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1、引 入 参 数 证 不 等 式周 永 国(湖南沅陵一中419600)证明不等式的途径较多,本文意在介绍一种证明不等式的新方法.即合理引入参数,利用平均值不等式将问题转化为求参数的最值.此法思路自然,操作简单,易于学生接受和掌握.兹举几例说明.例1设非零实数组ai,bi(i=1,2,n),则ni=1a2ini=1b2i(ni=1aibi)2.这是大家熟悉的Cauchy不等式,其证法较多,但下面的证法却使人耳目一新.证设k0,由平均值不等式,得ni=1(a2i+k2b2i)2kni=1aibi,即ni=1a2i2kni=1aibi-k2ni=1b2i.上式右端可视为k的二次函数,ni=1a2i(2
2、kni=1aibi-k2ni=1b2i)max=(ni=1aibi)2ni=1b2i.故ni=1a2ini=1b2i(ni=1aibi)2.例2设aiR+(i=1,2,n),且ni=1ai=1,求证:ni=1nai+12n.证设k 0,则ni=1nai+1=ni=1k(nai+1)kni=1(k+nai+1)2k=n2(k+2k),ni=1nai+1n2(k+2k)m in=2n.注:例2中取n=4,即得1980年列宁格勒数学竞赛题的加强.例3求证:sin2n+cos2n12n-1(nN).证当n=1时,不等式成立显然.当n 1时,设0kn2(n-1),则由均值不等式,(sin2)n+(n-1
3、)knnkn-1sin2,(cos2)n+(n-1)knnkn-1cos2.于是sin2n+cos2nnkn-1-2(n-1)kn=kn-1n-2(n-1)k,sin2n+cos2n kk-1n-2(n-1)kmax.而kn-1n-2(n-1)k=12n-1(2k)n-1n-2(n-1)k83数 学 通 讯 1998年第12期12n-12k+2kn-1个+n-2(n-1)knn=12n-1,sin2n+cos2n 12n-1.注:例3中取n=5,即得前苏联竞赛题.例4(shapiro不等式)若0ai 1(i=1,2,n),且ni=1ai=a,则ni=1ai1-ainan-a.证设k0,则ni=
4、1ai1-ai+k2ai(1-ai)2kni=1ai.由幂平均不等式易得ni=1xmin1-m(ni=1xi)m3其中m1,xiR+(i=1,2,n).于是ni=1ai1-ai2kni=1ai-k2ni=1ai(1-ai)2ak-a(1-1na)k2,故ni=1ai1-ai2ak-a(1-1na)k2max=nan-a.类似可以证明:1.设,R+,0 x,y,z,且x+y+z=1.求 证x-x+y-y+z-z33-.(数学通报1990年8月号问题668).2.已知P为A B C内任意一点,B C=a,CA=b,A B=c,点P到A B C的三边B C,CA,A B的距离分别为d1,d2,d3.
5、求证:ad1+bd2+cd3(a+b+c)22SAB C.(第22届I MO试题)3.设,为锐角,且sin2+sin2+sin2=1,则sin3sin+sin3sin+sin3sin1.(数学通报1994年10月号问题912)例5设ai,biR+(i=1,2,n),r2,则ni=1aribin2-r(ni=1ai)rni=1bi.证设k0,则ni=1(aribi+bik2)2kni=1air2.于是由3式,得ni=1aribi2kni=1ar2i-k2ni=1bi2n1-r2(ni=1ai)r2k-k2ni=1bi,ni=1aribi 2n1-r2(ni=1ai)r2k-k2ni=1bimax=n2-r(ni=1ai)rni=1bi.例5的内涵十分丰富,下面几个不等式均为其特例.1.若xiR+(i=1,2,n),且ni=1xi=a,2,则ni=1xia-xia-1(n-1)n-2.2.设ai,biR+(i=1,2,n),且ni=1ai=ni=1bi,求证ni=1a2iai+bi12ni=1ai.(1991年亚太地区数学竞赛题)3.设a,b,c是三角形的三边,且2S=a+b+c,则anb+c+bnc+a+cna+b(23)n-2Sn-1(n1).(第28届I MO试题)4.例5中取bi=ai(i=1,2,n),则得不等式3.931998年第12期 数 学 通 讯