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1、第3讲有理数的相关概念和负数、二类型一：正数和负数的定义考点说明：正数一般是小学所学过0以外的数前面加“+”号，也可以不加“+”号： 负数一般是小学所学过0以外的数前面加“-，“-”号不能省略；是否含有“ + ” ”一 不是判断一个数是不是正数、负数的唯一标准，它必须具备以下两个要素：小学学过的除0 以外的所有数：含号（无“+”“一”号视同为含“+”号）。【易】1.如果“收入10元”记作+10元，那么支出20元记作（）A. +20 元 B. - 20 元 C. +10 元 D. - 10 元【答案】解：如果收入10元记作+10元，那么支出20元记作-20元.应选：B.【解析】根据正负数的含义，
2、可得：收入记住“ + ”，那么支出记作“-，据此求解即可.【易】2.我国古代九章算术）中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.意思是今 有两数假设其意义相反，那么分别叫做正数与负数如果向北走5步记作+5步，那么向南走7步 记作（）A. +7 步 B. - 7 步 C. +12 步 D. - 2 步【答案】解：向北走5步记作+5步，向南走7步记作7步.应选：B.【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答.【易】3.如果+8%表示“增加8犷，那么“减少10%可以记作 -10乳.【答案】解：假设增加表示为正，那么减少表示为负，那么+8%表示“增加8犷，那么“减少10%”可
3、以记作-10%.故答案是:-10%.【解析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，那么另一个就用负表示.“正”和“负”相对，假设增加表示为正，那么减少表示为负.【易】4. 一辆公交车上原有16人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为C.如果X是大于1的正数，那么X是小于1的负数D. 一个数的相反数的相反数是正数【答案】解：A、如果mn,那么m0,当|x- 1|=0时，|x- 1|+2取最小值，.*.x - 1=0,解得x=l.应选：B.【解析】根据绝对值非负数的性质解答即可.【易】3.以下等式成立的是（）A. |a|+| -a|=0 . B. - a -a=0 C. |a|
4、 - | -a|=0 D. -a- |a|=0【答案】解:A、|a| + | -a|= |a|+|a|=2|a|,故本选项错误;B、- a - a= - 2a,故本选项错误；C、|a| - | -a|= |a| - |a|=O,故本选项正确：D、-a - |a=0或-2a,故本选项错误.应选：C.【解析】根据绝对值非负数的性质和有理数的加减运算法那么对各选项分析判断即可得解.【中】4. |m - n+2| + |m - 3|=0,那么 m+n= 8 .【答案】解：V |m-n+2| + |m-3|=0,/. in - n+2=0, in-3=0,解得：m=3, n=5,故 m+n=8.故答案为
5、：8.【解析】直接利用绝对值的性质得出m, n的值，进而得出答案.第12页/J有瞰大小的魄2 类型一：有理数大小的比拟国考点说明：同号有理数比拟大小的方法（正有理数）：绝对值大的数大.（I）作差，差大于0,前者大，差小于0后者大；（2）作商，商大于1,前者大，商小于1后者大.如果都是负有理数的话，结果刚好相反，且绝对值大的反而小.如果是异号，就只要判断哪个是正哪个是负就行；如果都是字母，就要分情况讨论； 代数式的话要先求出各个代数式的值，再比拟.【易】L在-7, 5,0, -3这四个数中，最大的数是（）A. -7 B. 5 C. 0 D. -3【答案】解：-7V-3V0V5,即在-7, 5,
6、0,-3这四个数中，最大的数是：5.应选：B.【解析】根据正数大于0, 0大于负数，可得答案.【易】2.假设a0, bVO,那么-a, a, -b, b的大小关系是（）A. a - a - bb B. - bb - aa C. ab - a - b D. - ba - 【答案】解：设a=l, b=-2,那么-a=- 1,-b=2,因为-2 - 112,所以 b - aa0, b0,且|a|v|b|,可用取特殊值的方法进行比拟.【中】3.三个数：| -1|、+（-.?）、- | -1|的大小关系是（）87A. +（4）|-| -|-1 | B. -|-1 | | 1+（V） （OOIC. -|-
7、l|+（） IW I D. -|-1 |+专）b-I - ll=- 1;第13页8 8 I - 11+（-马 v| 三.应选：c.【解析】先根据所给的数进行整理，再根据正数大于一切负数得出I -看I最大，再根据两个负数，绝对值大的反而小得出一I大于-1即可求出答案；【难】4.-ab - c0bcOd B. aOdcb C. acOdb D. adcOb【答案】解：,:- ab - c00, b0 dc,且1d|V|c|,bVd,AacOdb,应选：C.此题考查了有理数的大小比拟，关健是能根据得出a0, b0, dc, b0, b0, dVO, ac,根据|d|v|c|推出bVd,即可得 出答案
