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1、平均值不等式（一）一、学习目标（1）理解均值不等式及其证明，并能应用它解决相关问题。（2）整理并建立不等式的知识链。（3）通过运用均值不等式解决实际问题，提高用数学手段解决实际问题的能 力与意识。学习重点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用，注意均值不等式的使 用条件。学习难点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用。二、课前自主预习均值定理：定理1：如果a、beR,那么今欧至狡（当且仅当a=b时等号成立）对任意的两个正实数a, b,数巴心叫做a, b的算数平均值2数底叫做a, b的 几何平均值均值定理也可表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式定理2：如果a、bR+,那
2、么之”石（当且仅当a二b时等号成立）.2在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们 称它为基本不等式.常见不等式：1 . （1）若a,beR,则/+/之2皿 （2）若a,beR,贝（当且仅当 2时取二”）2 .若a/eR*,则虫心若a,beR*,则4 +。之2而（当且仅 2当。=匕时取“二”）若q/eR*,则W（土心丫 （当且仅当。=匕时取=”）3 .若x0,贝廉+ ,22 （当且仅当尢=1时取“=”）；若x0,则x +2 （当XX且仅当了=1时取“二”）.若乃0,则色+%2 （当且仅当。=人时取“二”） b a4 .若a,bwR,则（巴心）2止互（当且仅当。=时取 J”）
3、26.重要不等式链：a.b e R2则LT a b最值定理：（应用均值不等式求函数最值）（1）已知x,y都是正数,则:如果积xy是定值p,那么当x=y时，x+y有最小值24；c2如果和x+y是定值s,那么当x可时积xy有最大值了。即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时， 它们的积有最大值。（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：各项均为正数；（一正）其和或积为常数；（二定）等号必须成立.（三相等）（3）应用此公式求最值时，还应该注意配凑和一定或积一定，进而用公式求 解。三、例题分析与课堂练习题型一：配系数例1.已知0x = M3-2幻的最大值.（常规题型，在于
4、如何配方）9解析： y = -2x2 + 3x = -2（%_）2+-8339又0 x 一，当x = , y =- 248练习1：已知0x2求尸=苧的最小值.解析:=（x-2）2+x-2 + 4（分子部分拆项）x-2._4：,y = x-2 + l + -（将分式拆成几项）%2,二”2，（-2）x* + l = 5 （利用均值定理 2）4当且仅当X-2 =时，解得x = 4或x = 0（舍去）x-2即 = 4时，ymin = 5练习2：已知x9,求y = 1-4工+ -的最小值45-4%题型三：巧用“1”代换1?例3.已知正数x, y满足2% + y = 1,求、+的最小值.尤 y（1用2%+
5、代替）（利用定理2）刀士匚 121 /2、小 、/12、71y 4x解析：丁 I = 1 x (I) = (2x + y)(I) = 4 H1xy xyxy 尤 y又x,y都是正数,.+ 21 + 2 虫=8x y x y当且仅当上=9=2时,x, y都是正数 % y111 ?，当x = ,y =工时，工+ 4的最小值为842x y练习3:已知都是正数，x+y = 2,求z =4+ 的最小值. % y说明：一般地有，（Qx +）（上+，） （4ac + 4bd）2,其中x,y,a,b,c,d都是正数.这 % y里巧妙地利用 1”作出了整体换元，从而使问题获得巧解.题型四：在应用最值定理求最值时
6、，若遇等号取不到的情况，应结合函数 /（为=工+旦的单调性.X例4.求函数y =占二的最小值J-2 +4解析:尸二/；+4 + 1 =775-=226 =取不到 6+46+46+4令rG+4, 2 2,则y =,+!在1,+00）上单调递增当仁2时，即x = 0时，ymin =- 1 III 111练习4：当0%2时，求y = % + 2的最小值x四、课堂小结通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在证明应用时，应 注明定理的适用条件，灵活运用每种题型的解题技巧。五、课后反思（1）这节课你学到了什么？（2）如何正确解不等式？（3）在运用均值定理时要注意哪些条件？两个定理有什么区别？