《投资学专题利率期限结构理论学习教案.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《投资学专题利率期限结构理论学习教案.pptx（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、投资学专题利率期限结构投资学专题利率期限结构(jigu)理论理论第一页，共39页。Outline债券利率曲线、即期利率与远期利率的基本概念;利率期限结构的理论假说及其实证方法；利率期限结构的构造与拟合方法；利率期限结构的动态(dngti)估计方法Vasicek模型和CIR模型；第1页/共39页第二页，共39页。第一节债券收益率曲线与期限第一节债券收益率曲线与期限(qxin)(qxin)结构结构一、收益率曲线一、收益率曲线描述债券描述债券(zhiqun)(zhiqun)到期收益率和到期期限之间关系的曲线叫做收益到期收益率和到期期限之间关系的曲线叫做收益率曲线。率曲线。我们可以将收益率我们可以将收
2、益率 表示为年到期的债券表示为年到期的债券(zhiqun)(zhiqun)现在应支付的现在应支付的年利率，也就是说在时间区间年利率，也就是说在时间区间 上的平均年利率。对到期前不支付上的平均年利率。对到期前不支付利息的债券利息的债券(zhiqun)(zhiqun)而言，收益率是由债券而言，收益率是由债券(zhiqun)(zhiqun)目前的价格目前的价格和面值（到期价格）的比值求出。如果和面值（到期价格）的比值求出。如果 表示该比值，则：表示该比值，则：第2页/共39页第三页，共39页。债券收益率曲线(qxin)与期限结构收益率曲线一般具备以下特点收益率曲线一般具备以下特点(tdin)(tdi
3、n)：（：（1 1）短期收益率一般比长期收益率更富有变化性；（）短期收益率一般比长期收益率更富有变化性；（2 2）收益率）收益率曲线一般向上倾斜；（曲线一般向上倾斜；（3 3）当利息率整体水平较高时，收益率曲线会呈现向下倾斜（甚至是倒转的）形状。）当利息率整体水平较高时，收益率曲线会呈现向下倾斜（甚至是倒转的）形状。第3页/共39页第四页，共39页。dec14,2009 YTD国债(guzhi)vs.SSE 公司债第4页/共39页第五页，共39页。债券收益率曲线与期限(qxin)结构二、利率期限结构二、利率期限结构 1.1.即期利率即期利率vs.vs.远期利率远期利率即期利率（即期利率（spo
4、t ratesspot rates）是定义期限结构的基本利率，即期利率）是定义期限结构的基本利率，即期利率 是指已设定到期日的零息票债券的到期收益率，它表示是指已设定到期日的零息票债券的到期收益率，它表示(biosh)(biosh)的是从现在（的是从现在（）到时间）到时间t t的货币收益。利率和本金都是在时间的货币收益。利率和本金都是在时间t t支付的。支付的。远期利率（远期利率（forward ratesforward rates）指的是资金的远期价格，它是未来两个）指的是资金的远期价格，它是未来两个日期间借入货币的利率，也可以表示日期间借入货币的利率，也可以表示(biosh)(biosh)
5、投资者在未来特定投资者在未来特定日期购买的零息票债券的到期收益率。日期购买的零息票债券的到期收益率。第5页/共39页第六页，共39页。Spot rate VS.forward ratespot ratesspot ratesDiscount factor第6页/共39页第七页，共39页。forward ratesforward rates第7页/共39页第八页，共39页。债券收益率曲线(qxin)与期限结构2.2.贴现因子和现值贴现因子和现值一旦即期利率确定，很自然就要在每一个时间点上，一旦即期利率确定，很自然就要在每一个时间点上，定义相应的贴现因子定义相应的贴现因子 （discount fa
6、ctorsdiscount factors）。未。未来现金流必然通过来现金流必然通过(tnggu)(tnggu)这些因子成倍增加，已这些因子成倍增加，已得到相当的现值。得到相当的现值。第8页/共39页第九页，共39页。零息券零息券是指当前以一固定的价格买入债券，到期后（期限为零息券是指当前以一固定的价格买入债券，到期后（期限为T T）可以赎回）可以赎回1 1元。在利率不波动且短期元。在利率不波动且短期(dun q)(dun q)利率为的情况下，很显然存在：利率为的情况下，很显然存在：假定短期假定短期(dun q)(dun q)利率是可变但可确定的。利率是可变但可确定的。表示表示t t时刻当期的
