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1、会计学1所有分类信号所有分类信号(xnho)与系统控制的复频域与系统控制的复频域分析分析第一页，共116页。7.1.1 什么什么(shn me)是复频域分是复频域分析法析法 n n复频域分析法包括复频域分析法包括(boku)(boku)连续信号与系统的复频域分析与离散信号与系统连续信号与系统的复频域分析与离散信号与系统的复频域分析两部分；的复频域分析两部分；n n在连续信号与系统的分析中，复频域分析法即拉普拉斯分析法；在连续信号与系统的分析中，复频域分析法即拉普拉斯分析法；n n在离散信号与系统的分析中，复频域分析法则称为在离散信号与系统的分析中，复频域分析法则称为Z Z变换法。变换法。n n
2、频域分析法揭示了信号的频谱特性和系统的频域特性，但频域分析法有两个频域分析法揭示了信号的频谱特性和系统的频域特性，但频域分析法有两个局限性：一是某些信号的傅立叶变换不存在，给信号与系统的分析带来了很局限性：一是某些信号的傅立叶变换不存在，给信号与系统的分析带来了很大的不便；另一个最大的局限性就是只能求解系统的零状态响应。大的不便；另一个最大的局限性就是只能求解系统的零状态响应。n n复频域分析法则是能够有效克服频域分析法局限性：不仅能够避免出现信号复频域分析法则是能够有效克服频域分析法局限性：不仅能够避免出现信号分析的死区，全面解决信号的复频域分析问题；而且能够求解系统的零状态分析的死区，全面
3、解决信号的复频域分析问题；而且能够求解系统的零状态响应与零输入响应问题，即可以求解系统的完全响应，使信号与系统的分析响应与零输入响应问题，即可以求解系统的完全响应，使信号与系统的分析更为完整、简洁。更为完整、简洁。第2页/共116页第二页，共116页。7.1.2 复频域分析法的主复频域分析法的主要要(zhyo)特点特点 n n在连续信号与系统的分析中，复频域分析法的主要特点是在频域分析法的基础上引入衰减因子 ，使傅立叶正变换中的 变成 ；使原来频域分析中的基本虚指数信号 扩展为复频域分析中的基本复指数信号 ，其中(qzhng)即为复频率；同时也使傅立叶变换成为了拉普拉斯变换。第3页/共116页
4、第三页，共116页。7.2 连续信号与系统连续信号与系统(xtng)的复频域分的复频域分析析n n7.2.1 拉普拉斯变换n n7.2.2 用拉普拉斯变换法求解微分方程 n n7.2.3 RLC系统的复频域分析n n7.2.4 闭环系统的根轨迹n n7.2.5 利用(lyng)根轨迹分析系统的性能 第4页/共116页第四页，共116页。7.2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(binhun)n n1 1）从傅立叶变换到拉普拉斯变换）从傅立叶变换到拉普拉斯变换n n 用用 表示信号表示信号(xnho)(xnho)的傅立叶变换，由傅里叶的傅立叶变换，由傅里叶n n变换的定义，则有：变换的定义，则有：n
5、 n令令 ，则有：，则有：n n n n （7.2-27.2-2）n n式（式（7.2-27.2-2）即为信号）即为信号(xnho)f(t)(xnho)f(t)的双边拉普拉斯变换，记为的双边拉普拉斯变换，记为n n =第5页/共116页第五页，共116页。同样，根据傅里叶逆变换的定义同样，根据傅里叶逆变换的定义(dngy)(dngy)，则有：，则有：（7.2-57.2-5）式（式（7.2-57.2-5）称为）称为F(s)F(s)的拉普拉斯逆变换，记为的拉普拉斯逆变换，记为 -12）双边拉普拉斯变换的收敛域任一信号f(t)的双边拉氏变换F(s)是否存在，完全取决于是否选择(xunz)了合适的。只
6、要选择(xunz)了合适的，就能满足绝对可积条件，即：此时，f(t)的双边拉氏变换F(s)就一定存在。由于=Res，所以F(s)是否存在，取决于是否选择了适当的s。在复平面上，能使F(s)存在的s的取值范围称为F(s)的收敛域。由于F(s)的存在与否，完全由s的实部决定，而与s的虚部j无关，因此(ync)收敛域的边界是平行于j轴的直线。第6页/共116页第六页，共116页。n n例例7.2-1 7.2-1 求时限信号求时限信号f1(t)=(t)-(t-),0 f1(t)=(t)-(t-),0 的双边拉氏变换及其收敛的双边拉氏变换及其收敛域域 n n解：设解：设f1(t)f1(t)的双边拉氏变换
