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1、会计学1所有所有(suyu)分类数字图像处理分类数字图像处理第一页，共185页。3.1 离散离散(lsn)傅立叶变换傅立叶变换图3-1任意(rny)波形可分解为正弦波的加权和傅里叶变换在图像处理中的应用：图像特征提取；空间频率与滤波(lb)；图像恢复；纹理分析。第2页/共185页第二页，共185页。图3-2正弦波的振幅(zhnf)A和相位第3页/共185页第三页，共185页。图3-3图3-1（a）波形(bxn)的频域表示(a)幅频特性；(b)相频特性第4页/共185页第四页，共185页。时域和频域之间的变换可用数学公式表示(biosh)如下：为能同时表示信号的振幅(zhnf)和相位，通常采用复
2、数表示法，因此式（3-1）可用复数表示为完成这种变换，一般(ybn)采用的方法是线性正交变换。(3-1)(3-2)第5页/共185页第五页，共185页。一、连续函数的傅立叶变换一、连续函数的傅立叶变换 若若把把一一个个一一维维输输入入信信号号作作一一维维傅傅立立叶叶变变换换，该该信信号号就就被被变变换换到到频频域域上上的的一一个个信信号号，即即得得到到了了构构成成该该输输入入信信号号的的频频谱谱，频频谱谱反反映映了了该该输输入入信信号号由由哪哪些些频频率率构构成成。这这是是一一种种分分析析与与处处理理一一维维信信号号的重要手段。的重要手段。当一个一维信号当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，
3、即满足狄里赫莱条件，即f(x)（1）具有有限个间断点；具有有限个间断点；（2）具有有限个极值具有有限个极值(j zh)点；点；（3）绝对可积。绝对可积。第6页/共185页第六页，共185页。则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以(ky)满足的。一维傅立叶变换对的定义为(3-3)(3-4)式中：，x称为时域变量，u称为频域变量。第7页/共185页第七页，共185页。以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x,y)满足(mnz)狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为(3-5)(3-6)式中：x,y为时域变量(binling)；u,v为频
4、域变量(binling)。第8页/共185页第八页，共185页。二、二、离散傅立叶变换离散傅立叶变换 要要在在数数字字图图像像处处理理中中应应用用傅傅立立叶叶变变换换，还还需需要要解解决决两两个个问问题题：一一是是在在数数学学中中进进行行傅傅立立叶叶变变换换的的f(x)为为连连续续（模模拟拟）信信号号，而而计计算算机机处处理理的的是是数数字字信信号号（图图像像数数据据）；二二是是数数学学上上采采用用无无穷穷大大概概念念(ginin)，而而计计算算机机只只能能进进行行有有限限次次计计算算。通通常常，将将受受这这种种限限制制的的傅傅立立叶叶变变换换称称为为离离散散傅傅立立叶叶变变换换（Discre
5、te Fourier Transform，DFT)。设设f(x)|f(0),f(1),f(2),f(N-1)为为一一维维信信号号f(x)的的N个个抽抽样，样，其离散傅立叶变换对为其离散傅立叶变换对为 第9页/共185页第九页，共185页。（3-7)(3-8)式中：x，u=0，1，2，,N1。注：式（3-8）中的系数1/N也可以放在式（3-7）中，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。第10页/共185页第十页，共185页。由欧拉公式(gngsh)可知(3-9)将式（3-9）代入式（3-7），并利用(lyng)cos()=cos()
6、，可得(3-10)可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个(y)离散的序列，每一个(y)u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个(y)f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。第11页/共185页第十一页，共185页。通常傅立叶变换(binhun)为复数形式，即(3-11)式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。式(3-11)也可表示成指数(zhsh)形式：F(u)=|F(u)|ej(u)(7-12)其中(qzhng)(3-13)(3-14)第12页/共185页第十二页，共185页。通常称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，(u
