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1、第二部分代数引论第二部分代数引论第一页，本课件共有21页要求掌握的内容要求掌握的内容v群群v环的概念环的概念v域的概念域的概念v会判断会判断v子群、陪集的概念子群、陪集的概念v线性空间的概念线性空间的概念第二页，本课件共有21页欧几里德除法欧几里德除法v设设b是正整数，则任意正整数是正整数，则任意正整数a b皆可唯一地表示皆可唯一地表示成成a=qb+r 0 r b，若，若a=bq+r，则，则(a,b)=(b,r)根据该定理可以求根据该定理可以求2个数的最大公约数个数的最大公约数v欧几里德算法：给定任意正整数欧几里德算法：给定任意正整数a,b，必存在有整，必存在有整数数A，B使使(a,b)=Aa
2、+Bbv最小公倍数：设最小公倍数：设a,b为任意两个正整数，若有一整为任意两个正整数，若有一整数数M使使a|M,b|M，则称，则称M是是a,b的公倍数，其中最的公倍数，其中最小的正公倍数称为最小公倍数，记为小的正公倍数称为最小公倍数，记为a,b或或LCM(a,b)。第四页，本课件共有21页同余和剩余类同余和剩余类同余：若整数：若整数a和和b被同一正整数被同一正整数m除时，有相同的余数，则称除时，有相同的余数，则称a、b关于模关于模m同余，记为同余，记为剩余类(Residue)：给定正整数：给定正整数m，可将全体整数按余数相同进行分，可将全体整数按余数相同进行分类，可获得类，可获得m个剩余类，分
3、别用个剩余类，分别用第五页，本课件共有21页群群(Group)的定义的定义 设设G是一个非空集合，并在是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算内定义了一种代数运算“。”，若满足：，若满足：1)封闭性。对任意，恒有2)结合律。对任意，恒有3)G中存在一恒等元e,对任意，使4)对任意，存在a的逆元，使则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示，若为乘法，恒等元称为单位元第六页，本课件共有21页Examples:1、全体整数2、全体偶数3、全体实数6、模m的全体剩余类,4、全体复数5、全体有理数对加法构成群对乘法不构成群对加法构成群对加法构成群对加法构成群除0元素外，对乘法构成群对加法构成群除0元素
4、外，对乘法构成群对加法构成群除0元素外，对乘法构成群对模m加法构成群对模m乘法，除0外，根据m值不同第七页，本课件共有21页有关群的几个概念有关群的几个概念v群的阶群的阶(Order of a Group)v有限群有限群(Finite Group)、无限群、无限群(Infinite Group)v加群、乘群加群、乘群v阿贝尔群阿贝尔群(Abel Group)v半群、若群半群、若群第八页，本课件共有21页群群v群群G的单位元是唯一的的单位元是唯一的v群中每个元素的逆元是唯一的群中每个元素的逆元是唯一的v若若a,bG，则，则(a*b)-1=b-1*a-1v给定给定G中任意两个元素中任意两个元素a和
5、和b，方程，方程a*x=b和和y*a=b在在G中有唯一解中有唯一解v令令G为二元运算为二元运算*下的一个群，下的一个群，H为为G的一个非空的一个非空子集，若子集，若 i)H在二元运算在二元运算*下封闭，下封闭，ii）H中任意中任意元素元素a，a的逆元仍在的逆元仍在H中，则中，则H是是G的一个子群。的一个子群。第九页，本课件共有21页四、环四、环(Ring)的定义的定义v非空集合非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足：且满足：1)集合集合R在加法运算下构成阿贝尔群在加法运算下构成阿贝尔群 2)乘法有封闭性乘法有封闭性 3)乘法结合律成立，且加和乘之间有分
6、配律乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律第十页，本课件共有21页Examples:1、全体整数2、全体偶数3、全体实数6、模m的全体剩余类,4、全体复数5、全体有理数构成环第十一页，本课件共有21页五、有关环的几个概念五、有关环的几个概念v有单位元环（对于乘法而言）有单位元环（对于乘法而言）v可换环可换环(Commutative Ring)v有零因子环有零因子环v整环整环(Domain)，既无零因子环既无零因子环v除环除环(有单位元、每个非零元素有逆元，非可换的有单位元、每个非零元素有逆元，非可换的环环)第十二页，本课件共有21页六、域六、域(Field)的定义的定义v非空集合非空集合F，若，
