《线性代数线性方程组.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数线性方程组.pptx（49页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、会计学1线性代数线性方程组线性代数线性方程组4.1 线性方程组的概念线性方程组的概念n n内容要点：内容要点：n n 线性方程n n 线性方程组n n 线性方程组解的特殊情况 第1页/共49页4.1.1线性方程线性方程 n n 定义定义定义定义4.1.14.1.1 方程方程 称为称为n n 元线性方程元线性方程元线性方程元线性方程 ，其中，其中，为变量，为变量，为常数。满足方程为常数。满足方程 的一个的一个n n元有序数组称为元有序数组称为n n元元元元方程方程 的的一个解。一个解。一个解。一个解。n n 定义定义定义定义4.1.2 4.1.2 设非零方程设非零方程 的首非零项的首非零项系数是
2、系数是 对对 的任一组数可以得到方程的一个的任一组数可以得到方程的一个特解特解特解特解，其中变量，其中变量 为为自由变量自由变量自由变量自由变量。方程的所有解的集合称为方程方程的所有解的集合称为方程 的的通通通通解解解解或或一般解一般解一般解一般解。第2页/共49页n n例如 是一个二元方程，不同时为零时，方程有无穷多解，如 为二元方程 的一个特解，为二元方程的通解；当 同时为零,若时，方程无解；当 同时为零,若 时，方程有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。第3页/共49页例例例例4.1.1 4.1.1 求三元方程求三元方程求三元方程求三元方程 的两个特解和通解。的两个特解和通解。的两个特
3、解和通解。的两个特解和通解。n n解解：这里 为首非零元，为自由变量，给 取任意值，就可求出 不妨设 代入方程，就可得到 故 或 为三元方程 的一个特解；再设 代入方程，就可得到 故 或 为三元方程 的又一个特解；第4页/共49页 要求方程 的通解，需要给自由变量 ,取任意值，不妨设 代入方程就可得到 ，故 或 为三元方程 的通解第5页/共49页4.1.2 n元线性方程组元线性方程组 n n定义定义4.1.3线性方程组称为n元线性方程组。元线性方程组。n n其矩阵形式为 (2)其中 为第 个方程第 个变量的系数，为第个方程的常数项，这里 。第6页/共49页n n矩阵 分别称为线性方程组(1)的
4、系数矩阵、未知数系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵矩阵和常数项矩阵。n n矩阵 称为线性方程组(1)的增增广矩阵广矩阵。n n当常数项不全为零时，称为非齐非齐次线性方程组次线性方程组;当常数项全为零，即 时,线性方程组(1)称为齐次线性方程组，齐次线性方程组，也称为非非齐次线性方程组的导出组齐次线性方程组的导出组。n n当线性方程组有无穷多解时，其所有解的集合称为方程组的通解通解或一般解一般解。第7页/共49页4.1.3 三角形方程组与阶梯形方程组三角形方程组与阶梯形方程组 n n定义定义定义定义4.1.4 4.1.4 线性方程组线性方程组称为称为 元三角形线性方程组。元三角形线性方程组。元三角
5、形线性方程组。元三角形线性方程组。n n三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且第未知量的个数，且第 个方程第个方程第 个变量个变量 的系数的系数 而而n n三角形线性方程组是一类特殊的情形，解法也简单，三角形线性方程组是一类特殊的情形，解法也简单，由克莱姆法则可以判断，其解惟一，一般只需要从由克莱姆法则可以判断，其解惟一，一般只需要从最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程组的全部解组的全部解 第8页/共49页n n定义定义4.1.6 线性方程组 中自上而下的各方程所含未知量个数依
6、次减少，这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组。元阶梯形线性方程组。n n当方程组所含方程的个数等于未知量的个数时，阶梯形线性方程组即为三角形线性方程组，因此说三角形线性方程组是阶梯形线性方程组的特殊情况。第9页/共49页n n线性方程组（6）与下列方程组同解n n因此，阶梯形线性方程组解法可仿照三角形线性方程组的解法，从最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程组的全部解。第10页/共49页4.2 消元法消元法n n内容要点内容要点 线性方程组的初等变换 非齐次线性方程组的消元解法 齐次线性方程组的消元解法第11页/共49页4.2.1线性方程组的初等变线性方程组的初等变换换 n n定义定
7、义定义定义4.2.1 4.2.1 将线性方程组将线性方程组(1)(1)交换某两个方程的位置交换某两个方程的位置;(2)(2)用一个非零数乘某一个方程的两边用一个非零数乘某一个方程的两边;(3)(3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去。将一个方程的倍数加到另一个方程上去。以上这三种变换称为线性方程组的以上这三种变换称为线性方程组的初等变换初等变换初等变换初等变换。n n 用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种初等变换：交换两个方程；用组反复实施以下三种初等变换：交换两个方程；用非零数乘某方程；将一个方程（行）的倍数加到另非零数乘某方
8、程；将一个方程（行）的倍数加到另一个方程的过程。一个方程的过程。第12页/共49页n n线性方程组经一次或数次初等变换后，方程组的解不变。即初等变换总是把线性方程组变成同解方程组,经过初等变换后得到的方程组与原方程组等价。n n消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组,由于这个阶梯形方程组与原线性方程组同解,解这个阶梯形方程组得到的解就是原方程组的解。n n注意：注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是惟一的,所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。第13页/共49页n nn元线性方程组的一般形式为 当常数项 ，至少有一个不为零时，线性方程组为非齐次线性方
9、程组；第14页/共49页n n当常数项全为零时，即 =0线性方程组为齐次线性方程组，这时方程组的一般形式为 第15页/共49页4.2.2 非齐次线性方程组的消元解法非齐次线性方程组的消元解法n n一般来说，对元非齐次线性方程组n n反复应用初等变换，可化为阶梯形方程组 第16页/共49页n n不妨设为n n结论结论：1.如果 ，则线性方程组无解；n n2.如果 ，则线性方程组有解：(1)如果 ，则线性方程组可化为n n其中 ,则线性方程组有唯一解。第17页/共49页n n(2)当 时，方程组可以化为n n其中 ,将其改写成 其中未知量 称为自由未知量。任取一组数就可以得到一组解。所以方程组有无
