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1、第 4 1 卷第 2 4 期2021年 12 月数学的实践与认识M A T H E M A T IC S INP R A C T IC E A N DT H E O R YV b l.4 1,N o.24D ee.,2 0 1 1基于有向加权网络的价格传导时滞模型王明-,/你仁城-,刘轶芳 3*(1.中国科学院研究生院 管理学院,北京 100 1 90)(2.国家开发银行,北京 100037)(3.中央财经大学 经济学院,北京 10008 1)摘要:传 统的投入产 出价格模型利用矩阵描述并分析价格传导过程.因矩阵表述方式属二维模型,故而无法反映价格随时间变化 的动态关系.利用有 向加权 网络描
2、述各产业部门及部门间的价格传 导关系,并将时间维度 引入构建 了价格传导网络模型,考察价格传导时滞的影响.与现有投入产出价格模型相比,模型具有 以下三个优势:一是可计算任意时刻的价格传 导波动,而传统投入产出价格模型只是该模型在价格传导时间趋向无穷时的特例;二是模型考虑 了各部门不同的价格传 导时滞 的影响,对价格传导过程描述更加精确;三是该模型不受二维矩阵算法的限制,计算复杂度低,易于仿真模拟.关键词:价格模型;价格传导时滞;有向加权网络;投入产出1引言经济系统中各种商 品的价格之间有着密切的联 系,一种商品价格的变化会 引起其他商品价格的变化,这种变化很大程度上是通过成本的变动传导的.通过
3、成本变动引起的价格变化有直接 的,也有间接的.当要考察一种商品价格上升对经济系统整体价格的影响时,需要全面考虑所有的波及反应.投入产出价格模型就是研究价格变化波及影响的最有效方法之一L e on t l e f(1 9 4 7)l-基于投入产出模型理论和假定提出了第一个投入产出价格模型,即成本一 价格结构模型,从成本角度考虑价格的波及效应.其后,随着投入产出理论及应用研究的发展,价格传导模型的研究也获得了长足的发展.Ha w k i n s(1945)21建立了第一个动态投入产 出价格模型,其中每种商品的价格等于其现行生产成本加上所需要的新增资本的成本.G e o rg e s c u!R o
4、 e g e n(1 9 5 1)s 首次定义了动态价格理论,提出了动态投入产出价格模 型.Sol l ow(1959)f 4认为这种动态价格模型比Ha w ki n s 提出的模型更为合理.M ori shi m a(1955)5!solo w(1959)4!D uehin(1958)6等人提出了在最大化利润和资本收益!或者最小化支出情况下的动态价格模型;Joha n sen(1975)1 71!D uehin&Lange(1992)=8 等进一步提出要素价格和技术可变时的动态模型;凡tem eh B a z za z an!P eterw.J.B a t ey(2003)=9对上述模型做T
5、 比较详细的综述,并建立了扩展的投入产出价格模型,使得模型包含了居民部门的收入(工资)变化,也即通常所说的基于投入产出局部闭模型的价格模型.张红霞(2005)1 10 提 出考虑供求关系影响和考虑政府价格调控因素的改进模型.收稿B 期:2011一 05-24资助项目:国家自然科学基金(7090306 8)*通讯作者数 学 的 实 践 与 认 识41 卷以上传统价格模型均是考察某一部门的价格波及作用在产业链上的完全体现,并在系统内使各部门价格达到完全均衡.这是以任何部门都不存在因成本推动价格变动的压力为基本前提的,但社会经济系统运行的实际情况与该模型的理论假设有较大差距.原因在于社会经济系统运行
6、中,每个部门都存在生产时滞,而生产时滞是价格乳性的重要诱因.由于生产时滞的存在,使价格的传导也存在时滞,从价格扰动出现至达到新的均衡需要无数次循环,传统模型结论所依据的均衡状态实际上不可能出现.咚仁城(20 1 0)l-研究存在生产时滞价格戮性时部门间的价格传导规律,引入价格反应期作为价格勃性的度量指标和部门分类基础,建立价格反应期特征矩阵.在此基础上,运用迭代法以投入端价格的变化率和价格反应期特征矩阵为依据,计算 目标期被波及部门的价格变化率.这是投入产出价格模型中首次将价格粘性度量引入模型,具有开创性的理论价值.但在实际应用中,该模型由于仅依靠迭代算法而无法有效解决计算复杂性的问题,这将很