7、为的双边拉氏变换为F1(s)F1(s)，则有，则有n n n n 由上述积分过程可知：由上述积分过程可知：F1(s)F1(s)的存在与的存在与 的取值无关可任意选的取值无关可任意选取。即：取。即：F1(s)F1(s)的收敛域为整个的收敛域为整个(zhngg)(zhngg)复平面，复平面，n n 或或 =Res -=Res -第7页/共116页第七页，共116页。n n3 3）单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换n n信号的单边拉氏变换及其逆变换信号的单边拉氏变换及其逆变换(或反变换或反变换)分别分别(fnbi)(fnbi)为为 n n （7.2-77.2-7）n n （7.2-87.2-8）n n
8、式（式（7.2-77.2-7）称为的单边拉氏变换）称为的单边拉氏变换;n n式（式（7.2-87.2-8）为的单边拉氏反变换）为的单边拉氏反变换;n n其中其中 F(s)F(s)为为f(t)f(t)的象函数，的象函数，f(t)f(t)则为则为F(s)F(s)的原函数。的原函数。第8页/共116页第八页，共116页。n n4)常用(chn yn)信号的单边拉普拉斯变换对n n 冲激信号 n n ,n n即:，n n 阶跃信号 n n ，n n即：，第9页/共116页第九页，共116页。斜坡信号斜坡信号(xnho)(xnho)即：即：单边指数信号单边指数信号(xnho)(xnho)即：即：，第10
9、页/共116页第十页，共116页。正弦信号正弦信号(xnho)(xnho)即：即：类似有：类似有：第11页/共116页第十一页，共116页。n n5 5）单边拉普拉斯变换的性质）单边拉普拉斯变换的性质）单边拉普拉斯变换的性质）单边拉普拉斯变换的性质n n 单边拉氏变换的性质反映了不同形式的信号与单边拉氏变换的性质反映了不同形式的信号与单边拉氏变换的性质反映了不同形式的信号与单边拉氏变换的性质反映了不同形式的信号与其单边拉氏变换的对应规律。其单边拉氏变换的对应规律。其单边拉氏变换的对应规律。其单边拉氏变换的对应规律。n n 利用这些性质并结合常用信号的单边拉氏变换利用这些性质并结合常用信号的单边
10、拉氏变换利用这些性质并结合常用信号的单边拉氏变换利用这些性质并结合常用信号的单边拉氏变换对，能够对，能够对，能够对，能够(nnggu)(nnggu)较快地求解单边拉氏变换和逆变较快地求解单边拉氏变换和逆变较快地求解单边拉氏变换和逆变较快地求解单边拉氏变换和逆变换的问题。换的问题。换的问题。换的问题。n n 熟记单边拉氏变换的性质和常用信号的单边拉熟记单边拉氏变换的性质和常用信号的单边拉熟记单边拉氏变换的性质和常用信号的单边拉熟记单边拉氏变换的性质和常用信号的单边拉氏变换对，并有效掌握傅里叶变换和拉斯变换的内在氏变换对，并有效掌握傅里叶变换和拉斯变换的内在氏变换对，并有效掌握傅里叶变换和拉斯变换
11、的内在氏变换对，并有效掌握傅里叶变换和拉斯变换的内在关系，对信号与系统的频率特性分析以及关系，对信号与系统的频率特性分析以及关系，对信号与系统的频率特性分析以及关系，对信号与系统的频率特性分析以及LT I LT I 系统的系统的系统的系统的时域全响应的求解具有重要的价值。时域全响应的求解具有重要的价值。时域全响应的求解具有重要的价值。时域全响应的求解具有重要的价值。第12页/共116页第十二页，共116页。线性性质若，则，时移性质若因果信号：，则有注意，必须是因果信号，且时，上述性质才成立，此时 复频移性质若，则，式中，为复常数，关于收敛域的说明：因为的收敛域为Res，所以的收敛域也为，即。第
12、13页/共116页第十三页，共116页。时域微分(wi fn)性质 若，则有时域微分性质中包含了信号的初始状态，因此在求解系统的微分方程时，不仅能求解零状态响应，而且还能求解零输入(shr)响应，所以单边拉氏变换的时域微分性质非常重要。若为因果(yngu)信号，则有微分性质可简化为即：原函数求导一次，其象函数乘上一个s。此时，时域 尺度变换性质 若,则，式中为大于0的常数。时域卷积 若，且，则第14页/共116页第十四页，共116页。时域积分性质对于因果信号，若表示对从到 的 而对于非因果信号则有时域微分性质和时域积分性质，主要应用于复频域分析中线性连续系统的微积分运算以及系统微分方程的求解。