7、若F中定义了加和乘两种运算，且满中定义了加和乘两种运算，且满足：足：1)F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 2)F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为等元记为1 3)加法和乘法之间满足分配律加法和乘法之间满足分配律第十三页，本课件共有21页Examples:1、全体整数2、全体偶数3、全体实数6、模m的全体剩余类,4、全体复数5、全体有理数设q为素数，则整数全体关于模q的剩余类在模q的运算下(模q加和乘)构成q阶有限域GF(q)构成环，不构成域构成环，不构成域构成域构成域构成域第十四页，本课件共有21
8、页子群的定义子群的定义v子群：若群子群：若群G的非空子集的非空子集H对于对于G中定义的代数运中定义的代数运算也构成群，称算也构成群，称H为为G的子群的子群v群群G的非空子集的非空子集H为为G的子群的充要条件：的子群的充要条件：1）若）若aH,bH,则则abH；2）若）若aH，则，则a-1HvH是是G的子群的充要条件：对任何的子群的充要条件：对任何a，bH，恒有，恒有ab-1H第十五页，本课件共有21页陪集的概念陪集的概念v定义：定义：H是群是群G的一个子群，的一个子群，g是是G中的任意一个中的任意一个元素，将元素，将g左（右）乘左（右）乘H中的每一个元素，得到一中的每一个元素，得到一个集合，记
9、为个集合，记为gH（Hg），该集合为子群），该集合为子群H的一个的一个左（右）陪集，左（右）陪集，g为该陪集的陪集首。为该陪集的陪集首。Examples:对整数全体，以3为倍数的整数全体是一个子群，可按此子群对全体整数划分陪集第十六页，本课件共有21页陪集的概念陪集的概念若H是G的子群，则可利用H把G划分等价类用g1,g2,表示群G中的元素，用h1,h2表示子群H中的元素子群H左陪集左陪集左陪集陪集首第十七页，本课件共有21页陪集的性质陪集的性质v令令H为群为群G在二元运算在二元运算*下的一个子群，则下的一个子群，则H的陪的陪集中任意两个元素互不相同集中任意两个元素互不相同v对群对群G的子群的
10、子群H，其任意两个不同的陪集之间没有，其任意两个不同的陪集之间没有相同的元素相同的元素vG中每个元素出现且仅出现在一个中每个元素出现且仅出现在一个H的陪集中的陪集中vH的所有不同陪集之间互不相交的所有不同陪集之间互不相交vH的所有不同陪集并构成群的所有不同陪集并构成群G拉格朗日定理：设拉格朗日定理：设G为一个为一个n阶群，阶群，H为一个为一个m阶子群。阶子群。则则m可以整除可以整除n且划分且划分G/H由由n/m个个H的陪集构成。的陪集构成。（有限群的子群的阶数，一定是整个群的阶数的因子）（有限群的子群的阶数，一定是整个群的阶数的因子）第十八页，本课件共有21页线性空间线性空间v如果域如果域F上
11、的上的n重元素集合重元素集合V满足下述条件：满足下述条件：1、V关于加法构成阿贝尔群关于加法构成阿贝尔群 2、对对、对对V中任何元素中任何元素v和和F中任何元素中任何元素c，cv V。我们称我们称V中元素中元素v为矢量为矢量(向量向量)，F中元素中元素c为纯量或标量，为纯量或标量，称乘称乘c运算为数乘。运算为数乘。3、分配律成立，、分配律成立，对任何对任何u，v V，c，d F恒有：恒有：c(u+v)=cu+cv ，(c+d)v=cv+dv 4、若若c,d F,v V,有有:(cd)v=c(dv),1v=v,1 F 则称则称V是域是域F上的一个上的一个n维线性空间或矢量空间，维线性空间或矢量空
12、间，一般用一般用VnF表示。表示。v几几个个概概念念：线线性性子子空空间间，线线性性组组合合，线线性性相相关关，线线性性独独立，张成，基底，维数立，张成，基底，维数 第十九页，本课件共有21页线性结合代数线性结合代数v域域F上上的的有有限限维维线线性性空空间间A，若若元元素素之之间间定定义义了了乘乘法，法，且有如下性质：且有如下性质：(1)乘法封闭。乘法封闭。对每一个对每一个a,b A，恒有恒有ab A。(2)乘法结合律成立乘法结合律成立:对每一个对每一个a,b,c A恒有恒有 (ab)c=a(bc)。(3)分配律成立分配律成立 a(a ab+b bc)=a a(ab)+b b(ac)(a a
13、b+b bc)a=a a(ba)+b b(ca)a a,b b F，a,b,c A 则则称称A是是一一个个线线性性结结合合代代数数。它它的的阶阶数数定定义义为为它它作作为为线线性性空空间间时时的的维维数数。如如果果A关关于于乘乘法法有有逆逆元元(0元除外元除外)，则称则称A为可除代数。为可除代数。第二十页，本课件共有21页矩矩 阵阵v置换，相等，相加，相乘置换，相等，相加，相乘v矩阵相乘不满足交换律矩阵相乘不满足交换律v矩阵的分块，矩阵的秩矩阵的分块，矩阵的秩v矩阵的初等运算，等价矩阵，梯形标准阵矩阵的初等运算，等价矩阵，梯形标准阵v非奇异矩阵，奇异矩阵零化空间非奇异矩阵，奇异矩阵零化空间v范德蒙矩阵范德蒙矩阵第二十一页，本课件共有21页