7、大程度的限制该模型在实证研究中的应用.本文通过引入 网络模型将产业部门及部门间的相关关系用有向加权网络结构来描述,并在此基础上构建考虑生产时滞情况的价格传导网络模型.本研究所构建的模型,将有效的解决生产时滞价格传导模型因增加时间纬度而造成的计算复杂性问题,且更加直观易于理解.基本概念与模型假定现有投人产出价格模型2#1#1 传统投人产出价格模型模型假设一个部门价格的变化是通过物耗成本来传递的.假设在 个部门中第 k 个部门的价格变动了 如!,由此而传导至第 了个部门的价格变动是 vp,计算公式如式(1).v p,一v 纵#a!;+艺 v p-#a-,J兴/(1)乞 笋k勿 J 表示为直接影响(
8、式 1 中等式右边第一项)和间接影响(第二项)之和,叭,为投入产出表的直接消耗系数.矩阵形式表示如式(2).v凡一 1=如!#A k.+vP n 一 1#A 一;一 vp*#态 二(人一,一A 二 一 1)一-(z)式 中,矩阵 A 二 一 1 表示投入产出模型的直接消耗系数矩阵 A 删除第 k 行和第 k 列后构成的(n 一l)x(n 一l)矩阵,vP n 一,为除第 k 个部门外其余 n 一1 个部门价格变动.传统投入产出价格模型 中,是考察某一部门的价格波及作用在产业链上的完全体现,即假设价格传导作用至无穷期之后,各部门的最终价格变化情况.由于价格粘性特征,这与社会经济系统运行的实际情况
9、有较大差距.2.1#2生产时滞价格传导模型-同样假设第 儿个部门的价格变动 vp!,经过 r 期后,各部门的价格变化为 v尸r,计算公式如式(3).m in(r,饥)v 尸 r一 艺v 尸 I一(r一 s)#T/十v 尸 S=1(3)1.更为详尽的模型介绍,参见咚仁城.基于生产时滞的价格传导时序模型,数量经济技术经济研究,2o10(s)=13 9 一 1 5 2.24 期王明,等:基于有向加权网络的价格传导时滞模型其甲v尸I一 r=v尸r#A,厂 二(I+v户勺#浅,;v尸I一-=vP l#AA l=(I+v户-)#A;vp l一/=v尸/#AA 0=(I+v户)#A;v尸 一(0,0v沪0.
10、二 0)T s=d ia g 鲜,T -,0,爪 1,耳 为反应期等于 5 的价格反应特征矩阵,r=l,2,瓜 元 素叮为 反 应期 为r时,部门j的 价格 反 应特 征值,其 满 足叮 兀 一 二 一1,否 则叮=0.根据公式(3),若计算最终各部门价格变化(v尸 r),要根据公式(3)中 v尸 仁r!v尸 仁r一-!,!v尸卜-!v尸共:+1 次迭代运算完成.因此在实际应用中,该模型的计算复杂性将是难以有效处理的问题.另外,生产时滞价格传导模型还无法实现参数的 自动修正,例如当反应周期发生变化时,因为模型中反应期的设置必须为整数,因此只能人工重新计算后修订反应特征矩阵来改变模型.而且如果某
11、一个部门的反应周期越短,将造成反应特征矩阵参数越为负.-,那么模型的计算复杂性则会成倍递增.2.名 价格传导模型的墓本假设咚仁城(20 1 0)l-在提出生产时滞的价格传导时序模型时,提出以下假设.这些假设 同样适用于本文构建的价格传导网络模型.l)部门内部的生产时滞是价格传导时滞的唯一诱因.仅考虑在部门内从投入到产出期间所产生的时滞.2)每个部 门无论产品结构如何,都有确定的价格反应期.3)价格随生产过程按设定的反应期传导.在反应期内,投入价格的变动不能反应到产出端价格.4)价格主动变动部门的价格变化率固定不变,无论其投入要素的价格如何变化.5)受波及 的部门的价格波动是因所消耗物料价格的变
