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1、会计学1北师大初二数学上册勾股定理北师大初二数学上册勾股定理 第一节第一节 探索勾股定理探索勾股定理你知道毕达哥拉斯想你知道毕达哥拉斯想到了什么吗？到了什么吗？情境引入情境引入相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美
2、观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。系。（黑白相间的地砖）（黑白相间的地砖）第1页/共44页探究活动探究活动探究活动探究活动1 1 1 1问题问题问题问题1 1 1 1：你能发现下图中三个正方形面积之间有：你能发现下图中三个正方形面积之间有：你能发现下图中三个正方形面积之间有：你能发现下图中三个正方形面
3、积之间有怎样的关系？怎样的关系？怎样的关系？怎样的关系？第2页/共44页问题问题问题问题2 2 2 2：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？问题问题问题问题3 3 3 3：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？由此猜想等腰直角三角形三边
4、有怎样的关系？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？第3页/共44页ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（1）观察图）观察图1-1 正方形正方形A中含有中含有 个小方格，即个小方格，即A的面积的面积是是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918数格子：数格子：第4页/共44页ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2分割成若干个直角分割成若干个直角边为整数的三角形边为整数
5、的三角形（单位面积）（单位面积）第5页/共44页ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（单位面积）（单位面积）把把C看成边长为看成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半第6页/共44页探究活动探究活动探究活动探究活动2 2 2 2做一做：（1 1）请分别计算出图中正方形请分别计算出图中正方形A A、B B、C C的面积，看的面积，看看能得出什么结论？看能得出什么结论？（A的面积B的面积C的面积）（A的面积B的面积C的面积）第7页/共44页“割割”“补补”“拼拼”方法一：方法一：方法二：方法二：方法三：方法三：分分割割为四个直为四
6、个直角三角形和一角三角形和一个小正方形个小正方形补补成大正方形，成大正方形，用大正方形的面用大正方形的面积减去四个直角积减去四个直角三角形的面积三角形的面积将几个小块将几个小块拼拼成成一个正方形，如一个正方形，如图中两块红色图中两块红色（或绿色）可拼（或绿色）可拼成一个小正方形成一个小正方形正方形C的面积该怎么求？第8页/共44页问题问题问题问题2 2 2 2：如果用：如果用：如果用：如果用a,b,ca,b,ca,b,ca,b,c分别表示三个正方形的分别表示三个正方形的分别表示三个正方形的分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三边长，三者之间的面积关系如何表示？由三边长，三者
7、之间的面积关系如何表示？由三边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？的关系？的关系？的关系？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方第9页/共44页如果直角三角形两直角边长分别如果直角三角形两直角边长分别为为a，b，斜边长为，斜边长为 c ，那么，那么即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.勾股定理勾股定理（gou-gu theoremgou-gu th
8、eorem）第10页/共44页探究活动探究活动探究活动探究活动3 3 3 3议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2+b2=c2第11页/共44页简单应用简单应用 例例 如图所示，一棵大树在一次强烈如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落米处折断倒下，树顶落在离树根在离树根12米处米处.大树在折断之前高多少大树在折断之前高多少米？米？解：设大树在折断之前高解：设大树在折断之前高为为xm,由勾股定理得：由勾股定理得：(x-9)2=92+122 解得：解得：x=24 答：大树在折断之前高为答：大树在折断之前高为24米。米。第12页/
