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1、2/26/2023二次函数的最值问题二次函数的最值问题重点 掌握闭区间上的二函数的 最值问题难点 了解并会处理含参数的二 次函数的最值问题核心 区间与对称轴的相对位置思想 数形结合 分类讨论 2/26/2023复习引入顶点式:y=a(x-m)+n(a 0)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a 0)一般式:y=ax2+bx+c(a 0)=a(x+)2+a0时 开口向上 x =-ymin=a0)时在区间h,k上的最值问题则有：1、若mh,k则ymin=n;ymax=max f(h),f(k)如下图：mhknhkm2/26/20232、若m h,k则ymin=min f(h),f(k);yma
2、x=max f(h),f(k)如下图：思考题:二次函数如f(x)=a(x-m)2+n(a0)时在区间h,k上的最值又如何呢?hkmhkm2/26/20231.若mh,k则ymax=n;ymin=min f(h),f(k)如下图：mhkhkmnhkmhkm2、若m h,k则ymax=max f(h),f(k);ymin=max f(h),f(k)如下图：2/26/2023 即当x=-1时ymin=-4;当x=2时ymax=f(2)=5练习1 求函数y=x2-2x-3且x 0,3的最值？例题1 已知函数y=x2+2x-3 且x -2，2,求函数的最值？解析：函数配方有 y=(x+1)2-4如右图2
3、/26/2023例题2已知函数y=-x2-2x+3且x 0，2,求函数的最值？解析：y=-x2-2x+3 =-(x+1)2+4因为x 0，2如右图 则ymax=f(0)=0+0+3=3 ymin=f(2)=-4-4+3=-5练习2 求函数y=-x2+2x+3且x 0,2的最 值？2/26/2023二、含参变量的二次函数最值问题 解析：因为函数y=x2+2ax+3=（x+a)2+3-a2的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a是否在区间-2，2之内，则从以下几个方面解决如图：1、轴动区间静 2、轴静区间动例3：求函数y=x2+2ax+3在x -2,2时的最值？2/26/2023-a2/26/2
4、023 当-2-a0时 f(x)max=f(2)=7+4a (0a 2)f(x)min=f(-a)=3-a2 当-a-2 时 f(x)max=f(2)=7+4a (a2)时 f(x)min=f(-2)=7-4a 当0-a2时 f(x)max=f(-2)=7-4a (-2 a 0)f(x)min=f(-a)=3-a2 当 -a2 时 f(x)max=f(-2)=7-4a (a -2)f(x)min=f(2)=7+4a 则由上图知解为:2/26/2023 例4 求函数y=x2-2x-3在xk,k+2的函数的最值?解析解析:因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变
5、,要求函数的最值,即要看区间k,k+2与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:2/26/2023X=1kK+22/26/2023则由上图知解为:当k+21(k-1)时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3 f(x)min=f(k+2)=k2+2k+3 当 k 1 k+2 时 f(x)max=maxf(k),f(k+2)(-1 k 1)f(x)min=f(1)=-4 当k 1 时 f(x)max=f(k+2)=k2+2k+3 f(x)min=f(k)=k2-2k-3 2/26/2023例5 求函数y=x2-2x-3在x-3,m函数的最值?解析解析:因为函数 y=x2-2x-3=(
6、x-1)2-4 的对称轴为x=1 固定不变,要求函数的最值,即要根据具体的区间-3,m 与对称轴x=1的位置,则从以下两个方面解决如图:2/26/2023m2/26/2023则由上图知解为:当-3m1时 f(x)max=f(-3)=12 f(x)min=f(m)=m2+2m+3 当 1m 时 f(x)max=maxf(-3),f(m)f(x)min=f(1)=-4练习3 求函数y=x2-2ax-3在x0,3的最值？练习4 求函数y=x2+2x-3在xm,3的最值？2/26/2023课堂小结课堂小结 1.本节课讲了闭区间上的二次函数的最值问题 2.同时也讲了含参数的 二次函数最值的有关问 题,特别要根据具体的问 题结合图象来具体求解2/26/2023