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1、复 变 函 数（第四版）第五章 留 数1 孤立奇点2 留数3 留数在定积分计算上的应用*4 对数留数与辐角原理2/25/20231复变函数(第四版)第五章1 孤立奇点1.定 义例：如果函数 f(z)在 zo处不解析,但在 zo的某一去心邻域 0|zzo|0,使得 f(z)于圆环 0|zzo|内解析,从而可展成洛朗级数.z0为 f(z)的可去奇点(不含负幂项)z0为 f(z)的 m级极点(cm0)2/25/20233复变函数(第四版)第五章例:z0为 f(z)的本性奇点()中含无穷多个(zz0)的负幂项2/25/20234复变函数(第四版)第五章 z=0 分别是(1)(2)本性奇点.zo为 f(
2、z)的可去奇点相当于实函可去间断点 f(z)在zo点的某去心邻域内有界.zo为 f(z)的极点相当于无穷间断点zo为 f(z)的 m级极点其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)02/25/20235复变函数(第四版)第五章例:(3)z=1是三级极点,z=i 是一级极点z0为 f(z)的本性奇点z0附近性质复杂,实函不可比(对任意复数A,总可以找到一个趋向于zo的数列,当 z 沿这个数列趋于 zo 时，f(z)的值趋于A).用极限来判别奇点的类型时,若碰到型极限,可用洛必达法则求.维尔斯特拉斯Th2/25/20236复变函数(第四版)第五章3.函数的零点与极点的关系例:m为正整数，g(z)
3、在 zo点解析,且 g(zo)0.2/25/20237复变函数(第四版)第五章定理:证:2/25/20238复变函数(第四版)第五章例1:解:指出它的级.2/25/20239复变函数(第四版)第五章一般:例:2/25/202310复变函数(第四版)第五章4.函数在无穷远点的性态作变换规定：为 f(z)的孤立奇点在扩充的复平面上,f(z)在 z=的去心邻域 R|z|0)对 z=的讨论t=0 的讨论.2/25/202311复变函数(第四版)第五章(1)z=为 f(z)的可去奇点2/25/202312复变函数(第四版)第五章(2)是 f(z)的极点(3)是 f(z)的本性奇点是 f(z)的m级极点是
4、 f(z)的m级极点2/25/202313复变函数(第四版)第五章例(P152):2/25/202314复变函数(第四版)第五章例2:解:对 z=2,什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.而2/25/202315复变函数(第四版)第五章 z=2 是 f(z)的可去奇点.对于 z=,z=不是 f(z)的孤立奇点.从而2/25/202316复变函数(第四版)第五章总之,判别奇点类型方法:奇点孤立奇点非孤立奇点可去奇点极点本性奇点1.定义:展成洛朗级数2.求极限3.极点与零点的关系(不恒等于 0 的解析函数的零点是孤立的)2/25/202317复变函数(第四版)第五章2 留数1.留数的定义如果函数
5、 f(z)于简单闭曲线 C 上及其内部解析,则据柯西定理.有但是,如果 C 内含有 f(z)的孤立奇点 zo,则2/25/202318复变函数(第四版)第五章将 f(z)作洛朗展开:则由此可见:在 zo 点的邻域 内,c1 是个特别值得注意的数,是上述逐项积分中唯一残留下来的系数.2/25/202319复变函数(第四版)第五章由上知2.留数定理Th1(留数定理):c1 为 f(z)在 zo 点的留数 (residue 残数)设函数 f(z)在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1,z2,zn 外处处解析,C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线.2/25/202320复变函数(第四版)第五章由柯
6、西 Th 极容易得到因此,以上的留数Th.更确切地说,留数 Th 是柯西 Th 的一个直接应用.它把计算封闭曲线积分的整体问题,化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题.即利用留数计算积分.有必要专门研究留数的计算.2/25/202321复变函数(第四版)第五章3.留数的计算(有限远奇点)基本算法:(1)(2)=c1C 是 zo 某去心邻域内一条简单正向闭曲线.(当 z0 是 f(z)的本性奇点或孤立奇点类型不清楚时,只能用这一方法求)zo是 f(z)的可去奇点.zo是 f(z)的本性奇点.f(z)展成洛朗级数2/25/202322复变函数(第四版)第五章(3)()证明:zo是 f(z)的极点.有
7、下面的计算规则:如果 zo 是 f(z)的一级极点.则2/25/202323复变函数(第四版)第五章()如果 zo 为 f(z)的 m 级极点.则证:转下页2/25/202324复变函数(第四版)第五章则:2/25/202325复变函数(第四版)第五章()证:如果 zo 是 f(z)的一级极点.且都在 zo 点解析.2/25/202326复变函数(第四版)第五章特别地:例:解:方法一.一级极点二级极点 z=0 是的 n+1级极点.=2/25/202327复变函数(第四版)第五章方法二:方法三:在原点的洛朗展式中z 的负一次幂的系数,也即 ez 的展式中 zn 的系数.2/25/202328复变