7、利率，称时刻当期的利率，称为短期为短期(dun q)(dun q)利率（利率（short rateshort rate）,则：则：第9页/共39页第十页，共39页。Simple interest VS.Simple interest VS.Compound interest Compound interest第10页/共39页第十一页，共39页。2 2远期利率远期利率远期利率远期利率(ll)(ll)与零息券与零息券与零息券与零息券由于现实世界利率由于现实世界利率由于现实世界利率由于现实世界利率(ll)(ll)是不确定的，因此有必要进一步对利率是不确定的，因此有必要进一步对利率是不确定的，因此有
8、必要进一步对利率是不确定的，因此有必要进一步对利率(ll)(ll)可变可变可变可变的情形进行分析。根据公式（的情形进行分析。根据公式（的情形进行分析。根据公式（的情形进行分析。根据公式（10.110.1）和远期利率）和远期利率）和远期利率）和远期利率(ll)(ll)公式，可得：公式，可得：公式，可得：公式，可得：这里，这里，这里，这里，是目前债券的价格，是目前债券的价格，是目前债券的价格，是目前债券的价格，是当期看来时刻的远期利率是当期看来时刻的远期利率是当期看来时刻的远期利率是当期看来时刻的远期利率(ll)(ll)。债券(zhiqun)收益率曲线与期限结构第11页/共39页第十二页，共39页
9、。第二节传统利率期限第二节传统利率期限(qxin)(qxin)结构理论与实证结构理论与实证利率期限结构的早期理论或传统理论假说，对不同期限债券利率期限结构的早期理论或传统理论假说，对不同期限债券(zhiqun)(zhiqun)利率之间关系的解释主要有三种：利率之间关系的解释主要有三种：（1 1）预期假说（）预期假说（expections hypothesisexpections hypothesis）；（2 2）流动性偏好假说（）流动性偏好假说（liquidity preference hypothesisliquidity preference hypothesis）；（3 3）市场分割假说
10、）市场分割假说market segmentation hypothesismarket segmentation hypothesis）。第12页/共39页第十三页，共39页。流动性贴水(tishu)收益率曲线(qxin)到期(do q)收益率 即期利率 期限 第13页/共39页第十四页，共39页。第14页/共39页第十五页，共39页。利率预期假说理论利率预期假说理论利率预期假说理论利率预期假说理论(lln)(lln)的实证检验的实证检验的实证检验的实证检验 利用利用19961996年年5 5月至月至20062006年年1010月月上交所国债回购利率进行利率上交所国债回购利率进行利率预期假说预
11、期假说(ji shu)(ji shu)检验。从检验。从上交所回购利率的相关系数看，上交所回购利率的相关系数看，回购利率之间存在很大的相关回购利率之间存在很大的相关性。尤其是长期之间存在较为性。尤其是长期之间存在较为明显的正相关。明显的正相关。R003R007R014R028R091R182R0031R0070.85421R0140.80930.94801R0280.77310.92280.96111R0910.73510.89740.94210.97951R1820.71980.88370.93050.97240.99471第15页/共39页第十六页，共39页。在此基础上，对上交所回购利率进行
12、了单位根检验。检验结果表明，除在此基础上，对上交所回购利率进行了单位根检验。检验结果表明，除R003R003之之外，都存在外，都存在1 1个单位根，这表明序列不平稳。进行一阶差分为平稳序列，即个单位根，这表明序列不平稳。进行一阶差分为平稳序列，即I I（1 1）。）。在确定了不同到期期限的国债回购利率序列均为一阶单整之后，即可通过在确定了不同到期期限的国债回购利率序列均为一阶单整之后，即可通过(tnggu)(tnggu)利用多变量框架下利用多变量框架下JohansenJohansen协整检验。检验结果表明，在协整检验。检验结果表明，在1%1%的显著的显著性水平上存在一个随机向量，即表明我国国债