12、动而引发 的成本波动所至,不考虑 劳动者工资和利润!税金变动对价格的影响.6)不考虑部门内采取各种降低成本的技术措施所产生的影响.7)不考虑通货膨胀!通货紧缩!供求关系变动等因素对价格的影响.2.3价格时滞的概念界定产生价格传导时滞的因素很多,本文仅重考察因各部门生产时滞所导致的价格传导时滞,暂不考虑其他 因素产生的时滞.在本小节中,针对价格时滞的相关概念进行界定,将其指标化,这是将时滞因素纳入模型的关键.价格反应期 定义为各部门对价格传导的反应时间.从生产的角度看,产品价格的变动是投入要素价格变动传导至产出产品价格变动的结果.而各部门产品的生产均需要一定的生产周期.因此,一个部门各种投入要素
13、价格的变动在部门内部的传导时间应该与生产周期相 同,即部门 乞 产品价格变动传导至部门 j 产品价格的时间,需要延迟部门 J 一个生产周期的时间.本文研究中,假设价格反映期等于部门的生产周期,一个部门的生产周期越长,其价格反应期越长,对价格传导产生的时滞作用就越大.记部门 葱 的价格反应期为 t-,建立价格反应期矩阵 T 二 t.,如有 n 个部门,T 则为一个 x l 的列向量.数 学 的 实 践 与 认 识41卷基本反应期 取各部门中最短的价格反应期为基本反应期,而假设其他部门的反应期为基本反应期的倍数.这样,每一部 门的价格反应期都以整数倍表示.比如,若部门 乞 的价格反应期 t*为 3
14、 个基本反应期,则记为 艺,=3.t乞 决定了部门 落 的生产时滞大小.3有向加权网络对投人产出关系的描述3.1 网络的墓本概念网络模型是以图论为数学基础的.图论是离散数学的分支,目前已经在计算科学!社会科学!生物科学等众多不同的领域得到应用,成为学术界关注的交叉研究热点之一网络是由节点和节点之间的连线(边)组成的离散结构,节点对应研究对象,边代表对象之 间的相互联系或相互作用.其数学定义是一个有序的二元组(认助,可记作 G.其中 V 为网络 G 的节点的集合(简称点集),V 二vl,vZ,v,E 为网络 G 的边的集合(简称边集),E=1,eZ,e.如果网络G 中的边集 E 具有方向性,即
15、e i j兴勺-,则 G 为有向网络.用带箭头的连线表示从一个节点到另一个节点的某种顺序关系;如对节点或边赋予某一数值,可分别称为点权或边权,则 G 为加权网络.如同时具有上述两种特性的网络,称为有向加权网络.对干一个有向加权网络 G=(V,局,其中节点集V=1,2,v二,有向边边集E g V Z,对每条有向边 气 赋予边权 二-7,则可以定义一个矩阵 M=二-,x,令其第 i行第j列的元素为 w 汀,则矩阵 M 与网络 G 是一一对应的.本研究中将国民经济中各部门对应有向加权 网络中的各节点,产业部门之间投入产 出关系对应于有向加权网络的边,从而用投人产出表所描述的国民经济各部门及相关关系,
16、则可对应为一个有向加权网络.与投入产出价格模型不同的是,投入产 出价格模型是以投入产出表为基础的,即各部门之 间的价格传导系数是直接消耗系数.如果将各部门间的直接消耗系数设为有向加权网络中的边权,则有向加权网络模型和投入产出表的直接消耗系数矩阵是一一对应的.另外投入产出模型利用矩 阵进行分析,属于二维模型.当考虑价格传导时滞后,相当于引入时间维度,将模型演变为三维模型.而将矩阵向三维扩展较难,所以在生产时滞价格传导模型中,仅靠依次递推进行处理.而有向加权网络模型则不受矩阵二维的限制,能够更直观地反映部门间的价格传导过程.同时,有向加权网络模型降低了计算复杂度,使其易于利用现有计算机仿真模拟模块
17、,对价格传导过程实现仿真模拟.而且,基于计算机仿真还可实现连续状态的模拟,即当价格反应期为连续变量(而非 目前假设其只能取整数值)时的模拟分析.3.2有向加权网络模型与投人产出模型的对应关系投入产出价格模型中,部门间的相关关系由各部门之间的直接消耗系数矩 阵决定.设有n 个部门,直接消耗系数矩阵 A 则为一个 n x 的矩阵:)!/!一一A入,表示部门 J 生产 1 单位产品所消耗部门 乞 产品的价值量.本小节将 以有向加权 网络来表示上述部门间的消耗关系,从而为构建有 向加权网络模其型中24期王明,等:基于有向加权网络的价格传导时滞模型首先,将国民经济中的 n 个产业部门看作网络中的 n 个