9、共44页巩固练习：巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：或未知边的长度：已知直角三角形两边，求第三边已知直角三角形两边，求第三边.第13页/共44页生活中的应用：生活中的应用：小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）的电视机厘米）的电视机.小小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和厘米长和46厘厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？你能解释这是为什么吗？我们通常所说的我们通常所说的29英寸或英
10、寸或74厘米的电视机，是指其荧厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度屏对角线的长度售货员没搞售货员没搞错错荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘米第14页/共44页拓展练习拓展练习 1 1.如如如如图图图图，一一一一个个个个25m25m长长长长的的的的梯梯梯梯子子子子ABAB，斜斜斜斜靠靠靠靠在在在在一一一一竖竖竖竖直直直直的的的的墙墙墙墙AOAO上上上上，这这这这时时时时的的的的AOAO距距距距离离离离为为为为24m24m，如如如如果果果果梯梯梯梯子子子子的的的的顶顶顶顶端端端端A A沿沿沿沿墙墙墙墙下下下下滑滑滑滑4m4m，那那那那么么么么梯梯梯梯子子子子底底底底端端端端B B也也也也外
11、移外移外移外移4m4m吗？吗？吗？吗？解：由勾股定理得：解：由勾股定理得：解：由勾股定理得：解：由勾股定理得：OB OB2 2=AB=AB2 2-AO-AO2 2=25=252 2-24-242 2 解得：解得：解得：解得：OB=7OB=7 OD OD2 2=CD=CD2 2-CO-CO2 2=25=252 2-(24-4)-(24-4)2 2 解得：解得：解得：解得：ODOD2 2=225=225 所以所以所以所以OD=15OD=15 OD-OB=8m4m OD-OB=8m4m 答：梯子低端答：梯子低端答：梯子低端答：梯子低端B B外移大于外移大于外移大于外移大于4m4m。生活中勾股定理的应
12、用ABOCD第15页/共44页拓展练习拓展练习 生活中勾股定理的应用 2.2.有一个水池，水面是一个边长为有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？这根芦苇的长度各是多少？解：设水深为解：设水深为X尺，则尺，则 芦苇长为（芦苇长为（X1）尺，）尺，由勾股定理得：由勾股定理得：（X1）2X2（）2 解得解得X12 X11
13、3答：水池的深度为答：水池的深度为12尺，芦苇长为尺，芦苇长为13尺。尺。第16页/共44页勾股定理的历史勾股定理的历史 勾股定理是初等几何中的一个基本定勾股定理是初等几何中的一个基本定理这个定理有十分悠久的历史，几理这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。究。第17页/共44页希腊对勾股定理的研究希腊对勾股定理的研究 最早研究的是希腊著名数学家毕达哥拉斯（前580至568-前501至500），故西方国家均 称此定理为毕达哥拉斯定理，据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理，当他在
14、公元前550前年左右发现这个定理时，宰杀了百头牛羊以谢神的默示但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传 毕达哥拉斯 第18页/共44页中国对勾股定理的研究中国对勾股定理的研究 在我国，这个定理的叙述最早在我国，这个定理的叙述最早见于周髀算经见于周髀算经 （大约成（大约成书于公元前一世纪前的西汉时书于公元前一世纪前的西汉时期），书中有一段商高（约前期），书中有一段商高（约前11201120）答周公问中有）答周公问中有“勾广三勾广三 ，股修四，经隅五，股修四，经隅五”的话，意的话，意即直角三角形的两条直角边是即直角三角形的两条直角边是3 3及及4 4、则斜边是、则斜边是5 5 周髀算经第19页/共
15、44页 请你利用自己准备的四个全请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形边长的正方形.有不同的拼法有不同的拼法吗吗？第20页/共44页aaaabbbbcccc a+b=c 验证验证方法一方法一图图 1你还能用图你还能用图2进行验证吗？进行验证吗？方法小结：方法小结：我们利用拼图的方法，将形的我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理从理论上验证了勾股定理.第21页/共44页据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明