7、)为f(x)的相位谱。频谱的平方称为(chnwi)能量谱或功率谱，它表示为(3-15)考虑到两个变量，就很容易(rngy)将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对定义为(3-16)(3-17)第13页/共185页第十三页，共185页。式中：u,x=0,1,2,M-1；v,y=0,1,2,N-1；x,y为时域变量，u,v为频域变量。像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数，只要两式系数的乘积等于1MN即可。二维离散函数(hnsh)的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为(3-18)(3-19)(3-20)式中，R(u,v)和I(u,
8、v)分别(fnbi)是F(u,v)的实部和虚部。第14页/共185页第十四页，共185页。例题：求一维离散例题：求一维离散例题：求一维离散例题：求一维离散(lsn)(lsn)序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换n nf(1f(1，2 2，3 3，4)4)序列序列(xli)(xli)长度长度NN4 4n n利用公式：利用公式：第15页/共185页第十五页，共185页。第16页/共185页第十六页，共185页。第17页/共185页第十七页，共185页。第18页/共185页第十八页，共185页。例如：求二维离散傅立叶变换其傅立叶变换FA为：解：利用(lyng)公式：其中(
9、qzhng)：M=N=3,x=0,1,2;y=0,1,2;u=0,1,2v=0,1,2第19页/共185页第十九页，共185页。第20页/共185页第二十页，共185页。同样(tngyng)算法，可求得FA为：F的幅值和相位(xingwi)分别为第21页/共185页第二十一页，共185页。能量(nngling)谱为：第22页/共185页第二十二页，共185页。三、离散三、离散三、离散三、离散(lsn)(lsn)傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n n1 1、线性性质、线性性质(xngzh)(xngzh)：2、比例(bl)性质：3、可分离性：第23页/共185页第二
10、十三页，共185页。二维傅立叶变换(binhun)可以分解成两步进行，每一步都是一个一维傅立叶变换(binhun)，先对f(x,y)按行进行傅立叶变换(binhun)得到F(x,v)，再对F(x,v）按列进行傅立叶变换(binhun)，得到F(u,v)。第24页/共185页第二十四页，共185页。4、空间(kngjin)位移5、平移(pny)性质频率(pnl)位移图像中心化第25页/共185页第二十五页，共185页。只要(zhyo)将f(x,y)乘以(-1)x+y,再进行DFT，即可将图像频谱原点移动到图像中心（M/2,N/2)原图像无平移的傅立叶频谱平移后的傅立叶频谱图3-4 傅立叶平移(p
11、n y)频谱第26页/共185页第二十六页，共185页。6、周期性：7、共轭对称性：8、旋转(xunzhun)不变性第27页/共185页第二十七页，共185页。由旋转不变性可知，如果(rgu)时域中离散函数旋转0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。(a)(b)(d)(c)（a）原始(yunsh)图像；（b）原始(yunsh)图像的傅立叶频谱；（c）旋转45后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱 图3-5傅立叶旋转(xunzhun)频谱第28页/共185页第二十八页，共185页。表表3-1二维离散二维离散(lsn)傅立叶变换的性质傅立叶变
12、换的性质第29页/共185页第二十九页，共185页。第30页/共185页第三十页，共185页。n n1、傅立叶变换的缺点(qudin)计算量过于庞大。四 快速(kui s)傅立叶变换第31页/共185页第三十一页，共185页。(321)(322)例如例如:一幅一幅MNMN的图像的图像(t xin)(t xin)要进行要进行DFTDFT，需要进行，需要进行M2N2M2N2次复数乘法，次复数乘法，MN(M-1)(N-1)MN(M-1)(N-1)次复数加法。一幅次复数加法。一幅512512512512的图的图像像(t xin)(t xin)要进行要进行700700亿次计算。处理后再反变换又要进亿次计
