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1、会计学1应用随机过程讲义一解析应用随机过程讲义一解析2023/2/262学习要求学习要求n n不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想n n学会把抽象的概率和实际模型结合起来第1页/共85页2023/2/263学习重点学习重点1.1.用随机变量表示事件及其分解基本理论2.2.全概率公式基本技巧3.3.数学期望和条件数学期望基本概念第2页/共85页2023/2/264第一讲第一讲第3页/共85页2023/2/265随机事件与概率随机事件与概率随机试验随机试验随机试验随机试验 第4页/共85页2023/2/266要点：n n在相同条件下，试验可重复进行；n n试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前
2、无法预先断言究竟会出现哪个结果。第5页/共85页2023/2/267样本点样本点 对于随机试验E，以表示它的一个可能出现的试验结果，称为E的一个样本点。样本空间样本空间 样本点的全体称为样本空间，用表示。第6页/共85页2023/2/268随机事件随机事件随机事件随机事件 粗略地说，样本空间粗略地说，样本空间的子集就是随机事件，的子集就是随机事件，用大写英文字母用大写英文字母A A、B B、C C等来表示。等来表示。事件的关系与运算事件的关系与运算事件的关系与运算事件的关系与运算 第7页/共85页2023/2/269第8页/共85页2023/2/2610第9页/共85页2023/2/2611示
3、性函数示性函数是最简单的随机变量用随机变量来表示事件第10页/共85页2023/2/2612用示性函数的关系及运算来用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算表示相关事件的关系及运算第11页/共85页2023/2/2613公理化定义公理化定义集类集类第12页/共85页2023/2/2614第13页/共85页2023/2/2615概率概率第14页/共85页2023/2/2616第15页/共85页2023/2/2617第16页/共85页2023/2/2618概率是满足概率是满足1)1)非负性；非负性；2)2)归一性；归一性；3)3)可列可加性；可列可加性；的集函数。的集函数。可测集可测集可测
4、集可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。点集即为可测集；反之称为不可测集。第17页/共85页2023/2/2619概率的性质概率的性质1.1.2.2.3.3.有限可加性有限可加性有限可加性有限可加性 第18页/共85页2023/2/26204.5.6.第19页/共85页2023/2/26217.7.8.8.可列次可加性可列次可加性可列次可加性可列次可加性9.9.概率连续性概率连续性概率连续性概率连续性第20页/共85页2023/2/2622这部分的详细讨论可以参见这部分的详细讨论可以参见 随机数学引论随机数学引论
5、林元烈，清华大学出版社林元烈，清华大学出版社林元烈，清华大学出版社林元烈，清华大学出版社第21页/共85页2023/2/2623n nBuffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。n n测度测度：满足非负性、可列可加性的集函数。第22页/共85页2023/2/2624第23页/共85页2023/2/2625实际上，设集类实际上，设集类以上集类和以上集类和A A生成相同的生成相同的-代数代数,都是上面提到的都是上面提到的一维一维BorelBorel-代数，即代数，即第24页/共85页2023/2/2626n n直观地说，直观地说，中包含一切开区间，闭区间，中包含一切开区间，闭区间，半开半
6、闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。由它们经可列次并交运算而得出的集类。第25页/共85页2023/2/2627第26页/共85页2023/2/2628 第27页/共85页2023/2/2629第28页/共85页2023/2/2630第29页/共85页2023/2/2631事件的独立性事件的独立性第30页/共85页2023/2/2632 几个事件的独立性几个事件的独立性第31页/共85页2023/2/2633第32页/共85页2023/2/2634第33页/共85页2023/2/2635第34页/共85页2023/2
7、/2636比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论？第35页/共85页2023/2/2637机遇偏爱有心人！机遇偏爱有心人！第36页/共85页2023/2/2638 一次成功的概率只有一次成功的概率只有2，是典型的小概率事件；，是典型的小概率事件；但重复次数足够多，如但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！至少一次成功就是大概率事件！第37页/共85页2023/2/2639只要功夫深，铁杵磨成针！第38页/共85页2023/2/2640随机变量随机变量随机变量随机变量定义解释定义解释定义解释定义解释第39页/共85页2023/2/2641离散型随机变量的示性函数表示法
8、离散型随机变量的示性函数表示法离散型随机变量的示性函数表示法离散型随机变量的示性函数表示法 这说明对于任一这说明对于任一d.v.rd.v.r.，总可以分解为互不交的事件，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。的示性函数的迭加。第40页/共85页2023/2/2642随机变量等价定义随机变量等价定义随机变量等价定义随机变量等价定义分布函数分布函数第41页/共85页2023/2/2643连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数微元法求概率密度函数微元法求概率密度函数第42页/共85页2023/2/2644二维随机变量的分布