10、穷多组解。第18页/共49页例例例例4.2.24.2.2 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组 n n解解解解：原线性方程组化成原线性方程组化成第19页/共49页4.2.3齐次线性方程组的消齐次线性方程组的消元解法元解法 n n齐次线性方程组的一般形式为齐次线性方程组的一般形式为 若反复应用初等变换，则可化为若反复应用初等变换，则可化为 第20页/共49页n n不妨设为不妨设为n n结论结论结论结论：1.1.如果如果 ，则齐次线性方程组肯定有，则齐次线性方程组肯定有解，至少有零解。解，至少有零解。n n2.2.（1 1）如果）如果 ，则线性方程组可化
11、为，则线性方程组可化为n n其中其中 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。则线性方程组有唯一解，即仅有零解。第21页/共49页n n(2)当 时，方程组可以化为n n其中 将其改写成n n其中未知量 称为自由未知量。任取一组数就可以得到一组解。所以方程组有无穷多组解。第22页/共49页例例例例4.2.44.2.4 解齐次线性方程组解齐次线性方程组解齐次线性方程组解齐次线性方程组n n解解：原线性方程组化成 第23页/共49页例例例例4.2.54.2.5 解齐次线性方程组解齐次线性方程组解齐次线性方程组解齐次线性方程组求求求求 （1 1）当取何值时仅有零解；（）当取何值时仅有零解；（）当取何值时仅
12、有零解；（）当取何值时仅有零解；（2 2）当取何值时有无穷组解。）当取何值时有无穷组解。）当取何值时有无穷组解。）当取何值时有无穷组解。解:所以当 时仅有零解；当 时有无穷组解。第24页/共49页4.3 高斯消元法高斯消元法 内容要点内容要点n n线性方程组的矩阵n n齐次线性方程组的消元解法n n非齐次线性方程组的消元解法n n线性方程组解的存在性第25页/共49页n n如果用矩阵表示其系数及常数项,则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。n n用消元法解线性方程组的过程,相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵(消元过程)再出阶梯形矩阵继续进行
13、初等行变换(回代过程)，就求得方程组的解回代过程的最后一个矩阵恰为简化的阶梯形矩阵简化的阶梯形矩阵。第26页/共49页例例例例4.3.24.3.2 用矩阵消元法求解下列线性方程组用矩阵消元法求解下列线性方程组用矩阵消元法求解下列线性方程组用矩阵消元法求解下列线性方程组:n n解对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：解对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：n n最后的阶梯形矩阵对应的阶梯形方程最后的阶梯形矩阵对应的阶梯形方程 由由0=0=4 4可知，这是一个矛盾方程组，无解所以可知，这是一个矛盾方程组，无解所以原方程组也无解。原方程组也无解。第27页/共49页例例例例4.3.34.3.3解下列线性方
14、程组解下列线性方程组解下列线性方程组解下列线性方程组:n n解解解解：对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为即即 方程组有无穷多个解。方程组有无穷多个解。第28页/共49页n n由上面的阶梯形矩阵继续进行初等行变换化为简化由上面的阶梯形矩阵继续进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵，完成回代过程的阶梯形矩阵，完成回代过程(接上面的最后一个接上面的最后一个矩阵矩阵)：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为 与原方程已同解。与原方程已同解。第29页/共49页n n取自由未
15、知量 就可以确定对应的 值，从而得到方程组的全部解(或一般解)：n n因此原方程组有无穷多组解。这时，变量为自由未知量。第30页/共49页解的情况解的情况n n对一般的线性方程组对于增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵 或第31页/共49页n n1.当 时,方程组无解；n n2.当 时,方程组与三角形方程组同解，且解惟一。3.当 时,方程组与阶梯形方程组同解，且解有无穷多组.第32页/共49页4.3.2 线性方程组解的存在性线性方程组解的存在性n n定理定理定理定理4.3.14.3.1 n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解的有非零解的充充充充要条件要条件要条件要条件是系数矩阵是系
16、数矩阵 的秩的秩 。n n推论推论推论推论4.3.14.3.1 齐次线性方程组齐次线性方程组 有惟一解的充分必有惟一解的充分必要条件是要条件是 。即：即：n n推论推论推论推论4.3.24.3.2 线性方程组线性方程组 有无穷多组解的充分必有无穷多组解的充分必要条件是要条件是 。即：即：。n n推论推论推论推论4.3.3 4.3.3 若方程组若方程组 中有中有 ，即方程个数，即方程个数小于末知量个数时，方程组小于末知量个数时，方程组 必有非零解。必有非零解。第33页/共49页n n推论推论推论推论4.3.4 4.3.4 若方程组若方程组 中有中有 ，即方程个数，即方程个数等于末知量个数时，方程
17、组有非零解的充要条件是等于末知量个数时，方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。系数行列式等于零。n n定理定理定理定理4.3.24.3.2 n n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 有解的充要有解的充要条件是系数矩阵条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩等于增广矩阵 的秩的秩,即即 。n n推论推论推论推论4.3.5 n4.3.5 n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 无解。无解。第34页/共49页4.4齐次线性方程组齐次线性方程组 内容要点内容要点n n 解向量的概念n n 齐次线性方程组解的性质n n 基础解系的定义n n 基础解系的求法 n n解空间及其维数第35页/共49页4.