13、算。处理后再反变换又要进行行700700亿次计算。亿次计算。第32页/共185页第三十二页，共185页。l时域分组：将时域分组：将W中把中把x不断不断(bdun)分解为奇偶表达分解为奇偶表达式；式；l频域分组：将频域分组：将u不断不断(bdun)分解为奇偶表达式。分解为奇偶表达式。19651965年年 Cooly Cooly 和和TukeyTukey 提出逐次提出逐次(zh c)(zh c)加倍的加倍的FFTFFT，要求，要求NN是是2 2的整数次幂。的整数次幂。2 2、快速、快速(kui s)(kui s)傅立叶变换（傅立叶变换（FFT)FFT)的原理的原理N N2n2n第33页/共185页
14、第三十三页，共185页。二维DFT可通过两次一维DFT完成(wnchng)，讨论一维DFT它对N的要求有一定的限制，通常N取成2r,其中r是正整数为了更加直观，引进记号，称为(chn wi)旋转因子，。傅立叶变换可以(ky)表示为：第34页/共185页第三十四页，共185页。一维傅立叶变换用矩阵(jzhn)的形式表示为：Wux构成(guchng)的矩阵称系数矩阵。W是以N为周期的，许多系数是相同的，只需计算一次。且W具有对称性；第35页/共185页第三十五页，共185页。可以(ky)进一步减少工作量。例如：N=4 第36页/共185页第三十六页，共185页。由W的周期性得：W4W0，W6W2，
15、W9W1；再由W的对称性可得：W3W1，W2W0。第37页/共185页第三十七页，共185页。可见N=4的W阵中只需计算W0和W1两个系数即可。这说明W阵的系数有许多计算工作是重复的，如果把一个离散序列分解成若干短序列，并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简化运算过程，这就是FFT的基本(jbn)思想。设N为2的正整数次幂，即 如令M为正整数，且 N=2M 第38页/共185页第三十八页，共185页。离散(lsn)傅立叶变换可改写成如下形式：由旋转因子W的定义(dngy)可知 现定义(dngy)第39页/共185页第三十九页，共185页。进一步考虑W的对称性和周期性
16、可知和，于是由此，可将一个N点的离散傅立叶变换(binhun)分解成两个N2短序列的离散傅立叶变换(binhun)，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换(binhun)Fe(u)和Fo(u)。第40页/共185页第四十页，共185页。在此，以计算(j sun)N=8的DFT为例，此时n=3，M=4。第41页/共185页第四十一页，共185页。u取07时的F(u)、Fe(u)和Fo(u)的关系可用图7-7描述。左方的两个节点为输入节点，代表输入数值；右方两个节点为输出节点，表示输入数值的叠加，运算由左向右进行。线旁的W18和W18为加权系数，定义由F(1)、F(5)、Fe(1)和Fo(1)所构
17、成(guchng)的结构为蝶形运算单元,其表示的运算为 第42页/共185页第四十二页，共185页。蝶形运算(ynsun)单元第43页/共185页第四十三页，共185页。由于Fe(u)和Fo(u)都是4点的DFT，因此，如果(rgu)对它们再按照奇偶进行分组，则有（324a）（324b）第44页/共185页第四十四页，共185页。4点DFT分解(fnji)为2点DFT的蝶形流程图第45页/共185页第四十五页，共185页。8点DFT的蝶形流程图第46页/共185页第四十六页，共185页。8点DFT逐级分解框图(kungt)第47页/共185页第四十七页，共185页。表表3-2 自然顺序自然顺序
18、(shnx)与码位倒序（与码位倒序（N=8）第48页/共185页第四十八页，共185页。上述FFT是将f(x)序列按x的奇偶(qu)进行分组计算的，称之为时间抽选FFT。如果将频域序列的F(u)按u的奇偶(qu)进行分组计算，也可实现快速傅立叶计算，这称为频率抽选FFT。第49页/共185页第四十九页，共185页。n n请用蝶形算法演算(yn sun)一维离散傅立叶变换.第50页/共185页第五十页，共185页。第51页/共185页第五十一页，共185页。五、五、五、五、MATLABMATLAB中快速中快速中快速中快速(kui s)(kui s)傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换的实现的
