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1、收稿日期:2005-03-18基金项目:国家自然科学基金资助项目(40371004)作者简介:杨云锋(1978?),男,陕西永寿人,陕西师范大学硕士研究生.文章编号:1672-4291(2005)03-0014-04股票价格跳过程为复合Poisson 过程的期权定价模型杨云锋,?刘新平(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710062)摘?要:研究了股票价格的行为模式,运用随机分析中的鞅方法推广了 Merton 关于欧式期权定价的结果.改变了 Merton 期权定价模型的基本假设,认为股票价格的跳跃过程为一类特殊的复合Poisson 过程且无跳时的波动率为时间的函数,建立了股票价格服
2、从跳扩散过程的行为模型.在风险中性的假设下,推导出了股票价格的跳过程为复合 Poisson 过程的欧式期权定价公式,推广了Merton 的结果.关键词:期权定价;复合 Poisson 过程;跳扩散过程中图分类号:O211.6?文献标识码:AOption pricing model about stock pricingjump process with compound Poisson processYANG Yun-feng,LIU Xin-ping(College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal Universit
3、y,Xi?an 710062,Shaanxi,China)Abstract:T he behavior model of stock price is studied.T he results of Merton on European optionpricing by martingale method are given.By changing basic assumption of Merton option pricing modelto the assumption that jump process is a kind of special compound Poisson pro
4、cess and volatilitywithout jump is the function of time,it is established that the behavior model of the stock pricingprocess is jump-diffusion process.T he formula of European option whose stock price with jump processis a compound Poisson process is deduced under the risk-neutral hypothesis,and it
5、 is extended thatMerton option pricing model.Key words:option pricing;compound Poisson process;jump-diffusion processMR Subject classification:60J75?现代期权定价理论的最新革命始于1973年,F.Black 和 M.Scholes 在有效市场和股票价格服从 It?过程等假设条件下,推导出著名的 Black-Scholes 期权定价模型 1.但在现实中,一些重大的信息到达会使股票价格发生不连续的变动,即跳跃.基于此,Merton在1976年建立了跳跃
6、扩散模型 2,其中扩散过程表示股票价格的连续波动,跳过程表示股票价格的不连续波动,并且他假定跳过程为 Poisson 过程.近年来,仍有不少人在这方面作进一步研究 3 5.本文假定跳过程为一类特殊的复合 Poisson过程,并且认为无跳时的波动率为时间的函数,推导出欧式期权定价公式,从而推广了文献 2 的结果.1?预备知识与基本假设定义 16?设 Y1,Y2,?为一列独立同分布的随机变量,Nt,t?0 为强度为?的 Poisson过程,第 33 卷?第 3 期陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.33?No.3?2005 年 9 月Journal of Shaanxi Normal Unive
7、rsity(Natural Science Edition)Sep.2005?且与 Yn,n?1 独立,令 Xt=?Nti=1Yi,则称Xt,t?0 为复合 Poisson 过程.本文中所提到的特殊的复合 Poisson 过程是指Yi-1 服从于取值为 0,1,2,?,m 的离散均匀分布的复合 Poisson 过程.命题1?如果 Xt,t?0 为以上说明特殊的复合 Poisson 过程,则P(Xt=n)=?nj=0(?t)je-?tj!G(j)(n)-G(j)(n-1),n=1,2,?(1)P(Xt=0)=e-?t.当 m=0 时,则P(Xt=n)=(?t)ne-?tn!,n=0,1,2,?(
