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1、会计学1有限有限(yuxin)差分法解热传导问题差分法解热传导问题第一页，共26页。傅里叶定律：在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积(min j)，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。基本概念基本概念第1页/共26页第二页，共26页。导热(dor)微分方程：基本概念基本概念第2页/共26页第三页，共26页。定解条件(tiojin)：使微分方程获得适合某一问题的的解的附加条件(tiojin)。基本概念基本概念第3页/共26页第四页，共26页。边界条件：基本概念基本概念第4页/共26页第五页，共26页。NDSolveDux,t,t=Dux
2、,t,x,2,ux,0=x*(1-x),u0,t=0,u1,t=0,u,x,0,1,t,0,0.3NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2+x,ux,0=x*(1-x),u0,t=0,u1,t=0,u,x,0,1,t,0,0.3第5页/共26页第六页，共26页。NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2,ux,0=Sinx*Sinx,Derivative1,0u0,t=0,Derivative1,0uPi,t=0,u,x,0,Pi,t,0,1第6页/共26页第七页，共26页。NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2,ux,0=-x*(1-x),Derivative1,0u
3、0,t=0,Derivative1,0u1,t=3-u1,t,u,x,0,1,t,0,0.3第7页/共26页第八页，共26页。传热传热(chun r)问题的数学求解问题的数学求解建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场是否第8页/共26页第九页，共26页。传热问题传热问题(wnt)的数学求解的数学求解xynm(m,n)MN第9页/共26页第十页，共26页。泰勒(ti l)级数展开法：建立建立(jinl)离散方程离散方程第10页/共26页第十一页，共26页。建立建立(jinl)离散方程离散方程 若
4、取上面式右边的前三项，并将两式相加移项若取上面式右边的前三项，并将两式相加移项若取上面式右边的前三项，并将两式相加移项若取上面式右边的前三项，并将两式相加移项(y xin(y xin)整理即二阶导数的中心差分：整理即二阶导数的中心差分：整理即二阶导数的中心差分：整理即二阶导数的中心差分：同样可得：同样可得：同样可得：同样可得：第11页/共26页第十二页，共26页。建立建立(jinl)离散方程离散方程对于二维稳态导热问题对于二维稳态导热问题(wnt)，在直角坐标中，其导热，在直角坐标中，其导热微分方程为：微分方程为：其节点方程为：其节点方程为：第12页/共26页第十三页，共26页。热平衡法建立离
5、散建立离散(lsn)方程方程基本思想：对每个有限大小的控制容积应用基本思想：对每个有限大小的控制容积应用(yngyng)能量守能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的增量流出控制体的总热流量控制体内能的增量第13页/共26页第十四页，共26页。建立离散建立离散(
6、lsn)方程方程内部(nib)节点：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)x x y y(m,n+1)第14页/共26页第十五页，共26页。建立建立(jinl)离散方程离散方程第15页/共26页第十六页，共26页。171.1.边界节点离散方程边界节点离散方程(fngchng)(fngchng)的建立：的建立：qwxyqw(1)平直平直(pn zh)边界上的节点边界上的节点第16页/共26页第十七页，共26页。18(2)外部外部(wib)角点角点xyqw第17页/共26页第十八页，共26页。19(3)内部内部(nib)角点角点xyqw第18页/共26页第十九页，共26页。写出
7、所有内节点和边界节点的温度写出所有内节点和边界节点的温度(wnd)差分方程差分方程n个未知节点温度个未知节点温度(wnd)，n个代数方程式：个代数方程式：第19页/共26页第二十页，共26页。GaussSeidel迭代迭代(di di)第20页/共26页第二十一页，共26页。GaussSeidel迭代迭代(di di)第21页/共26页第二十二页，共26页。GaussSeidel迭代迭代(di di)第22页/共26页第二十三页，共26页。200100100Tf=0 k=1W/(m*K)h=10W/(m2*)(qw=h*(Tw-Tf)t1t2t3t18t17t16第23页/共26页第二十四页，
8、共26页。Ax=bb=300,200,200,300,100,0,0,100,100,0,0,100,100,0,0,100,0,0 x=t1,t2,t3,.t18第24页/共26页第二十五页，共26页。偏微分方程偏微分方程(wi fn fn chn)工具箱工具箱Step 1“Draw模式”绘制平面有界区域，通过公式(gngsh)把Matlab系统提供的实体模型：矩形、圆、椭圆和多边形，组合起来，生成需要的平面区域.Step 2“Boundary模式”定义边界，声明不同边界段的边界条件.Step 3“PDE模式”定义偏微分方程，确定方程类型和方程系数c,a,f,d，根据具体情况，还可以在不同子
9、区域声明不同系数.Step 4“Mesh模式”网格化区域，可以控制自动生成网格的参数，对生成的网格进行多次细化，使网格分割更细更合理.Step 5“Solve模式”解偏微分方程，对于椭圆型方程可以激活并控制非线性自适应解题器来处理非线性方程；对于抛物线型方程和双曲型方程，设置初始边界条件后可以求出给定时刻t的解；对于特征值问题，可以求出给定区间上的特征值.求解完成后，可以返回到Step 4，对网格进一步细化，进行再次求解.Step 6“View模式”计算结果的可视化，可以通过设置系统提供的对话框，显示所求的解的表面图、网格图、等高线图和箭头梯形图.对于抛物线型和双曲线型问题的解还可以进行动画演示.第25页/共26页第二十六页，共26页。