19、实现的实现的实现n nMATLABMATLAB中，矩阵函数的下标是从中，矩阵函数的下标是从1 1开始，因此开始，因此F(1,1)F(1,1)代表代表F(0,0)F(0,0)，f(1,1)f(1,1)代表代表f(0,0)f(0,0)n nMATLABMATLAB中提供以下中提供以下(y(y xi)xi)图像处理函数图像处理函数n n1 1、fft2 fft2 用来计算快速傅立叶变换，其格式为：用来计算快速傅立叶变换，其格式为：n nF=fft2(f)F=fft2(f)n nF=fft2(f,m,n)F=fft2(f,m,n)n n截去或补充截去或补充0 0元素，使图像的大小为元素，使图像的大小为
20、mnmn，然后，然后进行进行fftfft。fft2fft2所需时间与所需时间与m,n=size(f)m,n=size(f)有关，当有关，当mm，n n为为2 2的幂，则计算速度快。的幂，则计算速度快。第52页/共185页第五十二页，共185页。例如：Imshow(A);F=fft2(A);Figure;Imshow(log(abs(F);2、ifft2用来计算快速(kuis)傅立叶反变换，其格式为：F=ifft2(f)F=ifft(f,m,n)第53页/共185页第五十三页，共185页。3、fftn用来(ynli)计算多维傅立叶变换的函数，语法格式为：F=fftn(f)F=fftn(f,siz
21、e)4、ifftn用来(ynli)计算多维傅立叶反变换的函数，语法格式为：F=ifftn(f)F=ifftn(f,size)第54页/共185页第五十四页，共185页。5、fftshift用于将直流分量移到频谱中心，常用于fft的可视化F=fftshift(f)6、freqz2它可以(ky)同时计算和显示线形过滤器的频率响应。例如：laplace过滤器h=fspecial(laplacian);mesh(freqz2(h);xlabel(frequency);ylabel(frequency);zlabel(magnitude)第55页/共185页第五十五页，共185页。图3-6a 原图(yu
22、n t)六、图像(t xin)傅立叶变换的频谱分布第56页/共185页第五十六页，共185页。图3-6b 傅立叶变换(binhun)后得到幅值分布图第57页/共185页第五十七页，共185页。图3-6c 将低频(dpn)直流成分移动到图像中心得到幅值图像，第58页/共185页第五十八页，共185页。图3-6d 相位(xingwi)图像第59页/共185页第五十九页，共185页。图3-6e将幅值图像(txin)设为常数进行反变换后的图像(txin)第60页/共185页第六十页，共185页。图3-6f忽略(hl)相角图像，将其设置为零，反变换后的图像第61页/共185页第六十一页，共185页。u分
23、析频谱分布：u从图b来看，变换结果四个角的周围对应低频成分，中央对应于高频成分。为了分析方便，采用换位方法使低频直流成分出现在变换结果图像的中央。如图c。反变换时再进行换位。换位称为(chnwi)光学傅立叶变换。下图为二维FFT频率成分分布示意图第62页/共185页第六十二页，共185页。变换之后，必须由幅值图和相位图共同重建图像。图e将幅值图像设为常数进行反变换后的图像，能够辨认出物体的轮廓，图f，忽略相角图像，将其设置(shzh)为零，反变换后的图像，几乎看不出与原图的关系。傅立叶变换的统计特征（1）、直流成分均值亮度平均值：第63页/共185页第六十三页，共185页。当采用相同的标度(b
24、io d)数1/N时，傅立叶变换原点的频谱分量为：频谱的直流分量N倍于亮度平均值，使用高通滤波器F(0,0)会衰减(shuijin)。而对比度拉伸可以缓和衰减(shuijin)。第64页/共185页第六十四页，共185页。（2）、能量谱对称于原点，变换前后保持不变。（3）、旋转图像旋转一个(y)角度，频谱旋转相同的角度。（4）、投影f(x,y)投影到x轴上得到：傅立叶变换(binhun)为：第65页/共185页第六十五页，共185页。f(x,y)在x，轴上的投影(tuyng)的变换即为F(u,v)在u轴上的取值。f(x,y)在某一与x轴成角的直线上的投影(tuyng)的傅立叶变换正好等于F(u
25、,v),沿与u轴成角的直线上的取值。第66页/共185页第六十六页，共185页。3.2 二维离散二维离散(lsn)余弦变换（余弦变换（DCT）离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质(xngzh)外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外，DCT还是一种可分离的变换。第67页/共185页第六十七页，共185页。一、一、一维离散