8、.第14页正，下车人数记为负，单位：人)：-3, +4；-5, +7； +5,- 11.此时公交车上有13 人.【答案】解：16-3+4-5+7+5- 11= 13(人)，故答案为：13【解析】求出16与所有上车下车人数的和，得到此时公交车上的人数.【中】5. 一只蚂蚊从某点A出发，在一条东西向的直线上来回爬行，规定爬行的路程记为 正数，向西爬行的路程记为负数，这只蚂蚁爬行的各段路程依次如下(单位：厘米)：4,- 6, +8,- 11, +3, +7,-10, +9, +4(1)请通过计算说明这只蚂蚁是否回到了起点A?(2)假设这只蚂蚊爬行的速度是每秒0.5厘米，那么这只蚂蚁共爬行了多长时间？
9、【答案】解：(1) V ( - 4) + ( - 6) + (+8) + ( - 11) + (+3) + ( + 7) + ( - 10) + ( + 9) + ( + 4),=-4 - 6+8 - 11+3+7 - 10+9+4,=0,这只蚂蚁回到了起点A；(2) (4+6+8+11+3+7+10+9+4) 4-0.5,=624-0.5,= 124(秒).答：这只蚂蚁共爬行了 124秒.【解析】(1)把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可；(2)记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可.I 类型二：正负数表示范围*考点说明：了解正负数所表示的相反意义的量；掌握正负数所表示的范围
10、：【易】1.一种零件的直径尺寸在图纸上是30 0*03 (单位：mm),它表示这种零件的标准Ue尺寸是30mm,加工要求尺寸最大不超过30.03 mm.【答案】解：根据正数和负数的意义可知，图纸上是300.03(单位：mm),它表示这种零 件的标准尺寸是30mm,误差不超过0.03mm：加工要求尺寸最大不超过30. 03mm.故答案为：30.03 【解析】30+0. 03mm表示比标准尺寸30mm长最多0.03mm.【易】2.某种零件，标明要求是。：200. 02 mm（ 6表示直径，单位：亳米），经检查， 一个零件的直径是19.9 mm,该零件 不合格 （填“合格”或“不合格”）.【答案】解
11、:零件合格范围在19.98和20. 02之间.19.9V19. 98,所以不合格.故答案为：不合格.【解析】巾200. 02 mm,知零件直径最大是20+0. 02=20. 02,最小是20 - 0. 02=19. 98,合 格范围在19. 98和20. 02之间.【中】3.某种零件，标明要求是巾300. 02mm（。表示直径，单位：亳米），经.检查，个零件的直径是29. 9mm,该零件 不合格 （填“合格”或“不合格”）.【答案】解：二零件，标明要求是D300. 02mm,即29. 98mmWxmmW20. 02mm,直径是29. 9mm的零件不合格，故答案为：不合格【解析】根据零件的要求判
12、断即可.【中】4.某粮店出售三种品牌的大米，袋上分别标有质量为（250.1） kg, （25 + 0.2） kg, （250. 3） kg的字样，其中任意拿出两袋，它们最多相差0.6 kR.【答案】解：这几种大米的质量标准都为25千克，误差的最值分别为：0.1, 0.2, 0. 3.根据题意其中任意拿出两袋，它们最多相差（25+0. 3） - （25 - 0.3） =0. 6kg.【解析】 + ”表示在原来固定数上增加， -”表示在原来固定数上减少.最多相差应该 是原来固定数上增加最多的减去原来固定数上减少最多的.即为（25+0. 3） - （25 - 0. 3） =0. 6kg.的概念及分类
13、、二类型一:有理数的概念所考点说明：有理数的概念：正整数、0、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数， 整数和分数统称为有理数。【易】1.最小的正整数是（ ）A. 0 B. 1 C. - 1 D.不存在【答案】解：最小的正整数是1，应选：B.【解析】根据最小的正整数是1解答即可.【易】2.最大的负整数是 1；最小的正整数是1 .【答案】解：根据有理数的定义可知，绝对值越大的负整数，其值越小，绝对值越大的正 整数，其值越大.最大的负整数为-1,最小的正整数为1.【解析】根据有理数的定义可知，绝对值越大的负整数，其值越小，绝对值越大的正整数， 其值越大.【中】3.以下说法中，正确的选项是（ ）
14、A. 0是最小的有理数B. 0是最小的整数C. 0的倒数和相反数都是0 D. 0是最小的非负数【答案】解：A、没有最小的有理数，故A错误；B、没有最小的整数，故B错误；C、0没有倒数，故C错误；D、0是最小的非负数，故D正确；应选：D.【解析】根据零的意义，可得答案.【中】4.以下结论中，正确的选项是（ ）A. 0是最小的正数 B. 0是最大的负数C. 0既是正数，乂是负数D. 0既不是正数，也不是负数【答案】解：0既不是正数也不是负数，应选项A、B、C错，选项D正确，应选：D.【解析】根据0既不是正数也不是负数，可以判断各个选项是否正确，从而可以解答此题.类型二：有理数的分类国考点说明：（1
15、）整数和分数统称为有理数；（2）正有理数、0、负有理数统称为有理数。【易】1.在0,2.1,-4,-3. 2这四个数中，是负分数的是（）A. 0 B. 2.1 C. -4 D. -3.2【答案】解：负分数有3. 2,应选：D.【解析】有理数包括正有理数、0、负有理数，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包 括负整数和负分数，根据以上内容判断即可.【易】2.在“1,-0.3, +0,-3.3”这五个数中，非负有理数是_ I, 0 .（写33出所有符合题意的数）【答案】解：非负有理数是1, +5，o.故答案为：1, +2, 0.33【解析】根据大于或等于零的有理数是非负有理数，可得答案.【中】3.
