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1、会计学1线性代数线性代数06矩阵的秩矩阵的秩2第三节 矩阵的秩一、概念的引入一、概念的引入用初等变换把矩阵 化为标准形.解第1页/共36页3问题:在 的标准形中，左上角的单位矩阵的 阶数是否唯一呢？在第一节中，已经指出可以证明标准形的左上角的单位阵的阶数是唯一的，完全由 确定.这个数也就是 的行阶梯形中非零行的行数，这个便是矩阵 的秩.第2页/共36页4二、子式二、子式定义 在 矩阵 中，任取 行与 列 ，位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式.例如 是 的一个2阶子式，的2阶子式共有 个.一般地，矩阵 的 阶子式共有 个.第3页/
2、共36页5三、矩阵的秩三、矩阵的秩定义 设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵的秩，记作 或 .规定：零矩阵的秩等于0.例1 求矩阵 和 的秩.第4页/共36页6在 中，容易看出一个2阶子式 的3阶子式只有一个因此在 中，由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零，因此这里的两个行列式分别是 和 的最高阶非零子式第5页/共36页7说明根据行列式的展开法则知，在 中当所有 阶子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式
3、；矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则第6页/共36页8矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.对于 阶矩阵 ，当 时，称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 ，当 时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.第7页/共36页9四、四、矩阵的秩的计算矩阵的秩的计算定理3 若 ，则即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变
4、换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明第8页/共36页10例2 设求矩阵 的秩，并求 的一个最高阶非零子式.解析：根据定理3，为求 的秩，只需将 化为行阶梯形矩阵.第9页/共36页11所以大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换第10页/共36页12再求 的一个最高阶非零子式.因此 在 中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到，的子式都是 的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式第11页/共36页13说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.第12页/共36页14例3 设已知 ，求 与 的值.解析：这是一道
5、已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换.当 时，的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.第13页/共36页15因为 ，故即说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.第14页/共36页16例4 设求矩阵 及矩阵 的秩.解析：此题中矩阵 的前4列与 的列相同，如果用初等行变换将 化为行阶梯形 ，则 就是 的行阶梯形，故从 中可同时看出 及第15页/共36页17由此可见，第16页/共36页18注：把此题中的 看作方程组的系数矩阵，看作 常数项列，则 就是增广矩阵，由 的行阶梯 形矩阵知，这
6、个方程组 无解，因为行 阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程第17页/共36页19五、矩阵的秩的性质五、矩阵的秩的性质若 为 矩阵，则 若 ，则 若 可逆，则 特别地，当为列向量时，有即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.证明第18页/共36页20矩阵的秩的性质 若 则证明 （下节定理8）（下章例13）第19页/共36页21关于矩阵的秩的性质的证明题例5 设 为 阶矩阵，证明证因为由性质6，有而所以第20页/共36页22例6 设 为 矩阵，为 矩阵，证明证根据性质7，有而 为 阶矩阵，所以关于矩阵的秩的性质的证明题第21页/共36页23例7 证明 的充分必要条件是存在非零
7、列向量 和非零行向量 ，使证充分性：根据矩阵的秩的性质7，由 有另一方面，与 都非零，不妨设则 的 元 有 于是关于矩阵的秩的性质的证明题第22页/共36页24必要性：因为所以的标准形为根据矩阵等价理论知，存在可逆矩阵 和可逆矩阵 ，使于是关于矩阵的秩的性质的证明题第23页/共36页25其中分别是非零列向量和非零行向量.关于矩阵的秩的性质的证明题第24页/共36页26六、小结六、小结v矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数 定义的；v矩阵的秩的求法：根据定义，求最高阶非零子式的阶数，根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用 初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩 阵的行数就是矩阵的秩；v矩阵的秩
8、的性质.v可逆矩阵的特征刻画：阶矩阵 可逆第25页/共36页27第26页/共36页28作业：P79 9.(2)(3)P80 11.第27页/共36页29定定理理3 3的的证证明明证先证明：若 经过一次初等行变换变为 ，则设 ，且 的某个 阶子式下面分3种情况证明，在 中总能找到与 相对应的 阶子式 ，且由于因此从而第28页/共36页30第29页/共36页31（2）当 时，在 中总能找到与 相对应的 阶子式 ，且由于因此从而（3）当 时，由于对于变换 时结论成立，因此只需考虑 这一特殊情形.1)的 阶非零子式 不包含 的第1行，这时 也是 的 阶非零子式，故2)的 阶非零子式 不包含 的第1行，
9、这时把 中与 对应的 阶子式 记作第30页/共36页32若 ，则 ；若 ，则 也是 的 阶子式，由 ，知 与不同时为0，总之，中存在 阶非零子式 或 ，故 以上证明了若 经过一次初等行变换变为 ，则第31页/共36页33 由于 亦可经过一次初等行变换变为 ，故也有 因此 经过一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.对于初等列变换的情形，设 经初等列变换变为 ，则 经初等行变换变为 ，由以上证明知又因此总之，若 经有限次初等变换变为 ，则Back第32页/共36页34矩矩阵阵秩秩的的性性质质的的证证明明证因为 的最高阶非零子式总是 的非零子式，所以同理有两式和起来即为下证另一个不等号，设则 和 的列阶梯形中分别含有 个和 个非零列，设为用初等列变换分别把 和 化为列阶梯形 和 ，第33页/共36页35从而由于 中只含 个非零列，因此，而故即Back矩阵秩的性质的证明第34页/共36页36证设则于是因此Back矩阵秩的性质的证明第35页/共36页