8、函数(第四版)第五章例1:计算积分解:(用规则求)C为正向圆周:|z|=2.的两个一级极点 z=1均在|z|=2内.2/25/202329复变函数(第四版)第五章(用规则求)直接求积分:(较规则简单)2/25/202330复变函数(第四版)第五章补例 1:计算积分解:(n为正整数)为一级极点.2/25/202331复变函数(第四版)第五章补例2:计算解：z=0 为的三级极点,且在|z|=1 内.2/25/202332复变函数(第四版)第五章P158 例2:计算积分解：被积函数四个一级极点1，i 均在C内。由规则2/25/202333复变函数(第四版)第五章例3:计算积分解：z=0为被积函数的一
9、级极点，z=1为二级极点，均在C内。2/25/202334复变函数(第四版)第五章例:Q(z)的六级零点.z=0 是 P(z)的三级零点.z=0 是 f(z)的三级极点.较繁注:在用规则 时,有时将 m 取得比实际的级数高可使计算简便.2/25/202335复变函数(第四版)第五章将 m 取作 6.则利用洛朗展开式求 c1 也较方便.2/25/202336复变函数(第四版)第五章4.关于无穷远点的留数定义:C 为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线.即2/25/202337复变函数(第四版)第五章注:例如:规则:若为 f(z)的可去奇点,则不一定等于0.(这与有限远孤立奇点不同)是它的可去奇
10、点,但(c1=1)例:2/25/202338复变函数(第四版)第五章定理2：如果函数 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么 f(z)在所有奇点(包括点)的留数的总和必等于零.=0(C 包含了所有有限奇点 zk,k=1,2,n)2/25/202339复变函数(第四版)第五章例4.(P162)计算积分解:由定理 2及规则:C为正向圆周:|z|=2.(上一段例 2)在|z|=2 的外部,除点外没有其他奇点.=02/25/202340复变函数(第四版)第五章例5.计算积分解:C 为正向圆周|z|=2.被积函数的奇点:i,1,3,.其中 i,1 在|z|=2 内部.2/25/202341复变函
11、数(第四版)第五章而：原积分=02/25/202342复变函数(第四版)第五章例:(作业题11)解:若直接求.需通过洛朗展式求,涉及幂级数除法.不易求.2/25/202343复变函数(第四版)第五章利用定理 2.2/25/202344复变函数(第四版)第五章利用留数计算积分步骤:(1)(2)求出被积函数 f(z)在积分路径 C内的有限个孤立奇点 zk (k=1,2,n)判别奇点类型,计算出奇点处的留数.当被积函数 f(z)的奇点个数较多或极点的级数较高时,留数的计算较烦,可改成计算无穷远点的留数.2/25/202345复变函数(第四版)第五章3 留数在定积分计算上的应用1.形如令留数计算定积分
12、.关键:定积分(添f(x)的路径)沿闭曲线的积分(围线积分)2/25/202346复变函数(第四版)第五章当因此2/25/202347复变函数(第四版)第五章例1:计算解:令2/25/202348复变函数(第四版)第五章而在|z|=1内被积函数 f(z)有一个二级极点 z=0,一个一级极点 z=p.2/25/202349复变函数(第四版)第五章续上页2/25/202350复变函数(第四版)第五章补例:解:先变形.2/25/202351复变函数(第四版)第五章令2/25/202352复变函数(第四版)第五章被积函数的分母有两个根由留数定理其中 z1 在|z|=1 内.2/25/202353复变函
13、数(第四版)第五章思考:解:(偶函数)(周期函数)2/25/202354复变函数(第四版)第五章2.形如 R(x)是 x 的有理函数,分母的次数至少比分子的次数高两次,同时要求 R(z)在实轴上无奇点.(此时积分一定存在).取 R(z)为被积函数,取积分线路为以原点为圆心,位于上半平面上以 R 为半径的上半圆周CR与实轴上区间 R,R 构成的正向闭曲线(R(z)的极点均在其内).R-RCR2/25/202355复变函数(第四版)第五章故其中特别,(如在下半平面计算:)若 R(x)为偶函数,有2/25/202356复变函数(第四版)第五章例2:计算积分 解:被积函数 R(x)分母的次数比分子的次
14、数大2.R(z)在实轴上无孤立奇点,积分存在.2/25/202357复变函数(第四版)第五章续上页2/25/202358复变函数(第四版)第五章补例:解:被积函数 R(x)为偶函数.R(z)在上半平面有两个一级极点2/25/202359复变函数(第四版)第五章2/25/202360复变函数(第四版)第五章3.形如处理方法与 2.一样特别:1.2.的混合型这里 R(x)是 x 的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点.(此时积分存在)得:2/25/202361复变函数(第四版)第五章例3.解:2/25/202362复变函数(第四版)第五章4.积分路径上有
