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1、级数的收敛性第一页，本课件共有96页1 级数的收敛性第二页，本课件共有96页1.1.计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积一、问题的提出一、问题的提出第三页，本课件共有96页1.无穷级数的定义无穷级数的定义设有数列un:u1,u2,un,则称表达示为一个无穷级数，简称为级数.其中，un称为级数的一般项或通项.u无穷级数的概念无穷级数的概念无穷级数的概念无穷级数的概念第四页，本课件共有96页若级数的每一个项un均为常数，则称该级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个变量的函数un=un(x),则称级数为函数项级数.第五页，本课
2、件共有96页例例1.下列各式均为常数项级数第六页，本课件共有96页例例2.下列各式均为函数项级数第七页，本课件共有96页2.级数的敛散性定义级数的敛散性定义无穷级数的前n项之和：称为级数的部分和.若存在，则称级数收敛，S称为级数的和：第八页，本课件共有96页若不存在(包括为)，则称级数发散.第九页，本课件共有96页观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推播放播放第十页，本课件共有96页周长为周长为面积为面积为第第 次分叉次分叉：第十七页，本课件共有96页于是有于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）
3、雪花的面积存在极限（收敛）第十八页，本课件共有96页例例3.讨论等比级数的敛散性.解解：等比级数的部分和为：当公比|r|1时，当公比 r=1时，当公比 r=1时，Sn=a,n为奇数0,n为偶数,故不存在.综上所述，当公比|r|1时,等比级数收敛；当公比|r|1时，等比级数发散.第二十页，本课件共有96页例例4.讨论级数的敛散性.解：解：第二十一页，本课件共有96页而故，即该级数收敛.第二十二页，本课件共有96页3.3.收敛级数的余项收敛级数的余项收敛级数的余项收敛级数的余项收敛级数称为收敛级数的余项，记为的和S与其部分和Sn的差SSn显然第二十三页，本课件共有96页二、级数收敛的必要条件二、级
4、数收敛的必要条件定理定理：若级数收敛，则必有证证 设第二十四页，本课件共有96页例例5.判别的敛散性.解解：由于故该级数发散.第二十五页，本课件共有96页例例6.证明调和级数是发散的.证证 调和级数的部分和有：第二十六页，本课件共有96页第二十七页，本课件共有96页由数学归纳法，得 k=0,1,2,而故 不存在，即调和级数发散.第二十八页，本课件共有96页若c0为常数，则有相同的敛散性，且三、无穷级数的性质三、无穷级数的性质性质性质1第二十九页，本课件共有96页证证的部分和为的部分和为故从而同时收敛或同时发散.第三十页，本课件共有96页若其和分别为S1和S2，则级数且性质性质2第三十一页，本课
5、件共有96页证证的部分和为：故第三十二页，本课件共有96页即 级数收敛，且第三十三页，本课件共有96页例例7.因为等比级数所以级数第三十四页，本课件共有96页例例8.问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定.第三十五页，本课件共有96页 在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说，它的和将改变.)性质性质3第三十六页，本课件共有96页证证 设级数的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数的部分和为S k:第三十七页，本课件共有96页由于Sm当m固定
6、时为一常数，所以故 级数与级数第三十八页，本课件共有96页 对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.性质性质4第三十九页，本课件共有96页例例9.考虑一下几个问题：(1)收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2)发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3)如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.第四十页，本课件共有96页证明证明 四、级数收敛的必要条件：四、级数收敛的必要条件：第四十一页，本课件共有96页注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;发散发散2.2.必要条件不充分必
7、要条件不充分.第四十二页，本课件共有96页讨论讨论第四十三页，本课件共有96页8项4项2项2项 项由性质由性质4 4推论推论,调和级数发散调和级数发散.第四十四页，本课件共有96页五、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法第四十五页，本课件共有96页思考题思考题第四十六页，本课件共有96页思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知第四十七页，本课件共有96页练习题练习题第四十八页，本课件共有96页第四十九页，本课件共有96页练习题答案练习题答案第五十页，本课件共有96页2 正项级数第五十一页，本课件共有96页正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级
