外，也有很多学生学习其他学院提供的统计学介绍课程科学、工程学、数学专业通常学习一个高阶的，有微积分基础的统计学课程3A P 统计学课程目标A P 统计学课程的核心是向学生介绍“收集数据、分析数据、和从数据中得出结论”的内容和方法学生需要完成以下四大主题：探索数据：描述类型和类型的偏差；抽样和实验设计：规划和创建实验；预测类型：用概率和模拟来探索随机现象；统
5、计推断：预计总体参数、假设检验成功完成课程和考试的学生升人大学后可以兑换为期一学期的大学统计学课程每个高中根据学生的需求来决定A P 统计学课程的授课时间统计，像其他A P 课程一样，可以是一个学期，两个学期或者一个学年的课程很多学校，提供一学年的课程4A P 统计学课程大纲以下是A P 统计学考试的大纲这里的顺序是为了确定该课程的范围，但不一定按照这个次序来讲授每个内容括号里的百分比表明了它在考试中所占的比例I 探索数据：描述类型和类型的偏差(2 0 万方数据2 0 1 4 年第5 3 卷第5 期数学通报1 13 0)探索数据分析，利用图像和数据分析来描述类型和类型的偏差重点：从图像和数据信
6、息、数据分析中来解释图像和数据反映的信息A 构造和解释一元数据分布的数据显示(点图、茎叶图、直方图、累计频率图像)中心和离散程度集群和缺口异常值和其他异常特征形状B 小结一元数据的分布：度量中心：中位数、平均数度量离散程度：极差、四分位差、标准差度量位置：四分位数、百分位数、标准计分(z 值)箱线图变换单位对这些度量的影响C 二元数据的分布对比(点图、背对背茎叶图，平行箱线图)对比中心的离散程度对比集群和缺口对比异常值和其他特征对比形状D 探索二元数据：在点图中分析类型相关度和线性关系最小二乘回归直线残差图，异常值和有影响的点线性变化：对数变换和指数变换E 探索分类数据：频率表和条形图双向表的
7、边际频率和相对频率条件相对频率和关联用饼图来比较分布I I 抽样分布和实验：规划和创建实验(1 0 一1 5)数据采集必须依据一个好的规划这个规划包含了分析问题、数据采集、分析的方法A 数据采集的方法普查抽样调查实验观测研究B 计划和建造调查：一个精心设计和精心实施的调查的特征处理、控制组、实验单位、随机分配和复制偏差的来源和混淆，包括安慰剂效应和单盲实验和双盲实验完全随机化设计随即区组设计，包含配对设计C 从观测研究、实验、调查中得到的一般化的结果和结论的类型I I I 预测类型：用概率和模拟来探索随机现象(2 0 一3 0)概率是用于预测在给定模型下的数据分布的工具A 概率：解释概率，区别
8、概率和频率的概念“大数定理”的内容加法法则、乘法法则，条件概率和独立性检验离散型随机变量和离散型随机变量的概率分布，包含二项分布和几何分布随机现象和概率分布的模拟随机变量的均值(期望)和标准差，随机变量的线性整合B 独立型随机变量的整合独立性和非独立性的概念独立型随机变量的和和差的平均值和标准差C 正态分布正态分布的性质如何使用正态分布表t 正态分布的应用D 抽样分布样本比例的抽样分布样本均值的抽样分布中心极限定理两个独立样本比例的差的抽样分布两个独立样本均值的抽样分布抽样分布的模拟t 一分布卡方分布I V：统计推断：预计总体参数和假设检验万方数据1 2数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第
9、5 期(3 0 一4 0)统计推断导向选择正确的模型A 估计(点估计和区间估计)估计总体参数和边际误差点估计的性质，包含无偏性和变化性置信区间的逻辑，置信度和置信区间的含义，置信区间的性质大样本比例的置信区间两个大样本比例差值的置信区间均值的置信区间两个均值的差的置信区间(配对的和不配对的)最小二乘回归直线的斜率的置信区间B 假设检验：假设检验的逻辑，零假设和备择假设；P 一值；单边检验和双边检验；第一类型和第二类型错误的内容；势的内容大样本比例的检验两个大样本比例的差的检验均值的检验两个均值的差的检验(配对的和不配对的)卡方检验：拟合优度的检验，比例的同质性检验，独立性检验(单向和双向表)最
10、小二乘直线中的斜率的检验5A P 统计学课程考试形式、计算器和科学技术的应用要求、分数换算方法A P 统计学课程考试形式列于表2 中表2A P 统计学课程考试形式考试科目分数分配考试形式5 0 第一部分：选择题允许使用计统计学算器2 8 题目(9 0 分钟)第二部分：解答题允许使用计5 0 算器6 题目(9 0 分钟)A P 统计学课程依附于现在数据分析的原理和方法随着科学技术的发展，虽然图形计算器和计算机的差距已经变得微乎其微了，现在数据分析的基本工具还是计算机计算机不仅仅能消除手工计算和绘图这样的苦差事，而且它也是机构化查询的必要工具数据分析是一个发现之旅它是一个反复的过程，涉及到数据和数