15、奇点的积分.例4.解:若被积函数中 R(z)在实轴上有奇点,适当选取路径,使积分路线绕开奇点.(与例 3 类似)如图选择积分路径,由柯西古萨基本定理2/25/202363复变函数(第四版)第五章令即只需求出极限2/25/202364复变函数(第四版)第五章由于又因.2/25/202365复变函数(第四版)第五章因而从而有即:且在 r 充分小时综上:(这个积分在研究阻尼振动中有用)由于而2/25/202366复变函数(第四版)第五章解法二.取积分路径:则另一方面RcRRrrcrO2/25/202367复变函数(第四版)第五章与解法一类似可得从而P185习题14 积分路径RcRRrrcrO2/25
16、/202368复变函数(第四版)第五章例5.证明证:如图，即2/25/202369复变函数(第四版)第五章而 上式为:或2/25/202370复变函数(第四版)第五章当R时,上式右端的第一个积分为而第二个积分的绝对值2/25/202371复变函数(第四版)第五章由此可知,当R时第二个积分趋于零,从而有(菲涅耳 Fresnel 积分,光学中有用)2/25/202372复变函数(第四版)第五章利用留数计算定积分应注意哪些问题?首先,由于留数是与求封闭曲线C上的复积分相联系的,而定积分的积分区间是实轴或实轴上的线段,定积分的被积函数是实函数,因此必须改造区间和函数以适应留数定义和定理要求.要拓展定积
17、分的积分区间为简单闭曲线,这可以用代换或添加辅助线路或辅以极限概念来实现.2/25/202373复变函数(第四版)第五章其次,最后,定积分的被积函数必须转变为某个解析函数(或仅有有限个孤立奇点).要准确求出积分线路C内的奇点,以利于计算留数:对于在实轴上存在孤立奇点的情形,还需要对积分线路进行适当的变化.2/25/202374复变函数(第四版)第五章*4 对数留数与辐角原理1.对数留数留数的重要应用之一是计算积分 f(z)关于曲线C的对数留数 ln f(z)f(z)的对数留数 2/25/202375复变函数(第四版)第五章留数有如下计算规则:引理 1).2).若 f(z)在 z=zo 的邻域内
18、解析,zo 为f(z)的 n 级零点,则 zo为的 1 级若 z=zo 是 f(z)的 m 级极点,则 z=zo极点,且有2/25/202376复变函数(第四版)第五章证:1).于是:且若 zo 是 f(z)的 n 级零点,则在 zo 点邻域内有 f(z)=(z zo)n g(z),g(z)在 zo 点邻域内解析,且 g(zo)0.由于在 zo点邻域内解析,故 zo必为的一级极点,2/25/202377复变函数(第四版)第五章2).于是:故若 zo为 f(z)的 m 级极点,则在 zo 的去心邻域内,有h(z)在 zo 点邻域内解析,且 h(z0)0.z=zo 是的一级极点,且2/25/202
19、378复变函数(第四版)第五章Th1.(对数留数定理)其中:如果 f(z)在简单闭曲线 C上解析且不为0.在 C的内部除去有限个极点以外也处处解析,那么:N 为 f(z)在C内零点的总个数,P为 f(z)在 C内极点的总个数,且 C取正向,在计算零点与极点的个数时,m 级的零点或极点算作 m 个零点或极点.2/25/202379复变函数(第四版)第五章证:例:由留数定理及前面的引理可得.利用公式计算积分.2/25/202380复变函数(第四版)第五章解:1)2)f(z)在|z|g(z)|.那么,在C内 f(z)与 f(z)g(z)的零点个数相同.|f(z)|g(z)|02/25/202386复
20、变函数(第四版)第五章令即故那么w 在以 1 为中心的单位圆内,C 的象曲线不围绕原点,从而从而结论成立.2/25/202387复变函数(第四版)第五章例1.试证方程证:(ao 0)有 n 个根.那么:2/25/202388复变函数(第四版)第五章取|z|R,R 充分大,可使在圆立,显然 f(z)与 g(z)在圆|z|=R 上与圆内都是解析的.即在圆内有相同个数的零点.以 f(z)+g(z)在圆内的零点个数也是 n.根据路西Th,但 f(z)在圆内的零点个数是 n.所2/25/202389复变函数(第四版)第五章又由于故 原方程有 n 个根.在圆上和圆外关系|f(z)|g(z)|成立,有根.不然,f(z)+g(z)=0 f(z)=g(z)|f(z)|=|g(z)|矛盾.因此在圆上和圆外 f(z)+g(z)=0不能2/25/202390复变函数(第四版)第五章补例:求方程解:1)故1)2)2/25/202391复变函数(第四版)第五章解:2)故 原方程在2/25/202392复变函数(第四版)第五章补例:证明方程证:设则 f(z),g(z)在|z|1 内均解析.2/25/202393复变函数(第四版)第五章设根为 z1,在|z|1 内只有一个正实根.即 即 z1 为实根,且显然不能为负.2/25/202394复变函数(第四版)第五章