18、4.1解向量的概念解向量的概念n n设有齐次线性方程设有齐次线性方程 (1)(1)若记系数矩阵为若记系数矩阵为未知数向量为未知数向量为 则方程组则方程组(1)(1)可记为：可记为：(2)(2)称方程称方程(2)(2)的解的解 为方程组为方程组(1)(1)的的解向量。解向量。解向量。解向量。第36页/共49页4.4.2 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质:n n性质性质1 若 为方程组(2)的解,则 也是该方程组的解。n n性质性质2 若 为方程组(2)的解,k为实数,则 也是(2)的解。n n性质性质3 若 为方程组(2)的解，为任意实数，则有：也是该方程组的解。第37页/共49页4
19、.4.3 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系n n定义定义定义定义4.3.14.3.1 齐次线性方程组齐次线性方程组 的有限个解的有限个解 满足满足:(1):(1)线性无关线性无关;(2)(2)的任意一个解均可由的任意一个解均可由 线性表示。线性表示。则称解向量组则称解向量组 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 的一个的一个基础解系基础解系基础解系基础解系。n n定义定义定义定义4.3.24.3.2设设AA为为 矩阵矩阵,则则n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此线性方程组的，因此线性
20、方程组 的全体解构成的集合的全体解构成的集合VV是是一个向量空间一个向量空间,称此向量空间为齐次线性方程组称此向量空间为齐次线性方程组 的的解空间解空间解空间解空间。第38页/共49页n n当 时,方程组 只有零解,此时，解空间V只含有一个零向量,解空间V的维数为0，当一个齐次线性方程组只有零解时,该方程组没有基础解系;n n当系数矩阵的秩 时,解空间V的维数 齐次线性方程组有非零解时,一定有基础解系n n定理定理4.4.1 对于齐次线性方程组 若 ,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于 ,其中n是方程组所含未知量的个数。第39页/共49页例例例例 4.4.34
21、.4.3求解方程组求解方程组求解方程组求解方程组 n n解解：对系数矩阵A施行初等行变换：得与原方程组同解的方程组由此得第40页/共49页 取 代入上式，解得 从而得到一个基础解系 故方程组的通解为 即 第41页/共49页4.5 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 内容要点：内容要点：非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组的通解 方程组有解的几个等价命题第42页/共49页4.5.1非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质n n性质性质1 设 是非齐次线性方程组 的解,为对应的齐次线性方程组 的解，则 是非齐次线性方程组 的解。n n性质性质2 设 是非齐次线性方程组 的解,则 是对应
22、的齐次线性方程组 的解。第43页/共49页4.5.2 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构n n定理定理4.5.1 设 是非齐次线性方程组 的一个解,是其导出组（对应齐次线性方程组）的通解,则 是非齐次线性方程组 的通解。第44页/共49页4.5.3 线性方程组解的等价命题线性方程组解的等价命题n n定理定理定理定理4.5.2 4.5.2 设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组 ，而，而 是系数矩阵是系数矩阵 的列向量组，则下列四个命题等价：的列向量组，则下列四个命题等价：n n (1)(1)非齐次线性方程组非齐次线性方程组 有解；有解；n n (2)(2)向量向量 能由向量组能由向量组 线性表示；线性表示；n n (3)(3)向量组向量组 与向量组与向量组 ，等价；，等价；n n (4)(4)。第45页/共49页例例例例4.5.2 4.5.2 求解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组 n n解：解：解：解：对增广矩阵作初等行变换对增广矩阵作初等行变换 故方程组有无穷多解，原方程组同解于与方程组故方程组有无穷多解，原方程组同解于与方程组 所以方程组的通解为所以方程组的通解为第46页/共49页第47页/共49页第48页/共49页