线性方程组解得结构.pptx

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1、会计学1线性方程组解得结构线性方程组解得结构1.1 1.1 线性方程组的一般表示形式线性方程组的一般表示形式含有含有m个方程个方程n个未知量的线性方程组一般形式为个未知量的线性方程组一般形式为 a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm-若若b=(b1,b2,bm)o，则称则称(1)为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；若若b=(b1,b2,bm)o，即即a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxn000-(2)则称则称(2)为为齐次线性方程组齐次线性方程组,或或(1)的导出组的导出组.下

2、页第第1 1节节 高斯消元法高斯消元法(1)代数方程代数方程第1页/共42页可用矩阵形式表示为可用矩阵形式表示为 AX b ,b=，b1b2bmA ，a11a21am1a12a22am2a1na2namnX ，x1x2xn对应齐次方程组对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为可用矩阵形式表示为 AXo.o=000其中其中，下页含有含有m个方程个方程n个未知量的线性方程组个未知量的线性方程组a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm-(1)矩阵方程矩阵方程第2页/共42页可用向量形式表示为可用向量形式表示为对应齐次方程组对应齐次方程组(2

3、)可用向量形式表示为可用向量形式表示为其中其中，下页含有含有m个方程个方程n个未知量的线性方程组个未知量的线性方程组a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm-(1)向量方程向量方程第3页/共42页 定义定义2 2 若以若以n个数组成的有序数组个数组成的有序数组c1,c2,cn替代未知量替代未知量x1,x2,xn，使方程组使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称该有的每一个方程都成为恒等式，则称该有序数组序数组c1,c2,cn是方程组是方程组(1)的的一个解一个解.即若即若c1,c2,cn是方程组是方程组(1)的一个解，则有：的一

4、个解，则有：方程组的解方程组的解A称为方程组的称为方程组的系数矩阵系数矩阵.Aa11a21am1a12a22am2a1na2namn称为方程组的称为方程组的增广矩阵增广矩阵.下页系数矩阵与增广矩阵系数矩阵与增广矩阵定义定义1 1第4页/共42页下页a11c1a21c1am1c1a12c2a22c2am2c2a1ncna2ncnamncnb1b2bm-代数方程代数方程矩阵方程矩阵方程向量方程向量方程其中其中,A ，a11a21am1a12a22am2a1na2namn 若若c1,c2,cn是方程组是方程组(1)的一的一个个解，则有解，则有成立，反之亦然成立，反之亦然.第5页/共42页 例例1解线

5、性方程组解线性方程组 3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235-方程组的解为方程组的解为x1x2x3712-于是得到于是得到x2 3-2x3-1-7x132x2-4x3x32 4x3 3-2x2x1 x3 54x2-x114x3 12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235-解：解：4x3 3-2x2x15x3 82x22x3 3x24x3 3-2x2x1x3 22x3 3x2r1r2 r2-3r1 r3r1r3-2r21.2 1.2 消元法解方程组过程消元法解方程组过程下页第6页/共42页由上述求解过程可看出，对方程组的化简施行了三种运算：由

6、上述求解过程可看出，对方程组的化简施行了三种运算：用一个非零数乘以方程；用一个非零数乘以方程；用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去.互换两个方程的位置互换两个方程的位置；我们称上述三种运算为我们称上述三种运算为线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换.显然，对方程显然，对方程组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解.利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组，再利用利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组，再利用回代法解出未知量的过程，叫做回代法解出未知量的过程，叫做高斯消元法高斯消元法.可以看出，对方程组（

7、可以看出，对方程组（1）施行的初等变换，与未知量无关，）施行的初等变换，与未知量无关，只是对未知量的系数及常数项进行运算只是对未知量的系数及常数项进行运算.这些运算相当于对方程这些运算相当于对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换。组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换。下页第7页/共42页 4x3 3-2x2x1 x3 54x2-x114x3 12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235-例例1.4x3 3-2x2x15x3 82x22x3 3x2x3 24x3 3-2x2x12x3 3x2r1r2 r2-3r1 r3r1r3-2r

8、2(Ab)1-2 4 3-1 4 1 5 3-5 14 12 3-5 14 12 1-2 4 3-1 4 1 5 0 1 2 3 1-2 4 3 0 2 5 8 0 1 2 3 1-2 4 3 0 0 1 2r1r2 r2-3r1 r3r1r3-2r2 用用消消元元法法解解线线性性方方程程组组的的过过程程，实实质质上上就就是是对对该该方方程程组组的的增广矩阵施以增广矩阵施以初等初等行变换行变换的过程的过程.1.3 1.3 消元法与矩阵的初等行变换消元法与矩阵的初等行变换下页第8页/共42页x3 24x3 3-2x2x12x3 3x2r3-2r2 0 1 2 3 1-2 4 3 0 0 1 2r