8、2)其中 G(y)为 Y1的分布,G(j)(y)为 G(y)自身的j 重卷积,并且约定 G(0)(n)=1.证明?因为P(Xt?n)=P(?Nti=1Yi?n)=?j=0P?Nti=1Yi?n|Nt=jP(Nt=j)=?j=0P?ji=1Yi?n(?t)je-?tj!=?j=0(?t)je-?tj!G(j)(n)=?nj=0(?t)je-?tj!G(j)(n),n=0,1,2,?(3)从而由(3)式有?P(Xt=0)=e-?t,?P(Xt=n)=P(Xt?n)-P(Xt?n-1)=?nj=0(?t)je-?tj!G(j)(n)-G(j)(n-1),?n=1,2,?当 m=0 时,则有 Yi?1
9、.又?G(j)(n)-G(j)(n-1)=0,j?n,1,j=n.?n=1,2,?故 P(Xt=n)=(?t)ne-?tn!,?n=0,1,2,?假设?在给定的金融市场中,假设有两种证券,一种是连续交易的风险证券(股票),它随时间变化的价格 St在风险中性概率测度下,满足随机微分方程dStSt=r dt-V d?n=0nPn(t)+?(t)dWt+UdXt.(4)其中 r 是(连续复合)利率,?(t)为无跳时股票价格的波动率,Wt为标准的布朗运动,U(U -1)为股票价格发生跳跃时股票价格的相对跳跃高度,是随机变量.Vd?n=0nPn(t)是由复合 Poisson 跳跃带来的平均增长,V=E(
10、U),其中 E 为期望算子.并且假设 Wt,t?0 与Xt,t?0 和 Ui,i?1 相互独立.另一种是无风险证券(债券),它随时间变化的价格 Mt满足普通微分方程dMtMt=rdt,?M0=1,(5)即 Mt=ert,其中 r 是(连续复合)利率.2?期权定价公式定理1?设 St是满足随机微分方程(4)的股票价格行为过程,到期日为 T,执行价格为 K 的欧式看涨期权,则该期权在 t 时刻价格 C(t,St)为C(t,St)=?k=0Pk(T-t)EkSt?(d1)exp-V?n=0nPn(T-t)?ki=1(1+Ui)-K e-r(T-t)?(d2),(6)其中d1=lnSt?ki=1(1+
11、Ui)K+r(T-t)-V?n=1nPn(T-t)+12?Tt?2(s)ds?Tt?2(s)ds,d2=d1-?Tt?2(s)ds.证明?由于在等价鞅测度下,?St=ertSt为鞅 7,则有C(t,St)=E er(T-t)(St-K)+|Ft=Ee-r(T-t)ST?ST?K|Ft-KEe-r(T-t)?ST?K|Ft.(7)对于 E e-r(T-t)ST?ST?K|Ft,令dP*dPFt=e-r(T-t)STSt,则由 Bayes 法则有?第 3 期杨云锋 等:股票价格跳过程为复合 Poisson 过程的期权定价模型15?E e-r(T-t)ST?ST?K|Ft=E e-r(T-t)STS
12、tSt?ST?K|Ft=E*St?ST?K|Ft E e-r(T-t)STSt|Ft.由于在 等价鞅 测度下,?St=e-rtSt为鞅,所 以Ee-r(T-t)STSt|Ft=1,从而易知E er(T-t)ST?ST?K|Ft=StP*(ST?K).(8)令 Zt=MtSt,则由 It?公式 8可以得到dZtZt=?2(t)dt+V d?n=1nPn(t)-?(t)dWt-UdXt.(9)由 Girsanov 定理,由于dP*dPFt=e-r(T-t)STSt,可知Bt=Wt-?t0?(s)ds 为P*的标准布朗运动,从而(9)式可以改写为?dZtZt=V d?n=1nPn(t)-?(t)dB
13、t-UdXt.(10)由 Dolease-Dade 指数公式 9,方程(10)的解为ZT=Zt?XT-ti=11(1+Ui)exp-12?Tt?2(s)ds+V?n=1nPn(T-t)-?Tt?(s)dBs,其中 Ui为?i时刻股票价格的相对跳跃高度,U1,U2,?是独立同分布的随机变量,并且我们约定?0i=1=1.从而有P*(ST?K)=P*(MTZT?K)=P*(lnZT?lnMTK)=P*(lnZt?XT-ti=11(1+Ui)exp-12?Tt?2(s)ds+V?n=1nPn(T-t)-?Tt?(s)dBs?lnMTK)=P*(-?Tt?(s)dBs?lnSt?XT-ti=1(1+Ui
14、)K+r(T-t)-?V?n=1nPn(T-t)+12?Tt?2(s)ds).(11)又在P*下,-?Tt?(s)dBs N(0,?Tt?2(s)ds),并且 Bt,t?0 与 Xt,t?0 和 Ui,i?1 相互独立,从而(11)式可以化简为P*(ST?K)=?k=0Pk(T-t)Ekexp-V?n=1nPn(T-t)?ki=1(1+Ui)?(d1),(12)其中 Ek是关于?ki=1(1+Ui)分布的期望算子,d1=lnSt?ki=1(1+Ui)K+r(T-t)-V?n=1nPn(T-t)+12?Tt?2(s)ds?Tt?2(s)ds.所以由(8)式和(12)式得E e-r(T-t)ST?