13、回购市场上存在一个随机趋势，这性水平上存在一个随机向量，即表明我国国债回购市场上存在一个随机趋势，这也验证了利率期限结构预期假说在我国国债回购市场上是成立的。也验证了利率期限结构预期假说在我国国债回购市场上是成立的。第16页/共39页第十七页，共39页。利率期限风险溢价利率期限风险溢价(y ji)(y ji)的实证检验的实证检验利率期限风险风险溢价利率期限风险风险溢价(y ji)(y ji)，是利率期限结构假说所隐含的重要，是利率期限结构假说所隐含的重要条件。国外学者从不同角度对这一问题进行了大量研究。其中比较条件。国外学者从不同角度对这一问题进行了大量研究。其中比较具有代表性的的研究是具有代
14、表性的的研究是Campbell and ShillerCampbell and Shiller等则用等则用t t时点已知的即期时点已知的即期利率期限结构信息来解释期限风险溢价利率期限结构信息来解释期限风险溢价(y ji)(y ji)。具体的回归模型可。具体的回归模型可表示为：表示为：:t :t时点已知的时点已知的n n期即期利率期即期利率;:;:长短期利差长短期利差(yield Spread)(yield Spread)，反映了收益率曲线的斜率。，反映了收益率曲线的斜率。研究结果表明，各类期限债券的期限风险溢价研究结果表明，各类期限债券的期限风险溢价(y ji)(y ji)并没有随期限并没有随
15、期限增加而单调增加，这说明长短期利差对期限风险溢价增加而单调增加，这说明长短期利差对期限风险溢价(y ji)(y ji)的时变的时变性具有解释能力。性具有解释能力。第17页/共39页第十八页，共39页。不同期限段债券组合不同期限段债券组合不同期限段债券组合不同期限段债券组合(zh)(zh)的统计特征及回归结果的统计特征及回归结果的统计特征及回归结果的统计特征及回归结果张雪莹（张雪莹（20062006）的研究：通过对于各期限段的国债组合，其风险溢价序列）的研究：通过对于各期限段的国债组合，其风险溢价序列(xli)(xli)的均值、标准差等统的均值、标准差等统计特征，以及用长短期利差进行回归的结果
16、，如表所示。计特征，以及用长短期利差进行回归的结果，如表所示。债券组合的剩余期限平均期限风险溢价 (%)期限风险溢价的标准差(%)7年 6.68220.878-3.811(-0.769)0.295(2.161)5.668(2.056)0.199注：括号(kuho)内为参数的t值。第18页/共39页第十九页，共39页。第三节收益率曲线的拟合第三节收益率曲线的拟合(n h)(n h)及应用及应用静态模型最为常见(chn jin)的方法包括样条法(Splines Method)和 Nelson Siegel 模型等。动态模型是从假设利率服从某种形式的随机微分方程出发，通过随机微分方程推导出一个理论上
17、的利率期限结构。第19页/共39页第二十页，共39页。一、收益率曲线一、收益率曲线(qxin)(qxin)的拟合方法的拟合方法1.1.样条法样条法样条法样条法（1 1）多项式样条法）多项式样条法）多项式样条法）多项式样条法由麦克库隆茨（由麦克库隆茨（由麦克库隆茨（由麦克库隆茨（Mc CullochMc Culloch）于）于）于）于19711971年提出的年提出的年提出的年提出的,它的主要思想是将贴现函数它的主要思想是将贴现函数它的主要思想是将贴现函数它的主要思想是将贴现函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数
18、的阶数一般取用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取为三，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。下式表示期限为为三，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。下式表示期限为为三，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。下式表示期限为为三，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。下式表示期限为t t的贴现函数：的贴现函数：的贴现函数：的贴现函数：（2 2）指数样条法）指数样条法）指数样条法）指数样条法指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，指数样条法则是