26、余弦变换一维离散余弦变换(binhun)一维一维DCT的变换的变换(binhun)核定义为核定义为 式中，x,u=0,1,2,N1；一维DCT定义(dngy)如下：设f(x)|x=0,1,N-1为离散的信号列。)式中，u,x=0,1,2,N1。（3-25）；第68页/共185页第六十八页，共185页。将变换(binhun)式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即F=Gf 其中(qzhng)第69页/共185页第六十九页，共185页。一维DCT的逆变换IDCT定义(dngy)为式中，x,u=0,1,2,N1。可见一维DCT的逆变换(binhun)核与正变换(binhun)核是相同的。第70页/共18
27、5页第七十页，共185页。二、二维离散余弦变换二、二维离散余弦变换 考考虑虑到到两两个个变变量量(binling)，很很容容易易将将一一维维DCT的的定定义义推广到二维推广到二维DCT。其正变换核为。其正变换核为 式中，C(u)和C(v)的定义同式（3-25）；x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。二维DCT定义如下(rxi)：设f(x,y)为MN的数字图像矩阵，则第71页/共185页第七十一页，共185页。式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。二维DCT逆变换定义(dngy)如下：式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。类似(lis)一维矩
28、阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：F=GfGT第72页/共185页第七十二页，共185页。同时，由上式可知二维DCT的逆变换(binhun)核与正变换(binhun)核相同，且是可分离的，即式中：C(u)和C(v)的定义(dngy)同式（3-25）；x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。第73页/共185页第七十三页，共185页。通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程(lichng)与DFT类似，即第74页/共185页第七十四页，共185页。三、三、快速离散余弦变换快速离散余弦变换 离离散散余余弦弦变变换换的的计计算算量量相相当当大大，在
29、在实实用用中中非非常常不不方方便便，也也需需要要研研究究相相应应的的快快速速算算法法。目目前前(mqin)已已有有多多种种快快速速DCT（FCT），在在此此介介绍绍一一种由种由FFT的思路发展起来的的思路发展起来的FCT。首先，将首先，将f(x)延拓为延拓为 x=0,1,2,N-1x=N，N+1,2N-1按照(nzho)一维DCT的定义，fe(x)的DCT为第75页/共185页第七十五页，共185页。式中，Re表示(biosh)取复数的实部。第76页/共185页第七十六页，共185页。由于为fe(x)的2N点DFT。因此，在作DCT时，可把长度为N的f(x)的长度延拓为2N点的序列fe(x)，
30、然后对fe(x)作DFT，最后取DFT的实部便可得到DCT的结果。同理对于离散(lsn)余弦逆变换IDCT，可首先将F(u)延拓为u=0,1,2,N-1u=N,N+1,2N-1第77页/共185页第七十七页，共185页。由式(7-52)可得，DCT的IDCT为由上式可见，IDCT可由的2N点的IDFT来实现。第78页/共185页第七十八页，共185页。最后(zuhu)要注意的是二维DCT的频谱分布，其谱域分布与DFT相差一倍，如图3-8所示。从图中可以看出，对于DCT而言，(0,0)点对应于频谱的低频成分，(N-1,N-1)点对应于高频成分，而同阶的DFT中，(N2,N2)点对应于高频成分（注
31、：此频谱图中未作频谱中心平移）。由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它们实现快速DCT和IDCT算法FCT及IFCT。不过，由于FFT及IFFT中要涉及到复数运算，因此这种FCT及IFCT算法并不是最佳的。第79页/共185页第七十九页，共185页。图3-8DFT和DCT的频谱分布(fnb)（a）DFT频谱分布(fnb)；（b）DCT频谱分布(fnb)第80页/共185页第八十页，共185页。二、离散余弦变换在图像处理二、离散余弦变换在图像处理二、离散余弦变换在图像处理二、离散余弦变换在图像处理(t xin(t xin ch ch l l)中的作用中的作用中的作用中的作用