15、ST?K|Ft=St?k=0Pk(T-t)Ekexp-V?n=1nPn(T-t)?ki=1(1+Ui)?(d1).(13)又由于KE e-r(T-t)?ST?K|Ft=K e-r(T-t)P(ST?K),(14)ST=St?XT-ti=1(1+Ui)expr(T-t)-V?n=1nPn(T-t)-12?Tt?2(s)ds+?Tt?(s)dWs,从而?P(ST?K)=P(lnST?lnK)=P(lnSt?XT-ti=1(1+Ui)expr(T-t)-V?n=1nPn(T-t)-12?Tt?2(s)ds+?Tt?(s)dWs?lnK)=16?陕西师范大学学报(自然科学版)第 33 卷P(-?Tt?
16、(s)dWs?lnSt?XT-ti=1(1+Ui)K+r(T-t)-V?n=1nPn(T-t)-12?Tt?2(s)ds).(15)又由于-?Tt?(s)dWsN(0,?Tt?2(s)ds),并且 Wt,t?0 与 Xt,t?0 和 Ui,i?1 相互独立,从而(15)式可以化简为?P(ST?K)=?k=0Pk(T-t)Ek?(d2).(16)由(14)式和(16)式得KE e-r(T-t)?ST?K|Ft=K e-r(T-t)?k=0Pk(T-t)Ek?(d2),(17)其中 Ek是关于?ki=1(1+Ui)分布的期望算子,d2=d1-?Tt?2(s)ds.故由(7)式、(13)式和(17)
17、式得?C(t,St)=?k=0Pk(T-t)EkSt?(d1)?exp-V?n=0nPn(T-t)?ki=1(1+Ui)-K e-r(T-t)?(d2),(18)其中 d1=lnSt?ki=1(1+Ui)K+r(T-t)-V?n=1nPn(T-t)+12?Tt?2(s)ds/?Tt?2(s)ds,d2=d1-?Tt?2(s)ds.定理得证.根据看涨期权与看跌期权的平价关系10,可以得到欧式看跌期权的价格.定理 2?设 St是满足随机微分方程(4)的股票价格行为过程,到期日为 T,执行价格为 K 的欧式看跌期权,则该期权在 t 时刻的价格P(t,St)为?P(t,St)=?k=0Pk(T-t)E
18、k Ke-r(T-t)?(-d2)-St?(-d1)?exp-V?n=0nPn(T-t)?ki=1(1+Ui),(19)其中 d1=lnSt?ki=1(1+Ui)K+r(T-t)-V?n=1nPn(T-t)+12?Tt?2(s)ds/?Tt?2(s)ds,d2=d1-?Tt?2(s)ds.当 m=0 时,Pk(T-t)=(?t)ke-?(T-t)k!,Xt,t?0 即为Poisson过程,且?(t)为常数时,定理 1 即为 Merton 著名的跳跃扩散模型中的结果.参考文献:1 Black F,Scholes M.The pricing of options and corporateliab
19、ilitiesJ.Journal of Political Economy,1973,81:637 654.2 Merton R C.Option pricing when underlying stock Returnare discontinuous J.Journal of Financial Economics,1976,(3):125 144.3 Scott L Q.Pricing stock options in a jump-diffusion modelwith stochastic volatility and interest rate:Application ofFour
20、ierinversion methods JMathematical Finance,1997,(4):413 426.4 宁丽娟,刘新平.股票价格服从跳-扩散过程的期权定价模型 J.陕西师范大学学报(自然科学版),2003,31(4):16 19.5 阎海峰,刘三阳.带有跳的股票价格模型的期权定价 J.工程数学学报,2003,(2):35 40.6 刘嘉火昆,王公恕.应用随机过程(第 2 版)M.北京:科学出版社,2004.64.7 Lamberton D,Lapayre B.Introduce to stochastic calculusapplied to finance M.London:Chapman and Hall,1966.122 123.8 胡迪鹤.随机过程基础理论应用 M.武汉:武汉大学出版社,2000.582 593.9 严加安.鞅与随机积分引论M.上海:上海科学技术出版社,1981.333 343.10 Joseph Stampflic,Victor Goodman.T he mathematics offinance:Modeling and hedging M.北京:机械工业出版社,2004.97 98.?责任编辑?张惠民?第 3 期杨云锋 等:股票价格跳过程为复合 Poisson 过程的期权定价模型17?