9、3-2r21.3 1.3 消元法与矩阵的初等行变换消元法与矩阵的初等行变换下页x3 2 -5-2x2x1 -1x2r2-2r3r1-4r3 0 1 0 -1 1-2 0 -5 0 0 1 2r2-2r3r1-4r3x3 2 -7x1 -1x2r12r2 0 1 0 -1 1 0 0 -7 0 0 1 2r12r2行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 用用消消元元法法解解线线性性方方程程组组的的过过程程，实实质质上上就就是是对对该该方方程程组组的的增广矩阵施以增广矩阵施以初等初等行变换行变换的过程的过程.第9页/共42页第第2 2节节 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构2.

10、1 齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组为齐次线性方程组为 AXo,则则AXo可表示为向量组合式可表示为向量组合式若把矩阵若把矩阵A按列分块为按列分块为根据向量组相关性的定义，有根据向量组相关性的定义，有 定理定理1 齐次线性方程组齐次线性方程组AXo有非零解的充要条件是：矩阵有非零解的充要条件是：矩阵的列向量组的列向量组a a1,a a2,，a an线性相关线性相关.其中其中,即即r(A)n.下页第10页/共42页 定理定理1 齐次线性方程组齐次线性方程组AXo有非零解的充要条件有非零解的充要条件是：矩阵的是：矩阵的列列向量组向量组a a1,a a2,，a

11、an线性相关线性相关.即即r(A)n.推论推论2 齐次线性方程组齐次线性方程组AXo只有唯一只有唯一零解的充要零解的充要条件是：矩阵的列向量组条件是：矩阵的列向量组a1,a2,，an线性无关线性无关.即即r(A)=n.推论推论1 如果齐次方程组中方程的个数小于未知量如果齐次方程组中方程的个数小于未知量的个数，则该方程组必有非零解的个数，则该方程组必有非零解.推论推论3 n个方程个方程n个未知量的齐次线性方程组有个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零零.下页第11页/共42页2.2 2.2 齐次线性方程组解的性质齐次线

12、性方程组解的性质 性性质质1 若若x x1，x x2 都都是是齐齐次次线线性性方方程程组组AXo的的解解，则则X x x1x x2也是它的解也是它的解.这是因为这是因为A(x x1x x2)Ax x1Ax x2o.o o 性质性质2 若若x x是齐次线性方程组是齐次线性方程组AXo的解的解，k为实数为实数，则则Xkx x也是它的解也是它的解.这是因这是因为为A(kx x)k(Ax x)o.k(o)推论推论 如果如果x x1,x x2,x xs是齐次线性方程组是齐次线性方程组AXo的解的解，则其则其线性组合线性组合,仍是仍是AXo的解的解.为任意常数为任意常数.其中其中下页第12页/共42页基础

13、解系的概念基础解系的概念 定义定义3 3 设设x x1 1,x x2 2,x xs 都是都是AXo的解的解,并且并且 (1)x x1 1,x x2 2,x xs线性无关；线性无关；(2)AXo的任一个解向量都能由的任一个解向量都能由x x1 1,x x2 2,x xs线性表示，线性表示，则称则称x x1 1,x x2 2,x xs为线性方程组为线性方程组AXo的一个的一个基础解系基础解系.定理定理2 设设A是是mn矩阵矩阵，若若r(A)=rn，则齐次线性方程组则齐次线性方程组AXo的基础解系含有的基础解系含有n-r个解向量个解向量.即当即当r(A)=rn时时，齐齐次线次线性方程组性方程组AXo

14、解向量组的秩为解向量组的秩为n-r.下页2.3 2.3 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构第13页/共42页证：证：因为因为r(A)=r,所以可利用所以可利用初等行变换把初等行变换把A化为化为行最简形行最简形矩阵矩阵,不失一般性设其为：不失一般性设其为：由此得到原方程组的等价方由此得到原方程组的等价方程组程组(同解方程组同解方程组)：进而得到方程组用自由未知进而得到方程组用自由未知量表示的量表示的一般解一般解：下页第14页/共42页 从而得到方程组的从而得到方程组的n-r个解向量个解向量:由由(*)式分别得到相应的解式分别得到相应的解,令令 由此得到方程组用自由未知由此得到方程组用自