13、式中：重积分。，则有第15页/共116页第十五页，共116页。复频域微分 若，则有 复频域积分 若，则有初值和终值定理初值定理：若中不包含冲激函数及其各阶导数，并且，则。在时的极限存在，并且，只在s右半平面及虚轴上解析的终值为。的初值为终值定理：若（原点除外），则第16页/共116页第十六页，共116页。表7.2-1单边拉氏变换(binhun)的性质第17页/共116页第十七页，共116页。第18页/共116页第十八页，共116页。6）单边拉普拉斯逆变换 求单边拉氏变换的逆变换是复频域分析法的基本问题。在实际问题中，单边拉氏逆变换的求解方法主要有查表法，部分分式展开法及反演积分法（留数定理）等
14、三种，其中部分分式展开法是最常用的方法，是学习的重点。因为F(s)一般可化为s的有理分式(yu l fn sh)，将F(s)展开为比较简单的部分分式之和，然后利用常用信号的单边拉氏变换对与单边拉氏变换的性质，就可以十分方便地由F(s)求取f(t)。第19页/共116页第十九页，共116页。下面主要介绍求解单边拉氏逆变换的部分分式展开法。下面主要介绍求解单边拉氏逆变换的部分分式展开法。一般一般,F(s),F(s)可表示为可表示为 式中式中 a i,b i a i,b i 均为实数均为实数(shsh)(shsh)且且 a n=1 a n=1。若若F(s)F(s)为假分式，则必须用多项式除法将为假分
15、式，则必须用多项式除法将F(s)F(s)分解为有理多项式（商）分解为有理多项式（商）与有理真分式（余式）之和，即与有理真分式（余式）之和，即 的逆变换直接(zhji)对应于冲激函数阶导数(dosh)之和其中，商及其多；而多项式除法的余式即则可展开为部分分式之和后再求逆变换。有理真分式第20页/共116页第二十页，共116页。例7.2-9已知，求解：由题，其中所以，利用为所求。可得第21页/共116页第二十一页，共116页。例7.2-10已知，求解：由题 有二重极点 和单极点 ，所以，其中而所以即为所求。的展开式为第22页/共116页第二十二页，共116页。7.2.2 7.2.2 用拉普拉斯变换
16、法求解用拉普拉斯变换法求解用拉普拉斯变换法求解用拉普拉斯变换法求解(qi ji)(qi ji)微分微分微分微分方程方程方程方程 n n由于由于LTILTI连续系统的输入输出关系通常用线性常系数微连续系统的输入输出关系通常用线性常系数微分方程来描述，而单边拉氏变换的时域微分性质是考分方程来描述，而单边拉氏变换的时域微分性质是考虑了系统的初始状态的，因此系统微分方程的单边拉虑了系统的初始状态的，因此系统微分方程的单边拉氏变换不仅使系统微分方程氏变换不仅使系统微分方程 变为复频域的代数方程，变为复频域的代数方程，使求解变得简单易行；而且引入了系统的初始状态，使求解变得简单易行；而且引入了系统的初始状
17、态，既可以既可以n n 求解系统的零状态响应求解系统的零状态响应(xi(xi ngyng)ngyng)，n n 又可以求解系统的零输又可以求解系统的零输n n 入响应入响应(xi(xi ngyng)ngyng)和完全响应和完全响应(xi(xi ngyng)ngyng)。图7.2-1用拉氏变换(binhun)法求第23页/共116页第二十三页，共116页。设设 阶阶LTILTI连续系统的微分方程为连续系统的微分方程为 （7.2-267.2-26）式（式（7.2-267.2-26）中，）中，为为y(t)y(t)的的 i i 次导数，次导数，；为为 f(t)f(t)的的 j j 次导次导数，数，且，
18、且a=1a=1，mn mn 为实常数，则为实常数，则 n n 阶系统的系统阶系统的系统函数为函数为 （7.2-277.2-27）式（式（7.2-277.2-27）给出了系统微分方程与系统函数之间的对应关系。根据）给出了系统微分方程与系统函数之间的对应关系。根据(gnj)(gnj)这个关系，可由系统微分方程得到系统函数这个关系，可由系统微分方程得到系统函数G(s)G(s)，同样也可由，同样也可由系统函数得到系统的微分方程系统函数得到系统的微分方程 。由于由于LTILTI连续系统响应的连续系统响应的n n个初始状态个初始状态 是在初始时刻是在初始时刻 之前的系统状态，因而容易确定，这样就避开了时域
19、分析中复杂的初之前的系统状态，因而容易确定，这样就避开了时域分析中复杂的初值问题。值问题。第24页/共116页第二十四页，共116页。例7.2-15 若LTI连续系统的微分方程为 ，而且 ，。试求系统的零输入(shr)响应 零状态响应 、完全响应 以及系统函数 和单位冲激响应 。解：由题 、，用时域微分性质对系统微分方程取单边拉氏变换，有代入初值，整理得 第25页/共116页第二十五页，共116页。有有 与与 所以所以(su(su y y)；而而 所以所以(su(su y y)因此因此且且有有 为所求为所求第26页/共116页第二十六页，共116页。7.2.3 RLC系统系统(xtng)的复频
