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1、第四章几种重要的分布第四章几种重要的分布第一页，本课件共有87页贝努里贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)概型与二项分布概型与二项分布1.(0-1)分布分布(p26)若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1)k0，1或或4.14.1二项分布二项分布（一）随机变量（一）随机变量的分布律的分布律Company Logo第二页，本课件共有87页(P79)(P79)定义定义.1.1如果随机变量如果随机变量有概率函数，有概率函数，2.(p24)定义定义 设将试验独立重
2、复进行设将试验独立重复进行n n次，每次试验次，每次试验中，事件中，事件A A发生的概率均为发生的概率均为p p，则称这，则称这n n次试验为次试验为n n重贝努里试验重贝努里试验.事件事件A A恰好发生恰好发生k k次的概率为次的概率为则称则称服从参数为服从参数为n,p的二项分布。记作的二项分布。记作B（n,p)其中0P0 0，则称，则称 服从普哇松服从普哇松(Poisson)(Poisson)分布。分布。定义定义4.3 如果随机变量如果随机变量的概率函数是的概率函数是 利用级数利用级数 易知易知Company Logo第二十五页，本课件共有87页由于由于两边对两边对 求导得求导得或或或或C
3、ompany Logo第二十六页，本课件共有87页ll 普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中。普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中。如一段时间内，电话用户对电话台的呼唤次数，如一段时间内，电话用户对电话台的呼唤次数，候车的旅客数，原子放射粒子数，候车的旅客数，原子放射粒子数，织机上断头的次数，织机上断头的次数，以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。在二项分布中，在二项分布中，B(n，p)当当n比较大，比较大，p很小时，很小时，用普哇松分布近似代替二项分布的公式，其中用普哇松分布近似代替二项分布的公式，其中 np普哇松分布的方便之处在于有
4、现成的分布表普哇松分布的方便之处在于有现成的分布表（见附表一）可查，免于复杂的计算。（见附表一）可查，免于复杂的计算。Company Logo第二十七页，本课件共有87页普哇松普哇松定理表明，定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，普哇松分布是二项分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就可近似地二项分布就可近似地看成是参数看成是参数=np的的普哇松分布普哇松分布B(n,p)与与P(=k)的比较的比较Company Logo第二十八页，本课件共有87页 解 因普哇松分布的参数就是它的期望值E，故=5查书后附表一，有p5(2)=0.084224 p5(5)=0.175467
5、 P5(20)=0例1 服从普哇松分布，E=5,查表求P(=2)=P(=5)=P(=20)=Company Logo第二十九页，本课件共有87页例2 一大批产品的废品率为 p=0.015 求任取一箱（有100个产品），箱中恰有一个废品的概率。解 所取一箱中的废品个数 服从超几何分布，由于产品数量N很大，可按二项分布公式算，其中n=100,p=0.015但由于较大而很小，可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算。其中=np=1.5,查表得：误差不超过Company Logo第三十页，本课件共有87页例检查了例检查了100100个零件上的疵点数，结果如表个零件上的疵点数，结果如表4-6:4-6:
6、疵点数 0123456频数14272620733试用普哇松分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。解：要用普哇松普哇松(Poisson)分布公式计算，首先要求出分布公式计算，首先要求出频率0.140.270.260.200.070.030.03概率Company Logo第三十一页，本课件共有87页微积分里定义的-函数复习Company Logo第三十二页，本课件共有87页判断下列函数是否为-函数:-的性质:不是-函数Company Logo第三十三页，本课件共有87页Company Logo第三十四页，本课件共有87页Company Logo第三十五页，本课件共有87页4.4 指数分
7、布定义4.4 如果随机变量的概率密度为其中0，则称服从参数为的指数分布。它的分布函数 易知Company Logo第三十六页，本课件共有87页对任何实数a,b（0a0)时间失效的分布函数而产品的可靠度为:Company Logo第三十八页，本课件共有87页例例1 1 某元件寿命某元件寿命 服从参数为服从参数为(-1-1=1000)=1000)的指数分布。的指数分布。3 3个这样的元件使用个这样的元件使用10001000小时后，都没有损坏的概率是多小时后，都没有损坏的概率是多少？少？各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为 解 参数为的指数分布的分布函数为Compa
8、ny Logo第三十九页，本课件共有87页解解Company Logo第四十页，本课件共有87页解当t 0时，当t 0时，=1-在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥于是Company Logo第四十一页，本课件共有87页4.5 -分布分布定义4.5 如果连续性随即变量具有概率密度其中0，r0，则称服从-分布，记作(,r)这里的(r)就是微积分里定义的-函数，即Company Logo第四十二页，本课件共有87页-分布在概率论，数理统计和随机过程中都有不少应用。当r=1时，为指数分布当r0时这个积分式收敛的，利用-函数的定义可以证明还可以计算出Company Logo第四十三页，本课件
9、共有87页 当r为正整数时，它是排队论中常用到的r阶爱而朗分布；Company Logo第四十四页，本课件共有87页 当r=n/2(n是正整数），=1/2时就是具有n个自由度的2分布 简记作2(n)它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一。表示进入到所要考虑的统计问题中自由变量的个数自由度:多一个约束条件,就少一个自由变量Company Logo第四十五页，本课件共有87页 定理4.1 如果1,2,n相互独立，且i服从参数为,ri的-分布，则它们的和 1+2+n服从参数为 r1+r2+rn的分布证明：略-分布具有可加性Company Logo第四十六页，本课件共有87页lP101l16、