15、由未知量表示的量表示的一般解一般解：下页第15页/共42页下证下证是方程组是方程组的一个基础解系的一个基础解系.由左下式可以看出由左下式可以看出的后的后n-r个分量个分量，就是就是n-r个个n-r维维单位向量单位向量，它们是线性无关的它们是线性无关的，因而添加了因而添加了r 个分量的向量组个分量的向量组也也是线性无关的是线性无关的.下页 从而得到方程组的从而得到方程组的n-r个解向量个解向量:由由(*)式分别得到相应的解式分别得到相应的解,令令先证明向量组先证明向量组线性无关线性无关.第16页/共42页再证明方程组的任意一个解再证明方程组的任意一个解线性表示线性表示.设设因因都是方程组的都是方

16、程组的解解，所以它们的线性组合所以它们的线性组合(1)(2)是方程组的任一解是方程组的任一解.方程组的方程组的n-r 个解向量个解向量:下页也是方程组的解也是方程组的解.都可由都可由第17页/共42页而线性组合而线性组合下页 比较比较(3)和和(1)知它们最后知它们最后n-r 个分量相同个分量相同，而前而前r 个分量都个分量都是由是由(*)式方程解出的式方程解出的,从而也从而也相同相同，因而两个解完全一样因而两个解完全一样.所以，所以，是方程是方程组的一个基础解系组的一个基础解系.(3)(1)第18页/共42页求解求解齐次齐次线性方程组流程图线性方程组流程图下页系数矩阵系数矩阵A阶梯形矩阵阶梯

17、形矩阵Br(A)=n唯一零解唯一零解行最简形矩阵行最简形矩阵C确定自由未知量及约确定自由未知量及约束未知量束未知量,给出一般解给出一般解求出基础解系求出基础解系写出通解写出通解初等行变换初等行变换初初等等行行变变换换YN第19页/共42页 初等初等行变换行变换确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图下页对应的变量为约束未知量对应的变量为约束未知量(r个个)对应的变量为自由未知量对应的变量为自由未知量(n-r个）个）第20页/共42页例例1 1解线性方程组解线性方程组解解：由于由于r(A)=3=n,所以方程组只有零解，即所以方程组只有零解，即下页

18、显然显然，齐次方程组齐次方程组AX0，当当r(A)=n时时，只有零解只有零解.第21页/共42页 因为秩因为秩(A)24，所以方程组有非零解，所以方程组有非零解.例例2解线性方程组解线性方程组 x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000-解：解：2 1-2-2 1-1-4-3 1 2 2 1A 0-3-6-4 0-3-6-4 1 2 2 1 0 3 6 4 0 0 0 0 1 2 2 1 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 2 2 1 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 0-2-5/3，下页第22页/共42页 例例2解线性方程组解线性方程组 x12x1x12x

19、2x2x22x32x34x3x42x43x4000-解：解：2 1-2-2 1-1-4-3 1 2 2 1A 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 0-2-5/3，一般解为一般解为 (x3，x4为自由未知量为自由未知量)x1x22x32x3(5/3)x4(4/3)x4-令令得基础解系得基础解系通解为通解为x1x2x3x42-2105/3-4/301 c2 c1(c1，c2是任意常数是任意常数).下页第23页/共42页 例例3解线性方程组解线性方程组 x1x1x1x2x2x2x3x32x3x43x43x4000-解：解：1-1 1-3 1-1-2 3 1-1-1 1A 0 0 1-2 0 0

20、0 0 1-1 0-1一般解为一般解为(x2，x4为自由未知量为自由未知量)x1x3x2x2x42x4通解为通解为得基础解系得基础解系x1x2x3x4 c2 c1(c1，c2是任意常数是任意常数).10211100令令下页第24页/共42页例例4 已知齐次线性方程组已知齐次线性方程组有非零解，求有非零解，求 解解：该方程组有非零解的充分：该方程组有非零解的充分 必要条件为必要条件为而所以所以下页第25页/共42页根据向量组线性组合的定义，有根据向量组线性组合的定义，有 定理定理3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组AXb有解的充要条件是有解的充要条件是：列向量列向量b是系数矩阵是系数矩阵A的的n

21、个列向量个列向量a a1,a a2,，a an的线性组合的线性组合.即即 .下页第第3 3节节 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组为非齐次线性方程组为 AXb,则则AXb可表示为向量组合式可表示为向量组合式若把矩阵若把矩阵A按列分块为按列分块为其中其中,3.1 非齐次线性方程组有解的条件非齐次线性方程组有解的条件第26页/共42页 性质性质3 若若h h1，h h2 是是AXb的解的解，则则h h1-h h2 是其导出方程组是其导出方程组AXo的解的解.这是因为这是因为A(h h1-h h2)Ah h1-Ah h2o.b-b 性质性质4 若若h h是是AXb的解的

