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1、1.2 1.2 随机事件随机事件太原理工大学太原理工大学 数学学院数学学院1.2.1 随机试验随机试验自然界和社会上所观察到的现象大体分为人们在生产实践和科学实验中发现，自然两类：必然现象或决定性现象；必然发生或必然不发生的现象，称之为必一类是事前可以预料的，即在一定条件下另一类是事前不可预料的，即在相同条件下重复进行观察或试验时，有时出现有时不出现的现象，称之为偶然现象或随机现象。人们发现随机现象在大量重复试验或观察称为统计规律性。复实验下随机现象发生的频率具有稳定性下它的结果呈现出某种规律性，即大量重通常，我们把对自然现象的观察或进行一次试验，统称为一个实验。况。现的情况。4的球，从袋中任
2、取一球后，不放回袋中，例一例一 实验 为掷一枚均匀的硬币，观察例二例二 实验 为掷一枚骰子，观察点数出例三例三 实验 为一袋中装有编号1、2、3、正面（有国徽的一面），反面 出现的情再从中任取一球，观察两次取球的结果。8：00-8：10接到的呼唤次数。各异，但是它们有着共同的特点。例如实 上面所举的 5 个实验例子，尽管内容测试它的寿命。例四例四 实验 为记录某电话交换台在早例五例五 实验 为从一批灯泡中任取一只，验 ，它有两种结果，出现 或出现 ,接到的呼唤次数可能为0或1或2，个实验可以在相同条件下重复进行。再如但在实验之前不能确定会有几次呼唤，这试之前不能确定它的寿命有多长，这个实行。又
3、如实验 ，在某天早8：008：10实验 我们知道灯泡的寿命 但在测 ，这个实验可以在相同的条件下重复进 但在抛掷之前不能确定出现 还是出现验也可以在相同条件下重复进行，实验的结果事前是不能确定的。以后我们所说的所有可能发生的结果是已知的，但每次的实验都是指随机实验。大小。例如掷硬币，现有的力学系统的确只关注随机实验的结果及其发生的可能性 概率论不研究随机现象形成的原因，定性理论及最先进的测量技术远不足以告诉我们哪个面朝上。另外，随机现象也是抛的足够高，硬币是均匀且是正反面。这有条件的。如掷硬币，要求地面足够硬，样经过大量重复试验或观察下它的结果才 随机事件（简称事件）是概率论中的1.2.2 1
4、.2.2 样本空间与事件样本空间与事件会呈现出统计规律性。一个基本概念，也是随机现象在某方面的具体表现和描述。为了借助集合论的概念描述随机事件，都是相应的实验结果。在 中，“交换台的接到的呼唤次数为6”；在 中，“测得灯泡的寿命为1200小时”等能再分的结果，叫做 的基本结果。需引入样本空间的概念。随机实验 中不 例如，在 中，“出现 ”、“出现 T”值得注意的是，一个实验结果是否为对的。例如在 中，若考虑的是灯泡寿基本结果是相对于实验目的而言，不是绝命的长短，那么基本结果为“灯泡的寿命若按寿命取值的大小将灯泡分为优质品、”，故有不可数无穷多个基本结果。即“取得灯泡为优质品”，“取得灯泡为合格
5、品”合格品、或次品，那么就只有三个基本结“取得灯泡为次品”。样本空间，记作 .中的元素就是实验作 ,例如，在 中，基本结果有两个，对于一个随机实验，把 中的所有结果所组成的集合称为 的基本空间或 的基本结果，基本结果也称样本点，记即“出现 ”、“出现 ”，所以样本空间中含有两个样本点，“出现 ”，“出现 ”，基本结果，则由所有基本结果组成的集合样本空间 为就是 的样本空间。在 中，由于两次取球的标号不能重复按排列知识共有 种取球的结果，所 在 中，若以 表示“出现 点”这个穷多个样本点，即以在 中有十二个基本结果。故其样本空间 中含有12个样本点，即在 中，若以 表示基本结果“交换台接接到的呼
6、唤次数为 ”，则 中含有可数无不可数无穷多个样本点，即虑取得灯泡的优劣，则样本空间可取为同样应当注意的是，样本空间的元素取决于实验目的。例如，在 中，如果只考 在 中，若以 表示基本结果“任取一只灯泡，测试其寿命为 ”，则 中含有 引入样本空间之后，事件均可看成是表示。当事件中只含有一个样本点（基本结果）时，称为基本事件。一般事件都可由基本事件通过集合运算复合而成。例样本空间的子集，一般用大写字母 为 的子集，即如，在实验 中，表示“出现偶数点”，则 与 作为 的子集也可称为事件。易见，每次实验中，必然发生，故称为必然事件。每次实验中 必然不发生，故称称为 的逆事件，记为 ，显然 发生本结果有
7、一个出现时，称事件 发生。在一次试验中，当且仅当 所含的基由所有不属于 的样本点所组成的事件，则 不发生。为不可能事件。这两个事件都是确定性的的随机事件。值得注意的是，对较复杂的事件，我们为讨论方便，把它们当作特殊之间的几种主要关系以及事件的运算。设 为研究事件的需要，下面介绍事件1.2.3 1.2.3 事件的关系与运算事件的关系与运算样本空间，并不是每一个 的子集都是事件.实验 的样本空间为 ，由事件发生的定义又知：为事件，均为 的子集。如果 那么 如果 对任一事件 ，总有 （1）若事件 发生必然导致 发生 ，那么称 与 相等，记为则称事件 为事件 的子事件，记为事件，记为为 （2）事件 与
8、事件 至少有一个发 （3）事件 与事件 同时发生，这一事件称为事件 与事件 的积事件，记这一事件称为事件 与事件 的差事件，（4）事件 发生而事件 不发生，生，这一事件称为事件 与事件 的和组事件两两互斥。对于一组两两互斥的事记为 与 的差事件，把和事件 记作 如果一组事件 中任意两个都互斥，那么称这件 ，通常把事件 记为 则称 与 为互斥事件或互不相容事件记为 对于互斥事件 、，可以 （5）若事件 与事件 不能同时发生，法则是相同的，具体见1.1节集合的运算法则 可见，事件的运算法则与集合的运算 一个较复杂的事件可以通过事件的运根据具体问题的需要恰当地选择一种表示算法则表示成许多种等价的形式
9、，因此可形式，这在概率论中非常有用。比如“与 至少发生一个”这一事件可以表示成则是两个互斥事件的和事件。也可以表示成 ，这两个事件是相等的，在形式上简单，而 例例6 6 设 是三个事件，则 （1）“发生而 不发生”可表示为 （2）“与 发生而 不发生”表示为可表示为 例例7 7 向指定目标射击三枪，分别用 （1）只有第一枪击中；（2）至少有一枪击中；表示第一、第二、第三枪击中目标，试用 表示以下事件：（3）“三个事件至少发生两个”（3）恰好有一枪击中；（5）三枪都未击中；（4）至少有两枪击中；解 （1）只有第一枪击中，说明 （2）至少有一枪击中，即发生，而 都不发生，可表示为至少有一个发生，可表示为 （3）恰好有一枪击中可表示为 （4）至少有两枪击中可表示为 （5）三枪都未击中可表示为