16、。据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。将将将将4 4个个个个全全全全等等等等的的的的直直直直角角角角三三三三角角角角形形形形拼拼拼拼成成成成边边边边长长长长为为为为(a(ab)b)的的的的正正正正方方方方形形形形ABCDABCD，使使使使中中中中间间间间留留留留下下下下边边边边长长长长c c的的的的一一一一个个个个正正正正方方方方形形形形洞洞洞洞画画画画出出出出正正正正方方方方形形形形ABCDABCD移移移移动动动动三三三三角角角角形形形形至至至至图图图图2 2所所所所示示示示的的的的位位位位置置置置中中中中，于于于于是是是是留留留留下下
17、下下了了了了边边边边长长长长分分分分别别别别为为为为a a与与与与b b的的的的两两两两个个个个正正正正方方方方形形形形洞洞洞洞则则则则图图图图1 1和和和和图图图图2 2中中中中的的的的白白白白色色色色部部部部分分分分面面面面积必定相等，所以积必定相等，所以积必定相等，所以积必定相等，所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2图图1图图2第22页/共44页 验证验证方法二方法二cab a a+b=c 你还有其他的方法吗？下来你还有其他的方法吗？下来继续研究喔！继续研究喔！图图 3第23页/共44页验证方法三验证方法三美国美国第二十任第二十任总统伽菲尔德的证法：总统伽菲尔德的证法：bcabc
18、aABCD如如如如图图图图，梯梯梯梯形形形形由由由由三三三三个个个个直直直直角角角角三三三三角角角角形形形形组组组组合合合合而而而而成成成成，利利利利用用用用面面面面积积积积公公公公式式式式，列列列列出出出出代代代代数数数数关关关关系系系系式式式式,得得得得化简化简化简化简,得得得得第24页/共44页其他验证法：勾股定理的无字证明其他验证法：勾股定理的无字证明其他验证法：勾股定理的无字证明其他验证法：勾股定理的无字证明以以以以刘刘刘刘徽徽徽徽的的的的“青青青青朱朱朱朱出出出出入入入入图图图图”为为为为代代代代表表表表，证证证证明明明明不不不不需需需需用用用用任任任任何何何何数数数数学学学学符符
19、符符号号号号和和和和文文文文字字字字，更更更更不不不不需需需需进进进进行行行行运运运运算算算算，隐隐隐隐含含含含在在在在图图图图中中中中的的的的勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理便便便便清清清清晰晰晰晰地地地地呈呈呈呈现现现现，整整整整个个个个证证证证明明明明单单单单靠靠靠靠移移移移动动动动几几几几块块块块图图图图形形形形而而而而得得得得出出出出，被被被被称为称为称为称为“无字证明无字证明无字证明无字证明”。约公元约公元 263 年，三国时代魏国的数学家年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍刘徽为古籍九章算术九章算术作注释时，用作注释时，用“出入相补法出入相补法”证明了勾股定理。证明了勾股定理。第2
20、5页/共44页 做做做做法法法法是是是是将将将将一一一一条条条条垂垂垂垂直直直直线线线线和和和和一一一一条条条条水水水水平平平平线线线线，将将将将较较较较大大大大直直直直角角角角边边边边的的的的正正正正方方方方形形形形分分分分成成成成 4 4 4 4 分分分分。之之之之后后后后依依依依照照照照图图图图中中中中的的的的颜颜颜颜色色色色,将将将将两两两两个个个个直直直直角角角角边边边边的的的的正正正正方方方方形形形形填填填填入入入入斜斜斜斜边边边边正正正正方方方方形形形形之中，便可完成定理的证明。之中，便可完成定理的证明。之中，便可完成定理的证明。之中，便可完成定理的证明。其他验证法：勾股定理的拼
21、图证明其他验证法：勾股定理的拼图证明其他验证法：勾股定理的拼图证明其他验证法：勾股定理的拼图证明在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明第26页/共44页第27页/共44页同学你知道古埃及人用什么方法得到直角同学你知道古埃及人用什么方法得到直角?古埃及人曾用下面的方法得到直角古埃及人曾用下面的方法得到直角:用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子分成等长的把一根绳子分成等长的12段段,一个工匠同时握一个工匠同时握住住绳子的第绳子的第1个结和第个结和第13个结个
22、结,两个助手分别握住第两个助手分别握住第4个结和第个结和第8个个结结,拉紧绳子就得到一个直角三角形拉紧绳子就得到一个直角三角形,其直角在第其直角在第4个结处个结处.想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股四弦五才能得到直角三角形呢？四弦五才能得到直角三角形呢？第28页/共44页做一做做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边下面的三组数分别是一个三角形的三边a a、b b、c c。5 5、1212、13 713 7、2424、25 825 8、1515、1717这三组数都满足这三组数都满足 吗？吗？第29页/共44页1.如图，在