19、考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，它是瓦西塞克（它是瓦西塞克（它是瓦西塞克（它是瓦西塞克（VasicekVasicek）和弗隆戈（）和弗隆戈（）和弗隆戈（）和弗隆戈（FongFong）在）在）在）在19821982年提出的，该方法将年提出的，该方法将年提出的，该方法将年提出的，该方法将贴现函数用分段的指数函数来表示。其形式贴现函数用分段的指数函数来表示。其形式贴现函数用分段的指数函数来表示。其形式贴现函数用分段的指数函数来表示。其形式(xn
20、gsh)(xngsh)如下：如下：如下：如下：第20页/共39页第二十一页，共39页。2.2.尼尔森尼尔森-辛格尔（辛格尔（Nelson-SiegelNelson-Siegel）模型模型(mxng)(mxng)尼尔森和辛格尔在尼尔森和辛格尔在1987 1987 年提出了一个用参数表示的瞬时年提出了一个用参数表示的瞬时(即期限为零的即期限为零的)远期利率函数。远期利率函数。由此我们由此我们(w men)(w men)可以求得即期利率的函数形式：可以求得即期利率的函数形式：第21页/共39页第二十二页，共39页。这个模型中只有这个模型中只有(zhyu)(zhyu)四个参数四个参数,即即 ,根据式中
21、的即期利率根据式中的即期利率,我们可以得到相应的贴现我们可以得到相应的贴现函数函数,从而计算债券的模型价值用以拟合市场数据。虽然参数的个数不多从而计算债券的模型价值用以拟合市场数据。虽然参数的个数不多,但这样的函数形式已经但这样的函数形式已经有足够的灵活度来拟合收益率曲线的标准形状，递增的、递减的、水平和倒置的形状，如图所示。有足够的灵活度来拟合收益率曲线的标准形状，递增的、递减的、水平和倒置的形状，如图所示。第22页/共39页第二十三页，共39页。3.3.斯文森（斯文森（SvenssonSvensson）模型）模型斯文森将斯文森将Nelson-Siegel Nelson-Siegel 模型作
22、了推广模型作了推广,引进了另引进了另外两个参数外两个参数 ,而得到如下而得到如下(rxi)(rxi)的即期利率的即期利率函数：函数：这个模型也被称为扩展的这个模型也被称为扩展的Nelson-Siegel Nelson-Siegel 模型，模型，这一模型在计算短期债券价格时的灵活性大大增这一模型在计算短期债券价格时的灵活性大大增强。强。第23页/共39页第二十四页，共39页。二、利率期限结构的数据拟合二、利率期限结构的数据拟合（一）（一）MatlabMatlab工具的利率期限结构拟合工具的利率期限结构拟合得出零息票收益率曲线，通常的方法是所谓的息票得出零息票收益率曲线，通常的方法是所谓的息票剥离
23、法。息票剥离法将息票从债券中进行剥离并在剥离法。息票剥离法将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平，具体计算方法此基础上估计无息票债券利率水平，具体计算方法如下如下(rxi)(rxi)：设设 为某债券的到期期限，为某债券的到期期限，表示现金流；表示现金流；F F表示表示债券的面值；债券的面值；P P表示债券全价；表示债券全价；即期利率，根据即期利率，根据债券定价公式从而得到：债券定价公式从而得到：bootstrap method_01.M bootstrap method_01.M 第24页/共39页第二十五页，共39页。收益率曲线的拟合(n h)及应用结合交易所国债价格数据和
24、结合交易所国债价格数据和Nelson-SiegelNelson-Siegel模型，运用非线性最优化算法，采用模型，运用非线性最优化算法，采用MatlabMatlab软件估软件估计得到的参数分别为：计得到的参数分别为：=3.9085,=-3.2874 =3.9085,=-3.2874，=2.5628=2.5628；三个参数的变化；三个参数的变化(binhu)(binhu)分别看分别看作是即期利率曲线截距、斜率和曲度的变化作是即期利率曲线截距、斜率和曲度的变化(binhu)(binhu)。利率期限利率期限(qxin)结构结构 第25页/共39页第二十六页，共39页。对样本内所有时点的数据进行对样本