32、在图像编码中的作用 JPEG优势：信息集中(jzhng)能力强第81页/共185页第八十一页，共185页。三、离散三、离散三、离散三、离散(lsn)(lsn)余弦变换的余弦变换的余弦变换的余弦变换的matlabmatlab实现实现实现实现1 1、dct2dct2B=dct2(IB=dct2(I）B=dct2(A,m,n)B=dct2(A,m,n)使使A A成为成为(chngwi)mn(chngwi)mn大小的矩阵，大小的矩阵，B B与与A A同同B=dct2(A,m,n)B=dct2(A,m,n)2 2、例：、例：A=imread(ice.fig)A=imread(ice.fig)figure
33、 figure subplot(1,2,1);imshow(A)subplot(1,2,1);imshow(A)B=dct2(A B=dct2(A）subplot(1,2,2);imshow(log(abs(B)subplot(1,2,2);imshow(log(abs(B)第82页/共185页第八十二页，共185页。2 2、idct2 idct2 格式与格式与格式与格式与dct2dct2相同相同相同相同(xin(xin tn tn)3 3、dctmtx dctmtx 反回反回反回反回dctdct变换阵变换阵变换阵变换阵B=dctmtx(N)n=8/16B=dctmtx(N)n=8/16例：利
34、用例：利用(lyng)dct(lyng)dct变换实现图像压变换实现图像压缩缩I=imread(ice.tif);I=im2double(I)I=imread(ice.tif);I=im2double(I)x=dctmtx(8)x=dctmtx(8)B=blkproc(I,8,8,P1*P2B=blkproc(I,8,8,P1*P2，x,x)x,x)mask=1 1 1 1 0 0 0 0 mask=1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
35、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C=blokproc(B,8,8,P1.*mask)C=blokproc(B,8,8,P1.*mask)I2=blkproc(C,8,8,P1*P2I2=blkproc(C,8,8,P1*P2，x,x)x,x)subplot(1,2,1);imshow(I)subplot(1,2,1);imshow(I)subpl
36、ot(1,2,2);imsho(I2)subplot(1,2,2);imsho(I2)第83页/共185页第八十三页，共185页。3.3 离散离散(lsn)沃尔什沃尔什-哈达玛变换（哈达玛变换（WHT）3.3.1 一维离散沃尔什一维离散沃尔什-哈达玛变换哈达玛变换 1.沃尔什函数沃尔什函数 沃沃尔尔什什函函数数是是1923年年由由美美国国数数学学家家沃沃尔尔什什提提出出的的。沃沃尔尔什什函函数数系系是是一一个个(y)完完备备正正交交函函数数系系，其其值值只只能能取取1和和1。从从排排列列次次序序上上可可将将沃沃尔尔什什函函数数分分为为三三种种定定义义方方法法：一一种种是是按按照照沃沃尔尔什什排
37、排列列来来定定义义（按按列列率率排排序序）；另另一一种种是是按按照照佩佩利利排排列列来来定定义义（按按自自然然排排序序）；第第三三种种是是按按照照哈哈达达玛玛排排列列来来定定义义。由由于于哈哈达达玛玛排排序序的的沃沃尔尔什什函函数数是是由由2n（n=0，1，2，）阶阶哈哈达达玛玛矩矩阵阵（Hadamard Matrix）得得到到的的，而而哈哈达达玛玛矩矩阵阵的的最最大大优优点点在在于于它它具具有有简简单单的的递递推推关关系系，即即高高阶阶矩矩阵阵可可用用两两个个低低阶阶矩矩阵阵的的克克罗罗内内克克积积求求得得，因因此此在在此此只只介介绍绍哈哈达达玛玛排排列列定定义的沃尔什变换。义的沃尔什变换。
38、第84页/共185页第八十四页，共185页。N=2n(n=0,1,2,)阶哈达玛矩阵每一行的符号变化规律对应于某一个沃尔什函数的符号变化规律，即N=2n(n=0,1,2,)阶哈达玛矩阵的每一行对应于一个离散沃尔什函数，哈达玛矩阵与沃尔什函数系不同之处仅仅是行的次序不同。2n阶哈达玛矩阵有如下形式：第85页/共185页第八十五页，共185页。哈达玛矩阵的阶数是按N2n(n0,1,2,)规律排列的，阶数较高的哈达玛矩阵，可以利用矩阵的克罗内克积运算(ynsun)，由低阶哈达玛矩阵递推得到，即第86页/共185页第八十六页，共185页。矩阵的克罗内克积(KroneckerProduct)运算用符号记
