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1、专题：基本不等式基本不等式求最值运用基本不等式求最值：一正、二定、三等号.三个不等式关系：(1) a, bR, a?+b22ab,当且仅当a=b时取等号.(2)e,bR a+b22错误!未定义书签。，当且仅当a4时取等号.(3)。力氏错误!(错误!未定义书签。)2,当且仅当a4时取等号.上述三个不等关系揭示了 a 2十, a方，a+b三者间的不等关系.其中，基本不等式及其变形:a, b/Ca+b22错误!(或a 6 W(错误甲)，当且仅当a= 6时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值;当积为定值是，可求和的最值.【题型一】运用拼凑法构造不等关系【典例1己知且210g b + 31o。，a =
2、 7,则 1的最小值为-b2-X2 + V2练习：1.若实数x, 满足x y 0 ,且log, K + log, y = 1，则:-的最小值为.1312.若实数x, y满足3x = 3(0 x 0,00,c2,且。+ = 2,则竺+上一上+二的最小值为.bab2c-2【典例2】已知x, y为正实数，则错误!+错误!的最大值为.【典例3】若正数。、6满足出? = + + 3,则4 +8的最小值为.变式：1.若4,/?+，且满足。2+/?2=。+。,则4 + 的最大值为.2 .设x 0, y 0, x+ 2y + 2冲=8，则x + 2y的最小值为.设羽y e H,4x2 +/+xy = i,P!
3、iJ 2x + y 的最大值为3 .已知正数a , 满足L + 2 = 而一 5，则ah的最小值为a b【题型二】含条件的最值求法41典例4已知正数x,y满足x + y = 1，则+ 的最小值为I I9v练习1.已知正数满足上+上=1,则一二+ Z_的最小值为（第 12H）（第 12H）x y x- y-2 .已知正数满足x + 2y = 2 ,则土包的最小值为.xy3 .已知函数），=a +帅 0）的图像通过点P（l,3），如下图所示，则4 1二一 十上的最小值为.67-1 h4.己知a,b为正数，且直线av + y-6 = 0与直线2工+ （力-3），+ 5 = 0互相平行，则2a+3 b
4、的最小值为.5.常数。力和正变量x, y满足油=6,错误!未定义书签。+错误！=错误!.若x+2y的最小 值为64,则.6 .已知正实数b满足（2a + b）b （2。+ ）【题型三】代入消元法 【典例5】(苏州市2023届高三调研测试 1 4)已知ab = -, a,/?e(0,1),则一!一 +二二的最4-a -b小值为-练习1.设实数x, y满足x2+2xy-l=0,则x?+y2的最小值是.2 .已知正实数x, y满足口 + 21+了 =4,则x + 丫的最小值为.3 .已知正实数X, y满足(x - l)(y +1) = 16,则x+ y的最小值为.4 I.若且 + = 3,则使得-+
5、 取得最小值的实数a =。a b-2.设实数x、y满足x2 +2xy- 1 = 0 ,则x+y的取值范围是4 .已知 x,y,z e/?,且x+y + z = 1,/+ y2 + z? = 3 ,求町，z 的最大值为【题型四】换元法【典例6】已知函数I（x）=axQx-6（a, b均为正数），不等式f（x）0的解集记为P,集合Q = x I -2-tx0 对 xeR 恒成立2)/*)。对 xeR 恒成立=.A0A0分离变量法:若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转 化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1)fM /(x)max2)/(x) g(a)(。为参数)恒成立=g(a) 0,y0,若不等式x! +y3 k xy (x+ y )恒成立，则实数k的最大值为练习1.已知对满足x+y + 4 = 2xy的任意正实数x, y,都有V + 2xy + y* 2 -cix-ay + 0,则实数。的取值范围为.2 .若不等式/+2xyW a J? +，)对于一切正数x, y恒成立，则实数q的最小值为,