18、节点,v=,2,v 为点集.其次,将两个部门之间的消耗关 系看作是其产业部门对应两节点之间的有向边,E=,1,氏,e t z 为边集,每条边 e i j都与 v 中的一对节点(i,j)对应.由于部门之间的消耗关系具有有向性,即 姚,笋e j-,表示部门 i 对部门 J 的单位消耗,与部门 J 对部门 坛 单位消耗是不同的.边权即为投入产出表中的直接消耗系数,即 艺!j 两节点之间的有向边 肠 的边权 为直接消耗系数 入 j.以 3 个部门的投入产出模型为例,直接消耗系数矩阵为子/1 1#1 2 一!0一(/2-/2 2/2 3 a31a32u33/其对应三节点有向加权 网络模型如图 1 所示:
19、图 l 三节点有向加权网络模型在利用投入产出价格模型研究价格传导时,直接消耗系数便可作为价格的传导系数.在有向加权网络中也是一样,即两节点之间的有向边表示所对应的部门之间的价格传导关系.4价格传导网络模型的构建4.1考虑生产时滞的有向加权网络结构扩展在本文基本假设的基础上,考虑生产时滞的特征并利用有向加权 网络结构描述价格传导机制.在考虑了生产时滞的传导后,各部 门之间的价格反应期是不同的.基于假设每个部门的价格反应期都是基本反应期的整数倍,因此本文采用添加虚拟部门(节点)的方式对价格传导时间做归一化处理.假设部门 乞 的价格反应期为 t-,通过把 部门 葱 假设为 t!个价格反应期为 1 的
20、虚拟子部门,即把原来的具有 n 个部门的系统扩展成一个具有 又 t-+l(乞并劝 个虚拟子部门的系统.因此模型将从原来的 n 节点有向加权网络结构,扩展为具有 艺 t-+l(乞 并哟 个子节点的有 向加权 网络结构.从而将生产时滞纳入价格传导模型中.网络结构具体的扩展方法如下:假设部门k 为价格主动变化部门,则对除部门 k 以外的其他部门进行扩展.例如部门 乞 的价格反应期为 t-,将该部门用 t-个虚拟子部门 仇1,爪2,数 学 的 实 践 与 认 识41卷g i t-替代,并假设虚拟子部门 从:负责全部的输入,虚拟子部门 如-负责全部的输出.因此,当其他部门的价格变动传导至部门 乞 时,需
21、先传导至虚拟部门 级:,再 由虚拟部 门 g,1 顺次传导至部门乳 2.以此类推,最后由虚拟子部门如!传导至下一个部门J,对于边权值的设定,只需将其他部门传导至第一个虚拟子部门的边权值设定为扩展前其他部门传导至部门 乞 的边权值,而最后一个虚拟子部门如-传导到其他部门的权值设定为扩展前部门 乞 传导至其他部门的边权值,其中的虚拟子部门之间边权值设为 1.同时,各虚拟子部门的价格反应期均设定为1.这样,扩展后既保证了部门 乞 整体的价格反应期维持为 亡-,也保证了价格传导效果与扩展前无差异.以 3 部门价格传导模型为例,假设部门 1 为价格主动变动部门,部门 2 的价格反应期为2,部门 3 的价
22、格反应期为 3.按上述方法扩展后的网络结构如图 2 所示:部门一!1/1 1 一!a1 3!_-一:又/,!气r,_一)/!,哪!J:,!,一一护图 2.a 3 2-!概份二 7 2 泣 长_ 一 丫-考虑生产时滞的三部门有向加权网络结构图4.2 考虑生产时滞的价格传导网络模型的构建在有向加权网络结构扩展方法的基础上,构建考虑生产时滞的价格传导网络模型.l)设节点 k 为价格主动变化部门,即保留节点 k 及其价格变化量 vp*不变;2)对节点 无以外的其他节点,设置价格反应期(如节点 乞 价格反应期为 t-),则把节点 乞替换成 艺-个的子节点 爪 二构成的虚拟子节点串 1 毛m成t-,各子节
23、点分别对应价格变化量如*;3)子节点 乳:的输入关系与原节点 Z 相同,即方向和边权都保持不变;子节点 如-的输出关系和原节点 落 相同,即方向和边权都保持不变;4)对所有子节点,建立子节点,m 到子节点 g i(m+1)的有向边,边权值为 1.基于此,考虑生产时滞的价格传导网络模型中部门总数变为 艺,+l(葱 笋哟,且模型中各部门的价格反应期均为 1.因此在模型中经任意 1 条有向边的传导均需 1 个基本反应期的时间.假设价格主动变化部门 k 的价格变动了 v夕!,则 t 个基本反应期后,如从节点 无至其他某一节点存在一条长度小于等于 艺 的有 向路径,则将传导至该节点.因此,价格传导网络模