22、解，x x导出方程组导出方程组AXo的解的解,则则x x h h是是AXb的解的解.这是因为这是因为A(x xh h)Ax xAhAh ob=b.下页3.2 3.2 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质第27页/共42页其中其中，k1 1,k2 2,kn-r 为任意常数为任意常数.定理定理4 设设h h0 0是是AX=b的一个特解的一个特解，x x1 1,x x2 2,x xn-r是其导出是其导出方程组方程组AX=o的基础解系的基础解系，则则AX=b的通解为的通解为下页3.3 3.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构 证明证明:设设h h是是AX=b的任意一个解，则

23、的任意一个解，则h h-h h0 0是其导出方程组是其导出方程组AX=o的一个解，从而可用的一个解，从而可用AX=o的基础解系的基础解系x x1 1,x x2 2,x xn-r表示，表示，即即 h h-h h0 0k1x x1k2x x2+kn-rx xn-r ,于是于是AX=b的任一解可表示为的任一解可表示为 h hh h0 0 k1x x1k2x x2+kn-rx xn-r ,k1,k2,kn-r为任意常数为任意常数.第28页/共42页求解求解非齐次非齐次线性方程组流程图线性方程组流程图下页增广矩阵增广矩阵(Ab)阶梯形矩阵阶梯形矩阵Br(Ab)=r(A)方程组无解方程组无解行最简形矩阵行

24、最简形矩阵C确定自由未知量及约确定自由未知量及约束未知量束未知量,给出一般解给出一般解求求AX=o的基础解系的基础解系写出通解写出通解初等行变换初等行变换NYr(Ab)=n唯一解唯一解初等行变换初等行变换YN求求AX=b的一个特解的一个特解 问题：问题：Cramer法则对应的线路在哪？法则对应的线路在哪？Cramer法则中法则中,当系数行列式当系数行列式 D=0时时,对应的线路在哪对应的线路在哪?第29页/共42页例例5解线性方程组解线性方程组(A b)=解：解：r1-r2r2-3r1r3-11r1r3-3r2下页显然显然 r(A)=2，r(Ab)=3 即即r(A)=2r(Ab)，所以，所以方

25、程组方程组无解无解.第30页/共42页 例例6解线性方程组解线性方程组 x1x1x1x2x2x2x3x32x3x43x43x4042-解：解：(A b)1-1 1 4 1-1-2-2 1-1-1 0-3 3 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1-1 0 2，-2 0-1(x2，x4为自由未知量为自由未知量)，x1x3x2x2x4+2x422得方程组的特解为得方程组的特解为，2020由于由于 ，令令方程组有无穷多组解方程组有无穷多组解，其一般其一般解为解为对应齐次方程组的一般解为对应齐次方程组的一般解为x1x3x2x2x4+2x4令令下页第31页/共42页 例例6解线性方程组解线性方程组 x1

26、x1x1x2x2x2x3x32x3x43x43x4042-基础解系为基础解系为得方程组的特解为得方程组的特解为，2020令令对应齐次方程组的一般解为对应齐次方程组的一般解为x1x3x2x2x4+2x4令令方程的通解为方程的通解为x1x2x3x4 k2 k1202010211100(k1，k2是任意常数是任意常数).下页第32页/共42页例例7.已知线性方程组为已知线性方程组为 讨论参数讨论参数 p,t 取何值时取何值时,方程组方程组有解？无解？有解时求通解有解？无解？有解时求通解.(1)当当2t时时，即即t-2时，方程组无解时，方程组无解；(2)当当2t时时，即即t-2时，方程组有解时，方程组

27、有解.解：解：(A b)=下页第33页/共42页当当8p,即即p8时时,通解为通解为(k为任意常数为任意常数).).下页一般解为一般解为 (1)当当2t时时，即即t-2时，方程组无解时，方程组无解；(2)当当2t时时，即即t-2时，方程组有解时，方程组有解.第34页/共42页通解为通解为 当当8p=,即即p=8时时,对应方程组的一般解为对应方程组的一般解为(k1,k2为任意常数为任意常数).下页第35页/共42页定理定理 给定给定n维列向量组维列向量组b b，a a1，a a2，a am，向量，向量b b可由向量组可由向量组a a1，a a2，a am 线性表示的充要条件是方程组线性表示的充要