20、的复频域分析域分析n n用线性常系数微分方程描述输入、输出关系的用线性常系数微分方程描述输入、输出关系的RLCRLC系统，可以利用单边系统，可以利用单边拉氏变换的性质，将拉氏变换的性质，将RLCRLC系统用复频域模型来表示，大大简化系统分析系统用复频域模型来表示，大大简化系统分析与计算。与计算。n n1 1）KCLKCL、KVLKVL的的S S域形式域形式n n对对KCLKCL和和KVLKVL的时域形式的时域形式与与分别取单边拉氏变换，分别取单边拉氏变换，则有则有KCLKCL和和KVLKVL的的S S域形式如下域形式如下(rxi)(rxi)n n(7.2-28)(7.2-28)n nn n式式
21、(7.2-28)(7.2-28)表明：流入集总电路任一节点的电流的象函数的代数和为表明：流入集总电路任一节点的电流的象函数的代数和为零；而沿集总电路中任一回路的各支路电压的象函数的代数和也为零。零；而沿集总电路中任一回路的各支路电压的象函数的代数和也为零。第27页/共116页第二十七页，共116页。n n2）RLC元件(yunjin)的S域模型n n零状态下RLC元件(yunjin)的S域模型图 7.2-2 零状态下 RLC 元件(yunjin)的 S 域模型 第28页/共116页第二十八页，共116页。非零状态下LC元件(yunjin)的S域模型图7.2-4非零状态下LC元件的S域并联(bn
22、glin)模型图7.2-3非零状态下LC元件(yunjin)的S域串联模型第29页/共116页第二十九页，共116页。图7.2-5例7.2-19电路例7.2-19图7.2-5电路(dinl)中，R=2，L=1H，C=1F，输入，输出(shch)求系统(xtng)的单位冲激响应 ；确定初始状态 。解：由题，输入 ，有，且，电路的S域模型如图7.2-6 a.所示。图7.2-6 a.中及 有 即 为所求。，试可画图7.2-6例7.2-19的两种S域模型利用第30页/共116页第三十页，共116页。当 时，要，即 则电路(dinl)的S域模型如图7.2-6 b.所示。由图7.2-6 b.有 又代 入上
23、式可得当 时，有 为所求。图7.2-7例7.2-20的电路(dinl)与输入信号例7.2-20图7.2-7a.电路中，输入(shr)信号所示，系统初始状态为0，试求：的拉氏变换；系统函数 输出电压。如图7.2-7 b.；第31页/共116页第三十一页，共116页。解：由题，设门信号(xnho)，由图有，其中(qzhng)。且，利用(lyng)时域卷积性质，有”即可，易得代入图7.2-7 a.中的电路参数，有 ，所以为所求。（Res0）为所求。由题，系统函数为零状态下求得，电路的S域模型非常简单，本例只需“小写换大写、t 换s、第32页/共116页第三十二页，共116页。由、有 其中(qzhng
24、)有利用(lyng)，及时(jsh)域卷积性质，可得第33页/共116页第三十三页，共116页。7.2.4 闭环系统闭环系统(xtng)的根轨迹的根轨迹 n n所谓根轨迹法，是一种确定闭环特征根的图解法；根轨迹所谓根轨迹法，是一种确定闭环特征根的图解法；根轨迹法以开环零、极点为出发点，探求系统某些参数（如开环法以开环零、极点为出发点，探求系统某些参数（如开环增益增益K K）变化时，闭环极点在）变化时，闭环极点在S S平面上变化的根轨迹。闭环平面上变化的根轨迹。闭环根轨迹随系统参数的变化而变化的图形根轨迹随系统参数的变化而变化的图形(txng)(txng)揭示了开揭示了开环零、极点的位置与闭环系
25、统性能之间的密切联系，不仅环零、极点的位置与闭环系统性能之间的密切联系，不仅可以给出闭环系统时间响应的信息，而且可以给出闭环系可以给出闭环系统时间响应的信息，而且可以给出闭环系统频率响应的信息。统频率响应的信息。n n1.1.根轨迹的概念与根轨迹方程根轨迹的概念与根轨迹方程n n1 1）根轨迹）根轨迹n n当系统某个参数（如开环增益当系统某个参数（如开环增益K K）由零到无穷大变化时，闭）由零到无穷大变化时，闭环特征根在环特征根在S S平面上移动的轨迹，即为系统的闭环根轨迹，平面上移动的轨迹，即为系统的闭环根轨迹，简称根轨迹。简称根轨迹。第34页/共116页第三十四页，共116页。n n图图7