9、函数二维随机变量的分布函数n n二维二维Borel-Borel-代数代数 n n由平面上矩形的全体生成的由平面上矩形的全体生成的 代数代数第43页/共85页2023/2/2645联合密度函数联合密度函数联合密度函数联合密度函数亦可用微元法求亦可用微元法求第44页/共85页2023/2/2646常用随机变量的分布（列出,期望方差）两点分布 正态分布二项分布 指数分布 Poisson分布 均匀分布 几何分布二维正态分布第45页/共85页2023/2/2647两点分布若r.v.X只取1和0两个值，且则称r.v.X服从参数为p的两点分布。简记为：XB(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)第46页/
10、共85页2023/2/2648EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p2第47页/共85页2023/2/2649EX=,DX=EX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12第48页/共85页2023/2/2650EX=1/,DX=1/2EX=,DX=2第49页/共85页2023/2/2651n n二维正态分布的优良性质二维正态分布的优良性质 X,Y X,Y相互独立相互独立 X,YX,Y不相关不相关第50页/共85页随机变量的数字特征随机变量的数字特征及条件数学期望及条件数学期望第51页/共85页2023/2/2653数学期望（复习）数学期望（复习）数学期望（复习）数学
11、期望（复习）“加权平均加权平均加权平均加权平均”为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-SR-S积积积积分的概念。分的概念。分的概念。分的概念。第52页/共85页2023/2/2654黎曼斯蒂尔吉斯积分黎曼斯蒂尔吉斯积分第53页/共85页2023/2/2655任分任取任分任取求和求和取极限取极限第54页/共85页2023/2/2656第55页/共85页2023/2/2657 在定义了在定义了R-SR-S积分之后，我们可以将所有随机变量积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式
12、进行统一。的数学期望形式进行统一。第56页/共85页2023/2/2658第57页/共85页2023/2/2659数学期望的性质（数学期望的性质（E|Xi|）第58页/共85页2023/2/2660 交换求和顺序交换求和顺序第59页/共85页2023/2/2661同理，对连续型随机变量有相似的结论成立同理，对连续型随机变量有相似的结论成立第60页/共85页2023/2/2662第61页/共85页2023/2/2663第62页/共85页2023/2/2664第63页/共85页2023/2/2665第64页/共85页2023/2/2666ChebyshevChebyshev不等式不等式第65页/共
13、85页2023/2/2667 条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望第66页/共85页2023/2/2668第67页/共85页2023/2/2669第68页/共85页2023/2/2670用示性函数的线性组合表示离散型随机变量用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面（见前面“随机变量随机变量”部分部分）第69页/共85页2023/2/2671例例：将概率运算纳入求期望运算的范畴将概率运算纳入求期望运算的范畴第70页/共85页2023/2/2672理解理解E(X|Y)是的函数，也是Y()的函数，即Y()取值不同，E(X|Y)也取相应的值；当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是
14、离散型随机变量。第71页/共85页2023/2/2673第72页/共85页2023/2/2674推广至一般随机变量推广至一般随机变量推广至一般随机变量推广至一般随机变量第73页/共85页2023/2/2675将将x替换成替换成X第74页/共85页2023/2/2676求条件数学期望的一般步骤求条件数学期望的一般步骤求条件数学期望的一般步骤求条件数学期望的一般步骤n n先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条件密度函数；n n根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望；n n将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y)第75页/共85页2023/2/2677条
15、件数学期望的性质条件数学期望的性质设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y),Eg(X)h(Y)存在，则(重要重要!)全期望公式全期望公式第76页/共85页2023/2/2678第77页/共85页2023/2/2679将全概率公式纳入全期望公式的范畴将全概率公式纳入全期望公式的范畴第78页/共85页2023/2/2680重要结论：重要结论：重要结论：重要结论：E E(X|YX|Y)=E=E(E E(X|Y,ZX|Y,Z)|Y|Y)=E=E E(X|Y)|Y,ZE(X|Y)|Y,Z 以示性函数为例，验证上面的结论以示性函数为例，验证上面的结论第79页/共85页2023/2/2681同理可验证另一个
16、等号同理可验证另一个等号第80页/共85页2023/2/2682例例：第81页/共85页2023/2/2683由由 X2和和Y3独立独立用示性函数表示用示性函数表示X2第82页/共85页2023/2/2684第83页/共85页2023/2/2685推广：条件为两个随机变量推广：条件为两个随机变量E(X|Y,Z)E(X|Y,Z)如：如：男男 南南 女女 北北仍然以离散情况下的情形为例：仍然以离散情况下的情形为例：先求出先求出E(X|Y=yE(X|Y=yj j,Z=z,Z=zk k)g(yg(yj j,z,zk k)，依次可写出，依次可写出E(X|Y,Z)E(X|Y,Z)的分布律。的分布律。g(yj,zk)是关于yj,zk的二元函数第84页/共85页