11、学模型之间的对话随着越来越多的有关数据获悉，模型将会被重新定义并且形成新的问题计算机在这个旅程中起了核心的作用。首先，它可以数据分析的特定类型创建图像这些图像显示使得观察数据类型显得简单得多，找出重要的数据分组和定位任何不寻常的数据点第二，它可以使学生解决复杂的数学模型并且通过检测残差图来判断数据和模型的拟合优度另外，在应用计算机进行数据分析的过程中，计算机帮助实现在A P 统计学高中的概率的模拟随机事件的概率，随机变量的分布和概念上的统计的抽样分布，都可以进行模拟这使得学生和教师只能从一些狭窄的方法取决于几个简单的概率模型中释放出来图形计算器是A P 统计学的很重要的一个工具在时间限制的考试
12、条件下和不用计算机的前提下，学生不能按照要求执行许多统计中调查研究所需要的计算标准的计算机输出工具将提供给学生使用，并且需要学生会使用它图形计算器是一个有用的计算性援助，特别在分析小集合的数据时，但是被看成和计算机有等价的效果如果在学习课程中应用图形计算器，它的计算能力应该包括线性回归中的标准化一元、二元数据的统计结论它的画图能力应该包括一般一元、二元数据的图像展示：比如直方图、箱线图和点图学生发现数据输入到电子数据表格中非常容易使用理想化情况下，学生在课堂和课下都能使用计算器和计算机目前情况下，图形计算器作为唯一的计算援助可以在A P 考试中使用，用来作为分析数据的工具A P 统计学课程的分
13、数换算方法列于表3 中6A P 统计学课程教学启示考试的严密性和精准性美国A P 课程是全球性质的标准化考试，就像中国高考一样，后面有个强大的美国大学理事会在组织、策划、出题、阅卷，评分因为美国A P 课程是大学先修课程，美国大学理事会在考试之前在大学一年级学生中做出试题调研，来测试题目的难易再做调整因此题目具有非常高的区分度和可信度万方数据2 0 1 4 年第5 3 卷第5 期数学通报1 3表3A P 统计学课程的分数换算方法第一部分：选择题1 2 5=(选择题分数)(计算了权重之后的第一部分的分数)满分4 0 分不能近似第二部分：解答题第一题：1 8 7 5=满分4 分不能精确A P 分数
14、转换表第二题：1 8 7 5 一统计学满分4 分不能精确分数范围A P 成绩第三题：1 8 7 5 一6 3 1 0 05满分4 分不能精确4 9 5 24第四题：1 8 7 5 一3 7 4 83满分4 分不能精确2 9 3 62第五题：X 1 8 7 5 一0 2 81满分4 分不能精确第六题：3 1 2 5 一满分4 分不能精确第二部分分数和一组合的分数：+=第一部分第二部分总分数(精确到整数位)A P 统计学课程是个大学课程，难度大，覆盖面广，贴近生活，最大限度地调动学生的趣味性：如2 0 0 4F o r mB6：为了监视两个岛屿上某一物种的鸟类种群，实施了以下程序：科研人员最初到岛
15、屿A 捕获了一个样本容量是2 0 0 只的这种鸟类；他们在每只鸟的腿上绑上脚牌做标记，然后释放了这些鸟类似地，在岛屿B 捕获了一个样本容量是2 5 0 只的这种鸟类，绑上脚牌，然后释放给这些鸟儿充足的时间使得它们能回归正常的生活轨迹和栖居地随后从每个岛屿捕获了一些作为样本的鸟儿捕获的鸟儿的数量和腿上有标记的鸟儿的数量被记录下来结果记录到下面表格中岛屿A岛屿B在后续样本中捕获的鸟儿的数量1 8 02 2 0在后续样本中捕获的鸟儿中有标1 23 5记的鸟儿假设从每个岛屿上捕获的最初的样本和后续的样本都可以看成是从这类物种鸟类总体抽取的随机样本(a)从后续的样本数据表明，在这两个岛屿上带标记的鸟儿的
16、比例是否有差异?给出统计学证据来支持你的结论(b)科研人员可以根据初始样本中鸟儿的数量和后续样本中带标记鸟儿的比例来估计这种类群的鸟类的总量用这些信息来估计在岛屿A 上这种类群的鸟儿的总量写出详细过程(c)在(a)(b)中假设从每个岛屿上捕获的最初的样本和后续的样本都可以看成是从这类物种鸟类总体抽取的随机样本这是一个野生生物科研人员的一般假设，在做出这个假设之前，描述两个需要注意的问题解答题部分难度大，评分标准与中国高考有着本质的区别中国高考的评分标准是按步骤给分，而这里的每一问的评分结果是是E(E s s e n-t i a l l yc o r r e c t)、P(P a r t i a