8、数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.第五十二页，本课件共有96页证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较审敛法比较审敛法第五十三页，本课件共有96页不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.第五十四页，本课件共有96页解解由图可知由图可知第五十五页，本课件共有96页重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.第五十六页，本课件共有96页证明证明第五十七页，本课件共有96页4.4
9、.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;第五十八页，本课件共有96页证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.第五十九页，本课件共有96页第六十页，本课件共有96页解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.第六十一页，本课件共有96页证明证明第六十二页，本课件共有96页收敛收敛发散发散第六十三页，本课件共有96
10、页比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:第六十四页，本课件共有96页第六十五页，本课件共有96页解解第六十六页，本课件共有96页比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法第六十七页，本课件共有96页级数收敛级数收敛.第六十八页，本课件共有96页思考题思考题第六十九页，本课件共有96页思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.第七十页，本课件共有96页练练 习习 题题第七十一页，本课件共有96页第七十二页，本课件共有96页练习题答案练习题答案第七十三页，本课件共有9
11、6页3 一般项级数第七十四页，本课件共有96页任意项级数的敛散性任意项级数的敛散性1.交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为或其中，un0 (n=1,2,)第七十五页，本课件共有96页定理定理(莱布尼兹判别法)若交错级数满足条件(1)(2)unun+1 (n=1,2,)则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)第七十六页，本课件共有96页证证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在.1)取交错级前2m项之和由条件(2)：unun+1，un0,得S2m以及 由极限存在准则：第七十七页，本课件共有96页2)取交错级数的前2m+1项之
12、和由条件1):综上所述，有第七十八页，本课件共有96页例例1.讨论级数的敛散性.解解：这是一个交错级数，又由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.第七十九页，本课件共有96页例例2.判别级数的敛散性.解解：这是一个交错级数，又令x2,+)，则x2,+)，故 f(x)2,+)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛.第八十页，本课件共有96页解解原级数收敛原级数收敛.第八十一页，本课件共有96页2.任意项级数及其敛散性任意项级数及其敛散性(1)级数的绝对敛和条件收敛定义定义：若级数对收敛的；若级数但级数第八十二页，本课件共有96页定理：定理：若(即绝对收敛的级数必定收敛)证证：un|un|从
13、而第八十三页，本课件共有96页上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数第八十四页，本课件共有96页解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.第八十五页，本课件共有96页定理定理 (达朗贝尔判别法)设有级数若(1)1(包括=)时，级数发散；(3)=1时，不能由此断定级数的敛散性.第八十六页，本课件共有96页例例5.判别级数的敛散性.解：解：由P一级数的敛散性，即原级数绝对收敛.第八十七页，本课件共有96页例例6.判别的敛散性，其中，x1为常数.解解：记第八十八页，本课件共有96页当|x|1时，=|x|1时，=1,此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|
14、1时，从而，原级数发散.第八十九页，本课件共有96页例例6.级数是否绝对收敛?解：解：由调和级数的发散性可知，故发散.但原级数是一个收敛的交错级数：故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.第九十页，本课件共有96页(2)绝对收敛级数的性质 性质性质1.任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.性质性质2.两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.第九十一页，本课件共有96页(3)任意项级数敛散性的一个判别法定理定理定理定理(迪利赫勒判别法)设有级数任意的 n 1,有un un+1,且又n=1,2,M 0为与n无关的常数，则级数若对收敛.第九十二页，本课件共有96页例例8.判别级数的敛散性,其中,x2k,kZ.解解：记vn=cosnx,则n=1,2,，第九十三页，本课件共有96页又而 x2k,kZ，于是且故又迪利赫勒判别法，级数(x2k,kZ)收敛.第九十四页，本课件共有96页 小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;第九十五页，本课件共有96页第九十六页，本课件共有96页