10、17、18、19、Company Logo第四十七页，本课件共有87页ABA，B间真实距离为间真实距离为，测量值为，测量值为。的概率密度应该是什么形态？4.6 正态分布正态分布Company Logo第四十八页，本课件共有87页（一）正态分布的概率密度定义4.6 如果连续型随机变量的概率密度为其中,为常数，并且0，则称服从参数为,正态分布，简记作N(,2)利用普哇松积分可以验证Company Logo第四十九页，本课件共有87页Company Logo第五十页，本课件共有87页特别地，当参数=0，=1时，(x)可以写成称它为标准正态分布的概率密度，简记作N(0,1)Company Logo第五
11、十一页，本课件共有87页其中其中 为实数，为实数，0，则称，则称服从参数为服从参数为 ,2的的正态分正态分布布,记为记为N(,2)，可表为可表为N(,2).若随机变量随机变量Company Logo第五十二页，本课件共有87页(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；(p93)()max(x).正态分布有两个特性正态分布有两个特性：Company Logo第五十三页，本课件共有87页Company Logo第五十四页，本课件共有87页分布函数表示为分布函数表示为标准正态分布标准正态分布N(0,1)密度函数表示为密度函数表示为（二）标准正态分布概率密度0(x)的性质及
12、概率密度函数表Company Logo第五十五页，本课件共有87页0(x)除具有一般概率密度的性质外，还有下列性质：（1）0(x)有各阶导数；（2）0(-x)=0(x)，即 0(x)的图形关于y轴对称；（3）0(x)在(-，0)内严格上升，在(0,+)内严格下降，在x=0处达到最大值：（4）0(x)在x=1处有两个拐点；即x轴是曲线 0(x)的水平渐近线。例1 介绍查概率密度函数表（5）Company Logo第五十六页，本课件共有87页例例1 1 N(0,1)N(0,1)求求Company Logo第五十七页，本课件共有87页定理4.2 如果（三）一般正态分布与标准正态分布的关系其概率密度分
13、别记为分布函数分别记为 证:Company Logo第五十八页，本课件共有87页Company Logo第五十九页，本课件共有87页Company Logo第六十页，本课件共有87页定理4.3 如果称随机变量函数为标准化变换。证：Company Logo第六十一页，本课件共有87页（四）标准正态分布函数表 如果N(0,1),则对大于零的实数x,的值可以由附表三直接查到。Company Logo第六十二页，本课件共有87页例2=0.975P(1.96)=1-P(1.96)=0.025=P(-1.961.96)=0.95=0.81855=0.97725+Company Logo第六十三页，本课件共
14、有87页如果N(0,1)，则Company Logo第六十四页，本课件共有87页例3解：Company Logo第六十五页，本课件共有87页例4解：查表得：Company Logo第六十六页，本课件共有87页lP101l20、23、25、26、27、Company Logo第六十七页，本课件共有87页若若N（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.320时Company Logo第六十九页，本课件共有87页当x0时Company Logo第七十页，本课件共有87页（六）（六）二元正态分布二元正态分布定义4.7 若二元连续型随机变量（，）的联合概率密度为（4.16）其中均为常数。时，称（，）服
15、从二元正态分布Company Logo第七十一页，本课件共有87页1 定理定理 4.5 4.5 二元正态分布的边缘概率密度是一元正二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。态分布。证：设（，）的联合概率密度由（4.16）式给出，的边缘概率密度记为Company Logo第七十二页，本课件共有87页l由第三章的知识我们知道：l相互独立的两个随机变量一定不相关0l但是不相关的随机变量不一定独立l然而对于二元正态分布来说，有定理4.6成立定理4.6 服从二元正态分布的随机变量（,)它们独立的充分必要条件是与的相关系数=Company Logo第七十三页，本课件共有87页证：必要性充分性Company
16、 Logo第七十四页，本课件共有87页 定义4.8 若连续型随机变量的概率密度为 称服从具有n个自由度的t分布，简记为t（n）。Company Logo第七十五页，本课件共有87页定义4.9 若连续型随机变量 的概率密度为称 服从具有第一个自由度为 n1 ，第二个自由度为n2 的F分布，简记为 Company Logo第七十六页，本课件共有87页第四章复习要求第四章复习要求2、熟练掌握几种重要分布的数字特征：期望、方差、协方差、相关系数1、熟练掌握几种重要的分布：01分布；二项分布；超几何分布；几何分布；普哇松分布；均匀分布；指数分布；正态分布。4、掌握常用分布的数字特征与分布参数之间的关系3
17、、理解随机变量的独立性及不相关的概念 掌握独立性的条件与判定方法。Company Logo第七十七页，本课件共有87页答答:答答:Company Logo第七十八页，本课件共有87页求 E(2),E(3)，E(4)。并求2的方差解：分部积分法Company Logo第七十九页，本课件共有87页使用分部积分法Company Logo第八十页，本课件共有87页Company Logo第八十一页，本课件共有87页设随机变量设随机变量N(-1,22),P-2.453|3的值的值.如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值33 作两条作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发线，
18、当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报出警报.表明生产出现异常表明生产出现异常.解：Company Logo第八十三页，本课件共有87页 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元件损坏与个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的否是相互独立的.求：使用的最初求：使用的最初9090小时内无一元件损小时内无一元件损坏的概率坏的概率.解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数,故则YB(3,p)其中正态分布表Company Lo
19、go第八十四页，本课件共有87页3.设随机变量设随机变量XN（2，2 2），），且且P（2X4）=0.3，则，则P(X0)=Company Logo第八十五页，本课件共有87页例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得Company Logo第八十六页，本课件共有87页设随机变量设随机变量服从正态分布服从正态分布随着的增大，A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定分析：由于故由计算知概率的值与的大小无关应选BCompany Logo第八十七页，本课件共有87页