17、 l l yC o r r e c t)、I(I n c o r r e c t)，每道题的评分标准都会给出学生回答什么答案应该给E，学生回答什么答案应该给P，学生回答什么答案应该给I 综合下来再按照每问的结果给出此题的最后得分：比如4 分对应E E E，3分对应E P P 或P P P 如：2 0 0 4F o r mB6：评分标准是这样的：每个部分被评定为E(E s s e n t i a l l yc o r r e c t)、P(P a r t i a l l yc o r r e c t)或I(1 n c o r r e c t)(a)部分是E 如果假设检验的4 个步骤都是正确的(a
18、)部分是P 如果假设检验的2 或者3 个步骤是对的(a)部分的说明：1)如果在步骤1 的假设检验反了(如H。：P p e，H。：P A P n)然后在得到结论的步骤4没有分数；2)如果口和p 一值的值已经给定了，在步骤4中的关联关系必须说明如果没有给定的口的值，答案必须详尽清楚地给予与P 值的解释或解释如何从P 值得到结论；3)如果在步骤3 的计算的p 一值的值是错误的，但是结论和计算出来的p 一值是一致的，步骤4 是正确的这道题的综合得分依据列于表4 中：考试不需要学生背诵公式，在试卷的第三页就会有公式，比如：万方数据1 4数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第5 期表4 综合得分依据评分
19、综合得分依据4 分3 问都是E(a)问的假设检验是E，剩下两问中有一问是E；或3 分(a)问的假设检验是E，剩下两问都是P；或(a)问的假设检验是P，剩下两问都是E(a)问的假设检验是E，剩下两问都是I；或(a)问的假设检验是P，剩下两问中一个E，一个2 分I；或(a)问的假设检验是P，剩下两问都是P(a)问的假设检验是P，剩下两问都是I；或1 分(b)或(c)问是E，剩下都是I；或(b)和(c)问都是P，剩下都是I 至一擎m 一腰i i 百嘞：z 一了-一如一鬲2 Jt z i z)。如=、(n l(-7 2，1 一)s 1 1)z+(咒n。z 一-1 1)s z2，多一6 0+6。z(7
20、2 l 一1)+(咒2 1)。一单样本统计值统计值的标准差盯样本均值矗样本比例译孚这些公式都会出现在试卷的前面，包括选择题在做的时候也是会给出所有的公式，难度就在不知道选择哪个公式对学生精确的审题能力、数学的英文术语的表述、规范严密的解题过程的考核：A P 考试的试卷呈现是英文、学生作答也是英文作答，对中国学生来说，要求学生对英文呈现的数学题目的精确的理解，同时能够用专业的英文数学术语来表述A P 考卷在考完之后邮寄到美国，选择题部分是机改，解答题部分是由大学理事会组织的阅卷组来批改，像中国高考阅卷体系一样分层阅卷：首席阅卷官(c h i e fr e a d e r)(阅卷总负责)，下设试题
21、阅卷长(e x a ml e a d e r)、题目阅卷长(q u e s t i o nl e a d e r)、小组阅卷长(t a b l el e a d e r)，基层的是一个中学教师和一个大学教师搭配，每阅完一定份额的试卷，就会上交到上一层的阅卷官组里，然后层层进行随机抽样审核这样，在教学中除了基本概念和基础技能的教学之外，特别注意培养学生的审题能力、英文术语的表述，比如在解答题中，仅仅只有最后结果而没有过程是没有分数的等级分数衡量制度：满分：4 0 1 2 5+5 41 8 7 5+1 4 3 1 2 5 1 0 0 分，根据2 0 0 7 年的美国大学理事会给的数据统计结果只要拿
22、到6 3分以上就是5 分，从这个角度来讲跟中国高考数学有很大的不同，在高考体系里差1，2 分可能会决定一个孩子的命运，而美国的大学基本都接受A P 课程4 分或5 分，但是对于A P 统计学这个学科来讲，拿到5 分并不是那么容易的参考文献1a p s t a t i s t i c s-c o u r s e-d e s c r i p t i o n，W W W e o l l e g e b o a r d c o m a p，2 0 1 2，6，52A p e x a m-f o r m a t，w w w c o l l e g e b o a r d c o m a p，2 0 1
23、2，6，53s t a t i s t i c s-2 0 0 7 r e l e a s e d e x a m s c o r i n g w o r k s h e e t h t t p：a p e e n t r a l。c o l l e g e b o a r d。c o m a p c p u b l i c r e p o s i t o r y e a l c u l u s r e l e a s e d e x a m 一2 0 0 8 一s c o r i n g w o r k s h e e t p d f。2 0 1 2。6。54a p 0 4 一f r q s