39、作AB，其运算规律(gul)如下：设第87页/共185页第八十七页，共185页。则第88页/共185页第八十八页，共185页。2.离散沃尔什离散沃尔什-哈达玛变换哈达玛变换(binhun)一维离散沃尔什变换一维离散沃尔什变换(binhun)定义为定义为 一维离散(lsn)沃尔什逆变换定义为式中，Walsh(u,x)为沃尔什函数。若将Walsh(u,x)用哈达玛矩阵(jzhn)表示，并将变换表达式写成矩阵(jzhn)形式：第89页/共185页第八十九页，共185页。和式中，HN为N阶哈达(hd)玛矩阵。第90页/共185页第九十页，共185页。由哈达玛矩阵的特点可知(kzh)，沃尔什-哈达玛变换
40、的本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定规律改变后，进行加减运算，因此，它比采用复数运算的DFT和采用余弦运算的DCT要简单得多。第91页/共185页第九十一页，共185页。3.3.2 二维离散沃尔什变换二维离散沃尔什变换 很很容容易易(rngy)将将一一维维WHT的的定定义义推推广广到到二二维维WHT。二二维维WHT的正变换核和逆变换核分别为的正变换核和逆变换核分别为 和式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。第92页/共185页第九十二页，共185页。二维离散(lsn)沃尔什变换的矩阵形式表达式为和求这两个(lin)信号的二维WHT。第93页/共185页第九十三页
41、，共185页。根据题意(ty)，上式中的M=N=4，其二维WHT变换核为第94页/共185页第九十四页，共185页。所以(suy)第95页/共185页第九十五页，共185页。第96页/共185页第九十六页，共185页。再如，图是一幅数字图像及对其进行(jnxng)二维WHT变换的结果。二维WHT结果(jigu)（a）原图像；（b）WHT结果(jigu)第97页/共185页第九十七页，共185页。注：图中的结果是按哈达玛变换后再用沃尔什排序的结果。从以上(yshng)例子可看出，二维WHT具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，二维WHT可用
42、于压缩图像信息。第98页/共185页第九十八页，共185页。3.3.3 快速快速(kui s)沃尔什变换（沃尔什变换（FWHT）类类似似于于FFT，WHT也也有有快快速速(kui s)算算法法FWHT，也也可可将将输输入入序序列列f(x)按奇偶进行分组，分别进行按奇偶进行分组，分别进行WHT。FWHT的基本关系为的基本关系为 WHT的变换核是可分离和对称的，因此二维WHT也可分为两个一维的WHT分别用FWHT进行(jnxng)变换而得到最终结果，由此便可实现二维的FWHT。第99页/共185页第九十九页，共185页。综上所述，WHT是将一个函数变换成取值为1或1的基本函数构成的级数，用它来逼近
43、数字脉冲信号时要比FFT有利。同时，WHT只需要进行实数运算，存储量比FFT要少得多，运算速度(sd)也快得多。因此，WHT在图像传输、通信技术和数据压缩中被广泛使用。第100页/共185页第一百页，共185页。n n小波变换的历史及发展小波变换的历史及发展n n小波变换小波变换(waveletes)(waveletes)概念的提出：概念的提出：1974 J.Morlet1974 J.Morletn n理论理论(l(l ln)ln)准备准备:A.Calderon:A.Calderon表示定理的发现，表示定理的发现，HardyHardy空间的原子分解和无条件基的深入研究空间的原子分解和无条件基的
44、深入研究n n实现：实现：19861986年年Y.MeyerY.Meyer与与S.MallatS.Mallat构造小波基。构造小波基。n n推广：推广：I.DaubechiesI.Daubechies撰写的小波十讲（撰写的小波十讲（Ten Ten Lectures on WaveletsLectures on Wavelets）3.5 离散离散(lsn)小波变换小波变换第101页/共185页第一百零一页，共185页。一、一、小波变换的理论基础小波变换的理论基础 小小波波变变换换克克服服了了傅傅立立叶叶变变换换在在时时频频域域联联系系上上的的缺缺陷陷，它它在在高高频频处处窗窗口口高高而而窄窄，可
