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1、第六章拉普拉斯变换第一页，本课件共有39页第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 6.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6.2 拉普拉斯变换反演拉普拉斯变换反演6.3 应用例应用例第二页，本课件共有39页第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、一、拉普拉斯变换拉普拉斯变换的定义的定义1、定义：、定义：对于任意函数对于任意函数 f(t)，设设 t 0，f(t)0,只要只要 足足 够大够大，g(t)=f(t)e-t 的付氏的付氏（积分）（积分）变换为变换为令令 ，其中，其中 称为称为收敛指标收敛指标。记记 第三页，本课件共有39页称称
2、 为为 f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换.记积分记积分称称 为为 f(t)的拉普拉斯的拉普拉斯变换函数变换函数；其中积分其中积分 称为称为 f(t)的拉普拉斯的拉普拉斯积分积分；称称 为拉普拉斯变换的为拉普拉斯变换的核核；第四页，本课件共有39页G()的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换2、拉普拉斯变换的原函数和像函数、拉普拉斯变换的原函数和像函数令令 得得黎曼黎曼-梅林反演公式梅林反演公式称称 f(t)为原函数为原函数称称 为为像函数像函数 第五页，本课件共有39页例例1：求：求 L1解：解：第六页，本课件共有39页例例2：求：求 Lt 解：解：第七页，本课件共有39页同理可得同理可得：第八页，
3、本课件共有39页例例3：求：求 Lest ,s为常数为常数。解：解：第九页，本课件共有39页例例4：求：求 Lt est ,s为常数为常数。解：解：同理可得同理可得：第十页，本课件共有39页例例5：求：求 Lt f(t),其中其中f(t)为任意函数为任意函数。解：解：即即：同理同理：第十一页，本课件共有39页二、拉普拉斯变换的性质二、拉普拉斯变换的性质证明证明:因为因为1、是在是在 的半平面上的半平面上的解析函数。的解析函数。对于实常数对于实常数 ，考察积分，考察积分（一）拉普拉斯变换函数（一）拉普拉斯变换函数 的基本性质的基本性质 有界有界.第十二页，本课件共有39页即即 即即 在在 半平面
4、上半平面上处处可导。处处可导。即在即在 的半平面上的的半平面上的解析函数。解析函数。所以，所以，可以交换积分次序，可以交换积分次序，第十三页，本课件共有39页因为因为证明证明:考察考察 的收敛性。的收敛性。2、当、当 ，而，而 时，时，存在，而且满足存在，而且满足所察所察 的收敛，而且的收敛，而且 证毕！证毕！第十四页，本课件共有39页（二）拉普拉斯变换（二）拉普拉斯变换(运算运算)的基本性质的基本性质1、线性定理、线性定理证明：证明：如果如果 则则 证毕！证毕！第十五页，本课件共有39页例例6：求：求 Lsin t,Lcos t解：解：同理可得同理可得:第十六页，本课件共有39页2、导数定理
5、、导数定理证明：证明：第十七页，本课件共有39页由此可以得：由此可以得：推广到高阶导数：推广到高阶导数：证毕！证毕！第十八页，本课件共有39页3、积分定理、积分定理证明：证明：令令则则因为因为所以所以 证毕！证毕！第十九页，本课件共有39页4、相似定理、相似定理证明：证明：证毕！证毕！第二十页，本课件共有39页5、位移定理、位移定理证明：证明：证毕！证毕！第二十一页，本课件共有39页6、延迟定理、延迟定理证明：证明：证毕！证毕！第二十二页，本课件共有39页7、卷积定理、卷积定理证明：证明：tt=若若其中其中称称 为为 f1(t)与与 f2(t)的卷积的卷积和和令令 证毕！证毕！第二十三页，本课
6、件共有39页 6.2 拉普拉斯变换的反演拉普拉斯变换的反演一、有理分式反演法一、有理分式反演法的的 Laplace 逆变换逆变换。例例1：求求 拉普拉斯变换主要用于求解稍微复杂、运算量大拉普拉斯变换主要用于求解稍微复杂、运算量大的微分或积分方程：将原微分或积分方程的微分或积分方程：将原微分或积分方程（通过拉普（通过拉普拉斯变换）拉斯变换）变换成像函数遵从的代数方程，解出像函数；变换成像函数遵从的代数方程，解出像函数；再再（通过拉普拉斯反（通过拉普拉斯反 逆逆 变换变换反演）反演）求出原函求出原函数，即得原微分或积分方程的解。数，即得原微分或积分方程的解。如果像函数是有理分式，分解原式后直接用公
7、式。如果像函数是有理分式，分解原式后直接用公式。第二十四页，本课件共有39页的的 Laplace 逆变换逆变换。例例2：求求如果像函数是有理分式，分解原式后直接用公式。如果像函数是有理分式，分解原式后直接用公式。由位移定理：由位移定理：解：解：得得 第二十五页，本课件共有39页解：解：例例3：求求的的 Laplace 逆变换逆变换。第二十六页，本课件共有39页由由6.1例例3：由由6.1例例6：最后得最后得 第二十七页，本课件共有39页二、查表法二、查表法解：解：例例4：求：求的的 Laplace 逆变换逆变换。得得由延迟定理：由延迟定理：查表查表P394第第12式：式：第二十八页，本课件共有
8、39页解：解：例例5：求：求的的 Laplace 逆变换逆变换。由位移定理，得由位移定理，得查表查表P394第第5、6式或式或6.1例例6得得 第二十九页，本课件共有39页解：解：例例6：求：求的的原函数。原函数。由由延迟定理：延迟定理：6.1例例1由由卷积定理：卷积定理：第三十页，本课件共有39页 6.3 拉普拉斯变换应用拉普拉斯变换应用一、用拉氏变换求解微分方程一、用拉氏变换求解微分方程 或积分方程的基本步骤或积分方程的基本步骤1、对、对方程方程施行拉氏变换：施行拉氏变换：2、解出像函数：、解出像函数：3、对、对像函数进行反演（逆变换），求出原函数。像函数进行反演（逆变换），求出原函数。第
9、三十一页，本课件共有39页解：解：对原对原方程方程施行拉普拉斯变换：施行拉普拉斯变换：得得例例1：求：求RL电路方程电路方程 第三十二页，本课件共有39页解出像函数解出像函数对解出的像函数进行反演对解出的像函数进行反演 第三十三页，本课件共有39页应用卷积定理应用卷积定理对对解出的像函数进行反演，得解出的像函数进行反演，得 第三十四页，本课件共有39页解：解：例例2：求：求 RLC 电路电路的初值问题的初值问题LCRK 对原对原方程方程施行拉普拉斯变换，得：施行拉普拉斯变换，得：解出像函数解出像函数 RLC 电路电路第三十五页，本课件共有39页LCRK 解出像函数：解出像函数：对解出的像函数进行反演：对解出的像函数进行反演：RLC 电路电路第三十六页，本课件共有39页（1）对解出的像函对解出的像函 数进行反演：数进行反演：第三十七页，本课件共有39页（2）第三十八页，本课件共有39页（3）END-6本章练习（本章练习（P95）（）（2）；）；（P100）5；（P103）5；第三十九页，本课件共有39页