24、 t a t i s t i c s b 一3 6 0 0 1 w w w c o l l e g e b o a r d c o r n，2 0 1 2，6 55a p 0 4 一s g _ s t a t b 一3 7 0 9 7，w w w c o l l e g e b o a r d c o r n，2 0 1 2，6，56D a nY a t e s，D a v i dS M o o r e，D a r e nS S t a r n e s T h eP r a c t i c eo fS t a t i s t i c s：T I 一8 3 8 4 8 9G r a p h i
25、n gC a l c u l a t o rE n h a n c e d 3 r dE d i t i o n M ，2 0 0 7，2，z 27 朱虹美国A P 微积分A B B C 课程体系研究 J 数学通报，2 0 1 3，3(上接第9 页)A R o u e h i e r，e ta 1 A e t e sd el aX l l I i e m e6 c o l ed 6 t 6d ed i d a c t i q u ed e sm a t h 6 m a t i q u e s G r e n o b l e：L aP e n s 6 eS a u v a g e，2 0 0 8
26、：1 8 5 1 9 68G o n z d l e z M a r t i n，A S，N a r d i，E，8 LB i z a，I C o n c e p t u a l l y d r i v e na n dv i s u a l l y-r i c ht a s k si nt e x t sa n dt e a c h i n gp r a c t i c e：T h ec a s eo fi n f i n i t es e r i e s J I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lE
27、d u c a t i o ni nS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y，2 0 1 1，4 2(5)，5 6 5 5 8 99F a u l k n e r，F，H a n n i g a n，A，8。G i l l，0 T h ec h a n g i n gp r o f i l eo ft h i r dl e v e ls e r v i c em a t h e m a t i c si nI r e l a n da n di t Si m p l i c a t i o n sf o rt h ep r o v i s i o no fm
28、a t h e m a t i c se d u c a t i o n(1 9 9 8 2 0 1 0)M M P y t l a k，T R o w l a n d，&E S w o b o d a P r o c e e d i n g so ft h e7 t hC o n f e r e n c eo fE u r o p e a nR e s e a r c h e r si nM a t h e m a t i c sE d u c a t i o n P o l a n d：R z e s z o w，2 0 1 1：1 9 9 2 2 0 0 11 0P r e s i d
29、e n t SC o u n c i lo fA d v i s o r so nS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y(P C A S T)E n g a g et oe x c e l：P r o d u c i n gonem i l l i o na d d i t i o n a lc o l l e g eg r a d u a t e sw i t hD e g r e e si nS c i e n c e，T e c h n o l o g y，E n g i n e e r i n g，a n dM a t h e m a t i c s M W a s h i n g t o n，D C：T h eW h i t eH o u s e。2 0 1 2万方数据