26、.2-87.2-8所示二阶系统中，系统开环传递函数为所示二阶系统中，系统开环传递函数为 ，式中，式中K K为开环增益为开环增益(zngy)(zngy)，为两个开环极点，没有开环零点。，为两个开环极点，没有开环零点。n n系统闭环传递函数系统闭环传递函数 n n闭环特征方程闭环特征方程 ，n n闭环特征根（闭环极点）闭环特征根（闭环极点）n n系统的根轨迹如图系统的根轨迹如图7.2-97.2-9所示。所示。图7.2-8某二阶系统图7.2-9图7.2-8系统的根轨迹第35页/共116页第三十五页，共116页。n n 稳定性：当开环增益稳定性：当开环增益K K由零变化到无穷大时，根轨迹始终在由零变化
27、到无穷大时，根轨迹始终在S S平面的平面的左半部左半部此系统对所有此系统对所有K 0 K 0 都是稳定的。都是稳定的。n n动态性能：动态性能：当当 0 K 0.5 0 K 0.5 K 0.5时，闭环特征根为负实部共轭复根，系统呈欠阻时，闭环特征根为负实部共轭复根，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程，而且超调量随尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程，而且超调量随 K K 值的增大而增值的增大而增大，但调节时间的变化不明显。大，但调节时间的变化不明显。n n 稳态误差：开环传递函数有个位于坐标原点的极点，即系统开环有稳态误差：开环传递函数有个位于坐标原点的极点，即系统开环有一个积分环节一个积分环
28、节(hunji)(hunji)，为，为I I型系统，能使阶跃作用下的稳态误差型系统，能使阶跃作用下的稳态误差 ess=0 ess=0；使斜坡作用下的静态速度误差系数；使斜坡作用下的静态速度误差系数 （即根轨迹上的（即根轨迹上的对应对应K K值），此时稳态误差为值），此时稳态误差为 。第36页/共116页第三十六页，共116页。n n2 2）根轨迹方程）根轨迹方程 n n图图7.2-107.2-10所示的控制系统，其闭环传递函数为所示的控制系统，其闭环传递函数为n n其闭环特征方程为其闭环特征方程为 n n。n n有有(7.2-33)(7.2-33)n n假设系统的开环传递函数有假设系统的开环传
29、递函数有mm个零点、个零点、n n个极点个极点(jdin)(jdin)，则，则 n nn n(7.2-34)(7.2-34)n n式式(7.2-34)(7.2-34)中，中，zi zi为开环零点，为开环零点，pipi为开环极点为开环极点(jdin)(jdin)，K*K*则为根则为根轨迹增益，与开环增益轨迹增益，与开环增益K K的关系为的关系为 n nn n或或。图7.2-10一般控制系统第37页/共116页第三十七页，共116页。n n根轨迹的幅值方程为根轨迹的幅值方程为 (7.2-35)(7.2-35)n n n n根轨迹的相角方程为根轨迹的相角方程为 (7.2-36)(7.2-36)n n
30、相角方程是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。幅值方程相角方程是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。幅值方程则主要是用来确定真正根轨迹上的则主要是用来确定真正根轨迹上的 si si 点所对应的根轨迹增益点所对应的根轨迹增益 K*K*或开环增益或开环增益 K K 值。值。n n2.2.绘制根轨迹的基本法则及根轨迹的绘制绘制根轨迹的基本法则及根轨迹的绘制n n绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 n n法则一：法则一：n n 条根轨迹条根轨迹 n n法则二：根轨迹对称于实轴法则二：根轨迹对称于实轴n n法则三：根轨迹的起始点与终止点：始于开环极点，止于法则三：根轨迹的起始点与终止点：始于开环极点，
31、止于n n 开环零点（开环零点（条根轨迹止于无穷远条根轨迹止于无穷远 ）n n法则四：实轴上的根轨迹区段（右侧法则四：实轴上的根轨迹区段（右侧(yu c)(yu c)奇数个零点、极奇数个零点、极点点 ）n n法则五：根轨迹的渐近线法则五：根轨迹的渐近线 第38页/共116页第三十八页，共116页。n n法则六：根轨迹的分离点与分离角法则六：根轨迹的分离点与分离角 n n法则七：根轨迹的起始法则七：根轨迹的起始(q(q sh sh)角与终止角（出射角与入射角）角与终止角（出射角与入射角）n n法则八：根轨迹与虚轴的交点法则八：根轨迹与虚轴的交点 由由n n法则九：闭环极点之和（根之和）法则九：闭