24、型可根据实际周期的考察,分别计算 1 个基本反应期后!2 个基本反应期后,直至 亡 个基本反应期后的价格传导效应,以此研究不同时期价格传导效应的大小以及价格传导效应随时间变化的路径.4.3价格传导网络模型的模拟算法在 4.2 小节所构建的考虑生产时滞的价格传导网络模型,模拟价格传导效应的具体算法24期王明,等:基于有向加权网络的价格传导时滞模型如下:步骤 1 初始化各节点的变化量.除第 k 个节点外,其他各节点的变化量 勿,(i 笋k,1 二:三t:)均初始化为 0.步骤 2 计算各节点当前的价格变化量.每一子节点的当前变化量等于所有进入该点前一时刻的价格变化量的加权累加,每个子节点串的第一个
25、子节点 岛1 的变化量为 vp罗 f-=艺 v几:#山 厂而子节点串内,除第一个子节点以外,其余子节点岛(+1)仅从子节点岛有一条输入的有向边且边权为1,故如邵 井 十:)=h a,步骤 3 对各节点价格变化量进行更新,令 v马=如岁(J 劣k,1三m 三t j)#步骤 4 重复步骤 2 和步骤 3,经第 t次循环后得到的 v几就是虚拟子部门乳,经过 t个基本反应期时的价格变动量,步骤 5 子节点 g i t-对应的价格变化量 却-就是部门 乞 经 亡 期后最终的价格变化量.4.4单部门变化模型向多部门变化模型的扩展现实中,几个产业部 门价格同时变动的情形也较为常见.因此,本小节简单介绍当有
26、s 个部门产品价格同时变动时的价格传导网络模型.多部门变化的价格传导网络模型只需在单部门变化模型的模拟算法上做如下变化2:l)在步骤 1 中,将 S 个价格主动变化部门的价格变化量均设为固定值.2)在根据价格反应期矩阵 T 对模型进行扩展时,对这 S 个部门不再进行虚拟部门扩展.除上述两点变动外,模型结构!模拟算法均与单部门价格变化的价格传导网络模型相 同.5结论价格变动取决于传导效果,而传导效果又由价格反应期(即价格粘性)决定.因此,价格模型对各部门价格变动的测算精度,很大程度上取决于对价格粘性估算的准确程度.现实中,同一部门内部生产多种产品,不同产品的生产周期又有很大差异.因此,设定一个合
27、理的价格反应期具有一定难度.所以应用中应当把价格反应期的设定作为关键.价格传导路径的不同,表现在传导周期的不同,而且在不同路径上,价格的粘性也有差异,即传导速度的不同.因此,应用中还可能出现同一部 门!同一期间的不同投入对价格的影响程度不 同.所以,应用中对传导过程的模拟也是至关重要的环节.本文构建的价格传导网络模型,在一定程度上针对 以上间题有所完善.在本文的后续研究中,将通过实证研究对比分析不同价格模型的传导效果,以验证所构建模型的有效性.参考文献=1 Leonti efW.Input一 o utput A nalyois M l.Znd Edi ti on.N ew Y o rk:O x
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29、A eti vi ty A nal y sis of produeti on and A l loeati on.2.单部门变化模型到多部门变化模型的扩展,并不需对模型进行相应调整,而只需在模拟算法中做简单处理.这也是价格传导网络模型的优势之一,即价格变动部门的数量与模型结构无关,而模型模拟算法的复杂度并未增加,因此较现有价格模型具有一般性特征68数 学 的 实 践 与 认 识41卷N ewH a ven,Y a l e U n iversi ty P ress,19 5 1:9 8一 11 5#41 Solo wR M.Com peti ti v e v a l ua t ion i n a
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