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1、1.3.1 1.3.1 柱、锥、台体的表面积和体积柱、锥、台体的表面积和体积1.3 1.3 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题提出问题提出问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和们的表面积就是各个面的面积的和 因此，我们可以把它们展成平
2、面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方法，求立体图形的表面积引入新课引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？积？h棱柱的展开图棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？棱锥的展开图棱锥的展开图侧面展开
3、正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？棱台的展开图棱台的展开图侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h圆柱的表面积圆柱的表面积O圆柱的侧面展
4、开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形O圆台的表面积圆台的表面积OO圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环三者之间关系三者之间关系OOOO 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？系？rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）柱体体积柱体体积一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：其中其
5、中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系棱锥体积棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：锥体体积锥体体积台体体积台
6、体体积 由于圆台由于圆台(棱台棱台)是由圆锥是由圆锥(棱棱锥锥)截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台(棱台棱台)的的体积公式体积公式(过程略过程略)根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式 其中其中 ，分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高台体体积台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h
7、 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高台体体积台体体积上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小例例1 1 已知长方体铜块的长、宽、高分别为已知长方体铜块的长、宽、高分别为8 8、4 4、2 2，将它溶化后铸成一个正方体（不计耗损），将它溶化后铸成一个正方体（不计耗损），求铸成铜块的表面积和体积。求铸成铜块的表面积和体积。例例2 2（1 1）已知棱长为）已知棱长为a a，各面均是等边三角形的四面体，各面均是等边三角形的四面体S-ABCS-ABC，求它的体积和表面积；，求它的体积和表面积；（2 2）已知圆锥的高为）已知圆锥的高为2 2，其侧面展开图是一个弧长为，其侧面展开图是一个弧
8、长为66的扇形，求圆锥的表面积和体积；的扇形，求圆锥的表面积和体积；（3 3）将圆心角为）将圆心角为120120，面积为，面积为33的的扇形作为的的扇形作为圆锥的侧面，求此圆锥的表面积和体积。圆锥的侧面，求此圆锥的表面积和体积。例例3 3（1 1）一个四棱台，其上下底面均为正方形，边长分）一个四棱台，其上下底面均为正方形，边长分别为别为8 8和和1818，侧棱长为，侧棱长为1313，求其表面积；，求其表面积；（2 2）已知直角梯形的上、下底，高分别为）已知直角梯形的上、下底，高分别为2,42,4，将直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周形成圆台，将直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周形成
9、圆台，求这个圆台的体积和表面积。求这个圆台的体积和表面积。例例4 4 如图，在如图，在ABCABC中，中，AC=3AC=3，BC=4BC=4，AB=5AB=5，以，以ABAB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积。求此旋转体的表面积和体积。例例5 5 一空间几何体的三视图如图所示，求该几何一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积。体的体积。正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图 例例6 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，已知底
10、面是正六边形，边长为边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这，问这堆螺帽大约有多少个（堆螺帽大约有多少个（取取3.14）？）？解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积锥体锥体台体台体柱体柱体知识小结知识小结1.3.2 1.3.2 球的体积和
11、表面积球的体积和表面积1.球的表面积球的表面积 球面面积（也就是球的球面面积（也就是球的表面积表面积）等于它）等于它的的大圆面积的大圆面积的4倍倍，即，即其中其中R R为球的半径为球的半径.2 2、球的体积、球的体积，其中，其中R R为球的半径为球的半径.练习：练习：1 1三个球的半径之比为三个球的半径之比为 那么最大的球的体那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的积是其余两个球的体积和的倍；倍；2.2.若球的大圆面积扩大为原来的若球的大圆面积扩大为原来的4 4倍，则球的体积倍，则球的体积比原来增加比原来增加倍；倍；3.3.把半径分别为把半径分别为3 3，4 4，5 5的三个铁球，熔成一个大的
12、三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是球，则大球半径是；4.4.正方体全面积是正方体全面积是24,24,它的外接球的体积是它的外接球的体积是，内切球的体积是内切球的体积是.5.5.球球OO1 1、OO2 2、分别与正方体的各面、各条棱相切，、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球正方体的各顶点都在球OO3 3的表面上，求三个球的的表面上，求三个球的表面积之比表面积之比提示提示：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可只需找到球半径之间的关系即可例例1.1.如图如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：求证：(1)(1)球的体积等于圆柱体积的球的体积等于圆柱体积的 ；(2)(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。球的表面积等于圆柱的侧面积。例例2.2.已知过球面上已知过球面上A,B,C A,B,C 三点的截面和三点的截面和球心的距球心的距离为球半径的一半，且离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,AB=BC=CA=2,求球的表求球的表面积面积.