32、环极点之和（根之和）n n应用根之和法则时，一定要满足应用根之和法则时，一定要满足 的条件。的条件。可解出系统临界可解出系统临界(ln ji)(ln ji)稳定的稳定的 K K 值与值与 值。值。第39页/共116页第三十九页，共116页。n n3.3.根轨迹的绘制根轨迹的绘制n n例例7.2-28 7.2-28 若单位反馈系统的开环传递函数若单位反馈系统的开环传递函数 ，试绘制其闭环根轨迹。，试绘制其闭环根轨迹。n n解：由题解：由题p1=0p1=0，p2=-2p2=-2，z1=-3z1=-3，即，即 n=2 n=2，m=1m=1，n m n m=1=1，可知此系统只有，可知此系统只有(zh
33、(zh y y u)2 u)2 条根轨迹，实轴上的根轨迹条根轨迹，实轴上的根轨迹为为-2 -2，0 0 与（与（-，-2 -2 区段，标出根轨迹方向如图区段，标出根轨迹方向如图7.2-16 7.2-16 所示；所示；n n其中分离点的坐标由坐标方程确定，有其中分离点的坐标由坐标方程确定，有n n解得解得 图7.2-16 例7.2-28的根轨迹可证：凡有两个开环极点和一个开环零点的系统，其闭环根轨迹必有圆或圆弧；圆心(yunxn)为（z,0），半径为。第40页/共116页第四十页，共116页。例7.2-29若单反馈系统的开环，试概略绘制(huzh)其闭环根轨迹。图7.2-17 例7.2-29的根
34、轨迹解：由题可知(kzh)此系统有3条根轨迹，实轴上的根轨迹为-1，0与（-，-2区段，标出根轨迹方向后如图7.2-17所示；在P344例7.2-22中，已确定了此根轨迹的渐近线；在P346例7.2-24中，则确定了此根轨迹与虚轴的交点；下面还需确定分离点及分离角。视开环零点在远处(yunch)，对分离点d，有即，解得，不在根轨迹上，故取分离角则为至此，可完成此系统的闭环根轨迹如图7.2-17所示。，无开环零点，即n=3，m=0，n m=3，由于第41页/共116页第四十一页，共116页。n n4.4.广义根轨迹广义根轨迹n n1 1）参数根轨迹参数根轨迹n n按照开环增益按照开环增益K K或
35、根轨迹增益或根轨迹增益K*K*的变化绘制的根轨迹称为常规根的变化绘制的根轨迹称为常规根轨迹，而按照其它参数（时间常数、反馈系数等）的变化绘制的轨迹，而按照其它参数（时间常数、反馈系数等）的变化绘制的根轨迹则称为参数根轨迹。根轨迹则称为参数根轨迹。n n绘制参数根轨迹时，需按系统特征方程构造绘制参数根轨迹时，需按系统特征方程构造(guzo)(guzo)新系统，使新系统，使所选参量所选参量a a替代原根轨迹增益替代原根轨迹增益K*K*的位置，将原特征方程写成的位置，将原特征方程写成n n（7.2-477.2-47）n n例例7.2-317.2-31若系统开环传递函数若系统开环传递函数试绘制以试绘制
36、以 TT为参变量的闭环根轨迹。为参变量的闭环根轨迹。n n解：由题，原系统特征方程为解：由题，原系统特征方程为考虑考虑nmnm的限制，应将特征方程中不含的限制，应将特征方程中不含TT的项作为新系统开环传递函数的项作为新系统开环传递函数的分子，而把含的分子，而把含TT的项作为新系统开环传递函数的分母，即有的项作为新系统开环传递函数的分母，即有第42页/共116页第四十二页，共116页。n n可画出可画出 变化时的参量根轨迹变化时的参量根轨迹(gu(gu j)j)，如图，如图7.2-197.2-19所示。所示。n n2 2）多回路系统的参数根轨迹多回路系统的参数根轨迹(gu(gu j)j)n n绘
37、制多回路系统的参数根轨迹绘制多回路系统的参数根轨迹(gu(gu j)j)时，可以先求出多回路系统的时，可以先求出多回路系统的总开环传递函数，再根据特征方程得到式（总开环传递函数，再根据特征方程得到式（7.2-477.2-47）的形式，最后绘制）的形式，最后绘制出多回路系统的根轨迹出多回路系统的根轨迹(gu(gu j)j)；也可以由内而外逐层完成。；也可以由内而外逐层完成。图7.2-19例7.2-31系统的参数根轨迹可求出新系统(xtng)的两个开环零点与三个开环极点分别为改变(gibin)图7.2-19中箭头的方向，即得到如图7.2-19中的空心箭头所示。变化时的参量根轨迹，第43页/共116