16、在*-2, 0.3, 一竿，0. 1010010001这五个数中，有理数的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】解：在* -2, 0.3,爷，0. 1010010001这五个数中，有理数的个数为-2,0.3,- -, 0. L010010001.应选:D.7【解析】根据有理数的定义求解.【难】4.以下说法中，正确的选项是（ ）A.正数、负数统称为有理数 B.小数-3. 14不是分数C.正整数和负整数统称为.整数D.整数和分数统称为有理数【答案】解：A、正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项错误；B、小数-3. 14是分数，故本选项错误；C、正整数，负整数和0统称为整数
17、，故本选项错误；D、整数和分数统称为有理数，故本选项正确：应选：D.【解析】根据有理数的分类进行解答即可.数轴类型一:数轴所考点说明：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；所有的有理数 都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点 表示，0用原点表示；所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表 示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点又不是有 理数）【易】1.如图，a、b两个数在.数轴上的位置如下图，那么以下各式正确的选项是（）-a o bA. a+b0 B. ab0 C. b - a0,ab0,
18、.B正确;Va到原点的距离小于b到原点的距离，|a| 0, b - a0,C 错误；Va b异号，An,那么数轴上表示m的点一定在表示n的点的左边C. 一个有理数在数轴上表示的点离原点越远，这个有理数就越大D.既没有最小的正数，也没有最大的负数【答案】解：A、0是有理数但不是最小的有理数，因为不存在最小的有理数，故该选项错误；B、根据数轴上点的特点：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，假设有理数mn,那么数轴上表示m的点一定在表示m的点的左边，不一定正确，故该选项错误； C、一个有理数在数轴上表示的点离原点越远，这个有理数的绝对值就越大，本身有可能越 小，故该选项错误：D、既没
19、有最小的正数，也没有最大的负数，这句话是正确的，故该选项正确, 应选：D.【解析】根据有理数的特点和数轴上点的特点逐项分析即可.此题考查了有理数的特点和数轴上点的特点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数 轴上的点不都表示有理数.（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理 数.）【中】4.假设点A、点B在数轴上，点A对应的数为2,点B与点A相距5个单位长度，那么点B所表示的数是 - 3或7【答案】解：由题意可得，当点B在点A的左侧时，点B表示的数是：2 - 5= - 3,当点B在点A的右侧时，点B表示的数是：2+5=7,故答案为：3或7.【解析】根据题意，可以利用分类讨论的数
20、学思想，分别求得点B在点A左侧和右侧所表示 的数，此题得以解决.【中】5.以下数轴正确的选项是（）【答案】解：A、右边为正方向，正负数标错了，错误:B、单位长度不统一，错误：C、右边单位长度不统一，错误；D、正确.应选：D.【解析】数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.类型二：利用数轴比拟大小一考点说明：在数轴上数的大小比拟，右边的数总比左边的数大;正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；两个负数比拟，距离原点远的数比距离原点近的数小。【易】1.以下说法正确的选项是（）A.在数轴上，离原点越远数就越大B.在数轴上，离原点越远数就越小C.都在原点右边的两数，离原点越远数就越大D.都在原点左边的两数，离原点越远数就越大【答案】解：借助数轴进行有理数大小的比拟，分两种情况：在原点左边离原点越远，数就越小：在原点右边离原点越远，数就越大.应选：C.【解析】借助数轴进行有理数大小的比拟：在原点左边离原点越远，数就越小.在原点右边 离原点越远，数就越大.【易】2.下面是关于-1.5这个数在数轴上的位置的描述，其中正确的选项是（）A.在上左边B.在+0. 1的右边 C.在原点与一2之间D.在上左边【答案】解：根据数轴上右边的数总比左边的数大，A - 1. 5= - -|,故 A 错误, - 1.5n,那么-m - nB. - a是正数，那么a是负数