45、可以以精精确确定定位位突突变变信信号号的的位位置置；在在低低频频处处其其窗窗口口矮矮而而宽宽，适适合合分分析析(fnx)渐渐变变信信号号。小小波波变变换换是是通通过过缩缩放放母母小小波波（Mother wavelet）的的宽宽度度来来获获得得信信号号的的频频率率特特征征，通通过过平平移移母母小小波波来来获获得得信信号号的的时时间间信信息息。对对母母小小波波的的缩缩放放和和平平移移操操作作是是为为了了计计算算小小波波系系数数，这这些些小小波波系系数数反反映映了了小小波波和和局局部部信号之间的相关程度。信号之间的相关程度。第103页/共185页第一百零三页，共185页。1.连续小波变换（CWT）小
46、波分析就是把一个信号分解为将母小波经过(jnggu)缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过(jnggu)缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。第104页/共185页第一百零四页，共185页。3-9正弦波和小波（a）正弦波曲线；(b)小波曲线图3-9表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的，而小波是一类在有限区间(qjin)内快速衰减到0的函数，其平均值为0，小波趋于不规则、不对称。第105页/共185页第一百零五页，共185页。连续(linx)小波变换的数
47、学定义为：其中，与为复共轭，且，为尺度参数，为平移参数。为了对信号细节(xji)进行分析，我们需要使用小波系数（wavelet coefficient）对信号进行分解和重构 第107页/共185页第一百零七页，共185页。对于原始(yunsh)信号这里(zhl)称为(chn wi)第一级小波成分，以此递推，S和W分别称为尺度函数和小波系数。第108页/共185页第一百零八页，共185页。原始(yunsh)信号可以表示为：原始信号可以用从第1级到第J级的J个分辨率小波来表示(biosh)，实现了小波的多分辨率分析。第109页/共185页第一百零九页，共185页。基本小波函数()的缩放和平移操作含
48、义(hny)如下：(1)缩放。简单地讲，缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄，如图7-14所示。小波的缩放操作(cozu)3-10第110页/共185页第一百一十页，共185页。(2)平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学(shxu)上，函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图所示。3-11小波的平移(pny)操作(a)小波函数(t)；(b)位移后的小波函数(t-k)第111页/共185页第一百一十一页，共185页。CWT计算主要有如下五个步骤：第一步：取一个小波，将其与原始信号的开始一节进行比较。第二步：计算数值C，C表示小波与所取一节信号的相似程度(chng
49、d)，计算结果取决于所选小波的形状，如图3-12所示。第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整个信号，如图所示。第四步：伸展小波，重复第一步至第三步，如图所示。第112页/共185页第一百一十二页，共185页。3-12计算(jsun)系数值C第113页/共185页第一百一十三页，共185页。图3-13计算平移(pny)后系数值C第114页/共185页第一百一十四页，共185页。图3-14计算尺度(chd)后系数值C第115页/共185页第一百一十五页，共185页。第五步：对于所有缩放，重复(chngf)第一步至第四步。小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表
50、示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大，表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。第116页/共185页第一百一十六页，共185页。2.离散小波变换(binhun)（DWT）在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换(binhun)称 为 双 尺 度 小 波 变 换(binhun)（Dyadic WaveletTra