38、页第四十三页，共116页。n n3 3）正反馈回路的根轨迹）正反馈回路的根轨迹n n对于正反馈系统，其闭环特征方程对于正反馈系统，其闭环特征方程(fngchng)(fngchng)为为n n （7.2-487.2-48）n n根轨迹方程根轨迹方程(fngchng)(fngchng)为为 （7.2-497.2-49）n n对应幅值方程对应幅值方程(fngchng)(fngchng)为为 （7.2-507.2-50）n n相角方程相角方程(fngchng)(fngchng)为为 （7.2-517.2-51）n n正反馈回路的根轨迹常被称为正反馈回路的根轨迹常被称为 0 0根轨迹，而负反馈回路的根轨
39、迹根轨迹，而负反馈回路的根轨迹则称为则称为180180根轨迹。根轨迹。n n经过修改后的有关法则变为经过修改后的有关法则变为n n法则四：实轴上的根轨迹区段法则四：实轴上的根轨迹区段 n n实轴上某区段存在根轨迹的条件是其右侧开环零点与开环极点的实轴上某区段存在根轨迹的条件是其右侧开环零点与开环极点的数目之和为偶数。数目之和为偶数。第44页/共116页第四十四页，共116页。n n法则五：根轨迹的渐进线法则五：根轨迹的渐进线n nn m n m 根轨迹趋向根轨迹趋向(qxing)(qxing)无穷远处的渐近线与正实轴的夹角无穷远处的渐近线与正实轴的夹角为为n n （7.2-527.2-52）n
40、 n法则六：根轨迹的起始角与终止角法则六：根轨迹的起始角与终止角n n起始角为起始角为 （7.2-537.2-53）n n终止角为终止角为 （7.2-547.2-54）而渐近线与实轴交点(jiodin)的计算公式则仍然不变。第45页/共116页第四十五页，共116页。7.2.5 7.2.5 利用根轨迹分析系统利用根轨迹分析系统利用根轨迹分析系统利用根轨迹分析系统(xt(xt ng)ng)的性的性的性的性能能能能 n n1.1.系统系统(xt(xt ng)ng)闭环零、极点分布与系统闭环零、极点分布与系统(xt(xt ng)ng)性能的关系性能的关系第46页/共116页第四十六页，共116页。n
41、 n2.2.主导极点与偶极子的概念主导极点与偶极子的概念n n主导极点：对系统的动态性能起着决定主导极点：对系统的动态性能起着决定(judng)(judng)作用的极点即为主导极点。作用的极点即为主导极点。n n离虚轴最近的闭环极点（复数极点或实数极点）能够对系统的动态性能产生主离虚轴最近的闭环极点（复数极点或实数极点）能够对系统的动态性能产生主导作用，故成为系统的主导极点；而离虚轴较远的其它闭环极点，对系统的动导作用，故成为系统的主导极点；而离虚轴较远的其它闭环极点，对系统的动态性能影响不大，往往允许忽略，这些次要极点离虚轴的距离一般比主导极点态性能影响不大，往往允许忽略，这些次要极点离虚轴
42、的距离一般比主导极点离虚轴的距离大离虚轴的距离大 5 5 倍以上。有时甚至对于只比主导极点离虚轴的距离大倍以上。有时甚至对于只比主导极点离虚轴的距离大 2 23 3倍倍的次要极点亦可忽略不计。的次要极点亦可忽略不计。n n偶极子：一对挨得很近的闭环零、极点即为偶极子。偶极子：一对挨得很近的闭环零、极点即为偶极子。n n可以认为，偶极子中闭环极点对系统性能的影响，完全被偶极子中的闭环零点可以认为，偶极子中闭环极点对系统性能的影响，完全被偶极子中的闭环零点抵消了。抵消了。n n例如，某单位反馈系统的闭环传递函数为例如，某单位反馈系统的闭环传递函数为 n n有有n=4 n=4，m=1 m=1，且，且
43、 ，；在分析其动；在分析其动态性能时，可认为态性能时，可认为 s3 s3 与与 z1 z1 构成了偶极子，构成了偶极子，s4 s4 为允许忽略的次要极点，为允许忽略的次要极点，共轭极共轭极点则成为主导极点。因此，可将此四阶闭环系统近似成闭环传递函数为点则成为主导极点。因此，可将此四阶闭环系统近似成闭环传递函数为 的二阶系统，使系统的分析计算(jsun)简化。第47页/共116页第四十七页，共116页。n n3.3.利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能n n系统的根轨迹分析主要包括：系统的稳定性分析；利用主导极点与系统的根轨迹分析主要包括：系统的稳定性分析；利用主导极点与偶极子的概念
44、把高阶系统近似为一、二阶系统；定性分析参数变化偶极子的概念把高阶系统近似为一、二阶系统；定性分析参数变化对近似的一、二阶系统的性能的影响，并定量估算系统的性能指标；对近似的一、二阶系统的性能的影响，并定量估算系统的性能指标；或者按照系统性能指标的要求，确定主导极点及其对应的或者按照系统性能指标的要求，确定主导极点及其对应的 K*K*值；必值；必要时可以通过配置附加闭环零点产生新的偶极子，以确保系统性能要时可以通过配置附加闭环零点产生新的偶极子，以确保系统性能指标要求的实现。指标要求的实现。n n1 1）系统的稳定性分析）系统的稳定性分析n n 利用系统稳定的数学条件利用系统稳定的数学条件 ，可