28、条件是方程组AKAK b b有解有解.特别地，若方程组特别地，若方程组AKAK b b有唯一解，则线性表示式是唯一的有唯一解，则线性表示式是唯一的.补充例补充例 设设 b b能否用能否用a a1 1，a a2 2，a a3 3线性表示线性表示.若能若能,写出写出线性组合式线性组合式.解解 设设b b k1a1 k2a2 k3a3 ，得非齐次线性方程组得非齐次线性方程组由于由于 故方程组故方程组有唯一解有唯一解.b b可由能否用可由能否用a a1 1，a a2 2，a a3 3唯一线性表示唯一线性表示.解得解得所以所以下页第36页/共42页 例例8 若若A，B均为均为n阶方阵，阶方阵，ABO，则

29、，则r(A)+r(B)n.证证 设矩阵设矩阵B的列向量为的列向量为b b1 1,b,b2 2,b,bn，则，则 A(b b1 1,b,b2 2,b,bn)=(0,0,0)于是于是Ab bj0（j1，2，n)即即B的列向量的列向量b b1 1,b,b2 2,b,bn是齐次线性方程组是齐次线性方程组AX=0的解向量的解向量.设设r(A)=r，则齐次线性方程组，则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有的基础解系含有n-r 个解向量，于是个解向量，于是 向量组向量组b b1 1,b,b2 2,b,bn的秩的秩n-r，即，即r(B)n-r，于是，于是 r(A)+r(B)n.下页第37页/共42页例例9 设

30、设 求一个秩为求一个秩为2的三阶方阵，使的三阶方阵，使AB=O.解解 设矩阵设矩阵B的列向量为的列向量为b b1 1,b,b2 2,b b3，由，由ABO得得 A(b b1 1,b,b2 2,b,b3)=(0,0,0)由例由例8得得,B的列向量是的列向量是AXO的解向量的解向量.易见易见r(A)=1,于是可取于是可取AX=0的两个线性无关的解向的两个线性无关的解向量作为量作为B的前两列，第三列可取的任一解向量的前两列，第三列可取的任一解向量.AX0基础解系为基础解系为所以所求所以所求B为为下页第38页/共42页例例10 已知向量已知向量 是非齐线性方程组是非齐线性方程组的三个解，求该方程组的通

31、解的三个解，求该方程组的通解.解解 设该非齐线性方程组为设该非齐线性方程组为AX=b.h h1 1,h h2 2,h h3 3由于是由于是AX=b的解，所以的解，所以是其对应的齐次线性方程组是其对应的齐次线性方程组AX=0的解的解.因向量对应的分量不成比例，因向量对应的分量不成比例，故故 线性无关线性无关.因此因此 AX0的基础解系所含向量的个的基础解系所含向量的个数数(4-r(A)2，即，即r(A)2；又由于又由于A中有二阶子式中有二阶子式 则则r(A)2.所以所以r(A)=2.即即AX0的基础解系含有的基础解系含有2个向量，个向量，是是AX0的基础解系的基础解系 所以所以AX=b的通解为的

32、通解为 下页第39页/共42页1.1.设设A为为n阶方阵阶方阵，若齐次线性方程组若齐次线性方程组AX=o有非零解有非零解，则则它的系数行列式它的系数行列式（）2.2.设设X是是AXb的解的解，X是其对应齐次方程是其对应齐次方程AXo的解的解，则则XX是是（）的解的解一、填空题一、填空题1.1.n元齐次线性方程组元齐次线性方程组AXo存在非零解的充要条件是存在非零解的充要条件是（）A的列线性无关的列线性无关；A的行线性无关的行线性无关；A的列线性相关的列线性相关；A的行线性相关的行线性相关2.2.设设x x，x x是是AX=o的解的解，h h，h h是是AXb的解，则的解，则（）x xh h是是

33、AXo的解的解；h hh h为为AXb的解的解；x xx x是是AXo的解的解；x x-x x是是AXb的解的解二、单选题二、单选题=0AX=b下页第40页/共42页三、判断题三、判断题（1）无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩等于未知量的个数，则方程组就有唯一解；等于未知量的个数，则方程组就有唯一解；（2）n个方程个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩阵满秩；组的系数矩阵满秩；（3）非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个数必等于未知量的非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个数必等于未知量的个数；个数；（4）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有非零解非零解；（5）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解；三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解；（6）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩.(错)(对)(对)(对)(错)(错)下页第41页/共42页