23、正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？4 41 12 22 24 43 3易知易知:ABE:ABE，DEFDEF，FCBFCB均为均为RtRt 由勾股定理知由勾股定理知 BEBE2 2=2=22 2+4+42 2=20=20，EFEF2 2=2=22 2+1+12 2=5=5，BFBF2 2=3=32 2+4+42 2=25=25 BE BE2 2+EF+EF2 2=BF=BF2 2 BEFBEF是是Rt Rt 第30页/共44页如图所示的一块地，已知如图所示的一块地，已知ADAD=4m=4m，CDCD=3m=3m，ADADDCDC，ABAB=1
24、3m=13m，BCBC=12m=12m，求这块地的面积，求这块地的面积.A DCB解：连接AC ADDC AC=AD2+DC2=42+32=5 AC2+BC2=AB2 ACBC答：这块地的面积是24m2.第31页/共44页如图，如图，E、F分别是正方形分别是正方形ABCD中中BC和和CD边上的边上的点，且点，且AB=4，CE=BCBC，F F为为CDCD的中点，连接的中点，连接AFAF、AEAE，问，问AEFAEF是什么三角形？请说明理由是什么三角形？请说明理由.FEACBD第32页/共44页如图，已知等腰如图，已知等腰ABCABC的底边的底边BCBC=20cm=20cm，D D是腰是腰ABA
25、B上上一点，且一点，且CDCD=16cm=16cm，BDBD=12cm=12cm，求，求ABCABC的周长的周长.DB CA第33页/共44页第34页/共44页BA 蚂蚁怎么走最近蚂蚁怎么走最近?在一个圆柱石凳上，若小在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物明在吃东西时留下了一点食物在在B处，恰好一只在处，恰好一只在A处的蚂蚁处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向处爬向B处，你们想一想，处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？蚂蚁怎么走最近？第35页/共44页A AB BABAArOh h怎样计算怎样计算AB？在在RtAARtAAB B中，利用勾股定理可得，中，
26、利用勾股定理可得，侧面展开图侧面展开图其中其中AAAA是圆柱体的高是圆柱体的高,AB,AB是底面圆周长的一半是底面圆周长的一半(r)r)第36页/共44页小试牛刀小试牛刀练习练习1练习练习2 1如图，台阶如图，台阶A处的蚂蚁要处的蚂蚁要爬到爬到B处搬运食物，它怎么走最处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。近？并求出最近距离。第37页/共44页小试牛刀小试牛刀练习练习1练习练习2 2有一个高为有一个高为1.5米，半径是米，半径是1米的圆柱形油米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为棒，已知铁棒在油桶外的部分为
27、0.5米，问这根铁米，问这根铁棒有多长？棒有多长？你能画出示意你能画出示意图吗图吗?解解:设伸入油桶中的长度为设伸入油桶中的长度为x x 米米,则最长时则最长时:最短时最短时:最长是最长是2.5+0.5=3(2.5+0.5=3(米米)答答:这根铁棒的长应在这根铁棒的长应在2 23 3米之间米之间最短是最短是1.5+0.5=2(1.5+0.5=2(米米)第38页/共44页举一反三举一反三练习练习1练习练习2 3 3如图，在棱长为如图，在棱长为1010厘米的正方体的厘米的正方体的一个顶点一个顶点A A处有一只蚂蚁，现要向顶点处有一只蚂蚁，现要向顶点B B处处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是爬行，已知蚂蚁
28、爬行的速度是1 1厘米厘米/秒，秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在且速度保持不变，问蚂蚁能否在2020秒内从秒内从A A爬到爬到B B？B食物A第39页/共44页举一反三举一反三练习练习1 3 3如图，在棱长为如图，在棱长为1010厘米的正方体厘米的正方体的一个顶点的一个顶点A A处有一只蚂蚁，现要向顶点处有一只蚂蚁，现要向顶点B B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 1厘米厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在2020秒内从秒内从A A爬到爬到B B？练习练习1练习练习2第40页/共44页 右图是学校的旗杆右图是学校的旗杆,旗旗杆上的绳子垂到了地面杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段并多出了一段,现在老师现在老师想知道旗杆的高度想知道旗杆的高度,你能你能帮老师想个办法吗帮老师想个办法吗?请你请你设计一个方案。设计一个方案。举一反三举一反三练习练习1练习练习2第41页/共44页小结小结 通过本节课的学习，通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟！你有哪些收获与感悟！第42页/共44页再见再见第43页/共44页