45、以由系统根轨迹，可以由系统根轨迹 n n 直接进行系统的稳定性分析。直接进行系统的稳定性分析。n n2 2）参数变化对系统性能影响的定性分析）参数变化对系统性能影响的定性分析n n系统的根轨迹绘制完成后，就可以通过根轨迹定性分析参数变化对系统的根轨迹绘制完成后，就可以通过根轨迹定性分析参数变化对系统性能的影响。一般存在系统性能的影响。一般存在(cnzi)(cnzi)单调衰减、单调发散、衰减振荡、单调衰减、单调发散、衰减振荡、发散振荡、等幅振荡等情况；发散振荡、等幅振荡等情况；在s平面(pngmin)上的位置，第48页/共116页第四十八页，共116页。n n 单调衰减单调衰减n n 单调发散单
46、调发散n n 衰减振荡衰减振荡n n 发散振荡发散振荡n n 等幅振荡等幅振荡n n3 3）系统性能指标的定量估算）系统性能指标的定量估算n n利用主导极点与偶极子的概念把高阶系统近似为一、二阶系利用主导极点与偶极子的概念把高阶系统近似为一、二阶系统后，不仅可以按近似的一、二阶系统进行定性分析，而且统后，不仅可以按近似的一、二阶系统进行定性分析，而且可以直接按一、二阶系统的有关公式进行调节时间可以直接按一、二阶系统的有关公式进行调节时间(shjin)(shjin)、峰值时间峰值时间(shjin)(shjin)与超调量的定量估算；如果把高阶系统按三与超调量的定量估算；如果把高阶系统按三阶系统近似
47、并估算性能指标，则可以减少近似误差。阶系统近似并估算性能指标，则可以减少近似误差。n n4 4）附加闭环零点的配置）附加闭环零点的配置n n 配置附加闭环零点的目的应是针对闭环系统的坏极点配置附加闭环零点的目的应是针对闭环系统的坏极点靠靠近虚轴或原点的闭环极点，使附加零点与之构成偶极子，以近虚轴或原点的闭环极点，使附加零点与之构成偶极子，以削弱甚至完全抵消这种坏极点对系统动态性能的恶劣影响。削弱甚至完全抵消这种坏极点对系统动态性能的恶劣影响。n n 要配置附加闭环零点而不是开环零点。要配置附加闭环零点而不是开环零点。主导极点离原点越远，动态衰减越快，系统的快速性越好；闭环极点 为正实根，系统瞬
48、态响应将是单调发散的；根轨迹在s左半平面内，必共轭，瞬态响应呈衰减振荡；在s右半平面有轨迹，含正实部，响应将呈发散振荡；共轭，轨迹在虚轴时，为共轭虚根，瞬态响应将呈临界等幅振荡。第49页/共116页第四十九页，共116页。例7.2-35试由例7.2-31的参量根轨迹，分析系统的动态性能。解：下面主要分析T参数变化对该系统性能的影响。在构造新系统前、后的系统结构图可分别(fnbi)用图7.2-28a.与图7.2-28b.表示。图7.2-28构造新系统前、后的系统结构图由图7.2-28可知，原系统并没有开环零点与闭环零点，因此，构造(guzo)新系统后产生的两个开环零点对照图7.2-19中新系统的
49、参变量根轨迹，可知当参变量T0且为有限值时，系统是稳定的；当根轨迹与最佳阻尼线相交时，系统可等效为二阶，具有较好的动态性能；而当T增大到一定值后，由于原系统没有闭环零点，因此无法产生(chnshng)偶极子，所以靠近（即原点）的闭环极点将成为主导极点，系统动态性能将很差。肯定不是原系统的闭环零点。图7.2-28a.中，T正是惯性时间常数，如果太大，系统动态性能肯定很差。第50页/共116页第五十页，共116页。n n 根轨迹分析的试探法根轨迹分析的试探法 n n根轨迹分析的试探法是一种常用的方法，一般分两步完成。根轨迹分析的试探法是一种常用的方法，一般分两步完成。n n首先由相方程试探并确认所
50、期望的闭环极点是否在真正的根轨迹首先由相方程试探并确认所期望的闭环极点是否在真正的根轨迹上。只有完全满足相方程的点才在真正的根轨迹上。上。只有完全满足相方程的点才在真正的根轨迹上。n n接着就可以应用模方程进一步确定接着就可以应用模方程进一步确定(qudng)(qudng)这些满足相方程的点这些满足相方程的点所对应的根轨迹增益所对应的根轨迹增益 K*K*或开环增益或开环增益K K 的值。的值。例7.2-35若系统(xtng)开环传递函数如图7.2-29，其所示，试确定(qudng)满足阻尼比时的K*值。图7.2-29例7.2-35的根轨迹根轨迹解：利用在图7.2-29中画出迹相交，阻尼线与根轨