25、内所有时点的数据进行(jnxng)(jnxng)估计，就可以得到估计，就可以得到每个时点的利率期限结构。每个时点的利率期限结构。第26页/共39页第二十七页，共39页。收益率曲线(qxin)的拟合及应用（二）基于（二）基于SASSAS的利率期限结构拟合的利率期限结构拟合1 1、模型拟合方法、模型拟合方法多项式样条、多项式样条、Nelson-SiegelNelson-Siegel及及SvenssonSvensson扩展模型是最扩展模型是最为常用且较成熟的模型。模型拟合的过程实际上就是估为常用且较成熟的模型。模型拟合的过程实际上就是估计模型参数的过程，期限结构的估计可以通过建立样本计模型参数的过程
26、，期限结构的估计可以通过建立样本债券的实际价格与理论价格之间误差值的目标函数并使债券的实际价格与理论价格之间误差值的目标函数并使其最小来实现。其最小来实现。2 2、样本的选择、样本的选择债券样本的选择对于形成债券样本的选择对于形成(xngchng)(xngchng)合理的期限结构有合理的期限结构有着至关重要的影响，样本的不稳定性将会导致期限结构着至关重要的影响，样本的不稳定性将会导致期限结构的拟合出现重大偏差。样本的稳定性具体将涉及样本自的拟合出现重大偏差。样本的稳定性具体将涉及样本自身价格的稳定性、数量的稳定性以及债券期限分布的稳身价格的稳定性、数量的稳定性以及债券期限分布的稳定性。定性。第
27、27页/共39页第二十八页，共39页。收益率曲线的拟合(n h)及应用3 3、多项式样条法拟合、多项式样条法拟合利用软件，根据前述多项式样条的表达式以及利用软件，根据前述多项式样条的表达式以及(yj)(yj)目标函数，基于目标函数，基于20062006年年6 6月月3030日经过筛选后的日经过筛选后的1818只债券，采用息票剥离法只债券，采用息票剥离法(bootstrap method)(bootstrap method)来拟合上证固来拟合上证固定利率国债的即期收益率曲线。定利率国债的即期收益率曲线。多项式样条法拟合多项式样条法拟合(n h)效果效果 第28页/共39页第二十九页，共39页。收
28、益率曲线的拟合(n h)及应用4 4、Nelson-Siegle-SevenssonNelson-Siegle-Sevensson方法方法(fngf)(fngf)拟合拟合第29页/共39页第三十页，共39页。收益率曲线(qxin)的拟合及应用5 5、拟合结果、拟合结果(ji gu)(ji gu)的比较的比较第30页/共39页第三十一页，共39页。第四节 利率动态(dngti)模型及其估计一、常用的利率动态模型一、常用的利率动态模型（一）均衡模型（一）均衡模型单因子假定（瞬间）短期利率的风险中性过程是随机的，并且只有一个单因子假定（瞬间）短期利率的风险中性过程是随机的，并且只有一个不确定性来源不
29、确定性来源(单因子单因子)。随机过程包括漂移和波动。随机过程包括漂移和波动(bdng)(bdng)率两个参数，率两个参数，它们只与短期利率它们只与短期利率r r有关，与时间无关。有关，与时间无关。MertonMerton在在19731973年首先提出了一个最简单的单因子模型：年首先提出了一个最简单的单因子模型：。这里，。这里，和和 都为常数。长期而言，利率的波动都为常数。长期而言，利率的波动(bdng)(bdng)具有均值回归（具有均值回归（mean mean reversionreversion）的特征。）的特征。第31页/共39页第三十二页，共39页。利率动态模型(mxng)及其估计1 1
30、、VasicekVasicek模型模型在在VasicekVasicek模型中，短期利率模型中，短期利率r r的变动为以下形式的随机过程：的变动为以下形式的随机过程：假定目前的瞬间利率假定目前的瞬间利率 ，则未来某一时点，则未来某一时点s s其瞬间利率的条件期望值和方差其瞬间利率的条件期望值和方差为：为：给定风险价格给定风险价格 ，在时点，在时点t t时，到期日为时，到期日为T T的零息票的零息票(x pio)(x pio)价格为：价格为：而利率期限结构为：而利率期限结构为：第32页/共39页第三十三页，共39页。利率(ll)动态模型及其估计2 2、CIRCIR模型模型Cox,Ingersoll
31、 Cox,Ingersoll 和和RossRoss（19851985）提出的）提出的CIR CIR 模型的初衷是为了克服模型的初衷是为了克服Vasicek Vasicek 模型的利率可以为负的缺陷。该模型的一个最大的优点在于，模型的利率可以为负的缺陷。该模型的一个最大的优点在于，它同时可以模拟较长期利率的时间行为它同时可以模拟较长期利率的时间行为(xngwi)(xngwi)。但也有一个不当之。但也有一个不当之处，就是当因素从单个扩展到多个时，再假定每个因素都是非负的显处，就是当因素从单个扩展到多个时，再假定每个因素都是非负的显然有点不合理。若假定所有因素的和是非负的，则是较为合理的。然有点不合
32、理。若假定所有因素的和是非负的，则是较为合理的。第33页/共39页第三十四页，共39页。利率动态(dngti)模型及其估计（二）无套利模型（二）无套利模型1 1、Ho-LeeHo-Lee模型模型HoHo和和LeLe于于19861986年首先提出年首先提出(t ch)(t ch)了无套利利率模型。该模型将了无套利利率模型。该模型将期初的利率期限结构作为输入变量，以二项分布结构推导出利率期初的利率期限结构作为输入变量，以二项分布结构推导出利率期限结构的动态变化。在连续时间下，瞬间利率的期限结构的动态变化。在连续时间下，瞬间利率的SDESDE为：为：2 2、BDTBDT模型模型Black,Derma
33、n&Toy(1990)Black,Derman&Toy(1990)提出提出(t ch)(t ch)的的BDTBDT模型，假定瞬时利模型，假定瞬时利率为对数的正态分布，模型中除了包含期初利率期限结构的信息，率为对数的正态分布，模型中除了包含期初利率期限结构的信息，还将波动率利率期限结构视为输入变量。连续的还将波动率利率期限结构视为输入变量。连续的BDTBDT模型的模型的SDESDE为：为：第34页/共39页第三十五页，共39页。利率动态(dngti)模型及其估计3 3、HJMHJM模型模型模型模型Heath,Jarrow&Monton(1990,1992)Heath,Jarrow&Monton(
34、1990,1992)提出的提出的提出的提出的N N因子连续时间模型，是以外因子连续时间模型，是以外因子连续时间模型，是以外因子连续时间模型，是以外生方式指定远期利率生方式指定远期利率生方式指定远期利率生方式指定远期利率(ll)(ll)的波动，而利率的波动，而利率的波动，而利率的波动，而利率(ll)(ll)期限结构为远期利率期限结构为远期利率期限结构为远期利率期限结构为远期利率(ll)(ll)的函数。的函数。的函数。的函数。HJMHJM模型的远期利率模型的远期利率模型的远期利率模型的远期利率(ll)(ll)随机过程为：随机过程为：随机过程为：随机过程为：第35页/共39页第三十六页，共39页。基
35、于中国债券市场的利率期限结构动态基于中国债券市场的利率期限结构动态(dngti)(dngti)估计估计将将VasicekVasicek模型和模型和CIRCIR模型运用于我国货币市场中的银行间同业拆借模型运用于我国货币市场中的银行间同业拆借市场，来拟合银行间同业拆借利率的期限结构。市场，来拟合银行间同业拆借利率的期限结构。数据说明：银行间同业拆借利率是我国货币市场上主要的利率品种，数据说明：银行间同业拆借利率是我国货币市场上主要的利率品种，也是我国最早市场化的利率。也是我国最早市场化的利率。我国的同业拆借市场数据统计始于我国的同业拆借市场数据统计始于19961996年年1 1月，这里选取月，这里选取20052005年年1 1月月1 1日至日至20082008年年1 1月月1 1日间的银行间日间的银行间7 7天同业拆借利率数据，并将单利的天同业拆借利率数据，并将单利的拆借利率转换拆借利率转换(zhunhun)(zhunhun)为等价连续复利的数值，转换为等价连续复利的数值，转换(zhunhun)(zhunhun)方程如下：方程如下：第36页/共39页第三十七页，共39页。第37页/共39页第三十八页，共39页。第38页/共39页第三十九页，共39页。