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1、第十一章 正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察 3 个或 3 个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种 高效率试验设计方法。第一节、正交设计原理和方法 (一)正交设计的基本概念 正 交 设 计 是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A 因素是氮肥施用量，设 A1、A2、A3 3 个
2、水平；B 因素是磷肥施用量，设 B1、B2、B3 3 个水平；C 因素是钾肥施用量，设 C1、C2、C3 3 个水平。这是一个 3 因素每个因素 3 水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有 27 种。如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一
3、一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。如对于上述 3 因素每个因素 3 水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表 L9(34)安排，试验方案仅包含 9 个水平组合，就能反映试验方案包含 27 个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。一、正交设计的基本原理 表 11-1 33试验的全面试验方案 正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图 1 中标有9 个试验点，就是利用正交表 L9(34)从 27 个试验点中挑选出来的 9个试验点。即：(1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3 (4)A2B1C2 (5)A2B
4、2C3 (6)A2B3C1 (7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2 上述选择，保证了 A 因素的每个水平与 B 因素、C 因 素的各个水平在试验中各搭配一次。从图 1 中可以看到，9 个试验点分布是均衡的，在立方体的每个平面上 有且仅有 3个试验点；每两个平面的交线上有且仅有 1 个试验点。9 个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试验的基本情况。二、正交表及其特性 (一)正交表 表 11-2 是 L8(27)正交表，其中“L”代表正交表；L 右下角的数字“8”表示有 8 行，用这张正交表安排试验包含 8 个处理(水平组合)；括号内的底数“
5、2”表示因素的水平数，括号内 2 的指数“7”表示有 7 列，用这张正交表最多可以安排 7 个 2 水平因素。表 11-2 L8(27)正交表 2 水平正交表还有 L4(23)、L16(215)等；3 水平正交表有 L9(34)、L27(313)、等。(二)正交表的特性 1、任一列中，不同数字出现的次数相同 例如 L8(27)中不同数字只有 1 和 2，它们各出现 4 次；L9(34)中不同数字有 1、2 和 3，它们各出现 3 次。2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相同 例如 L8(27)的任两列中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两次；L9(34)任两列中 (
6、1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现 1 次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素 水 平 组合在全部水平组合中的分布是均衡的。由 图 11-1 可以看出，在立方体中，任一平面内都包含 3 个 试验点，任两平面的交线上都包含 1 个试验点。整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因
7、素的效应都彼此抵消。如在 A、B、C 3 个因素中，A 因素的 3 个水平 A1、A2、A3 条件下各有 B、C 的 3 个不同水平，即：在这 9 个水平组合中，A 因素各水平下包括了 B、C 因素的 3 个水平，虽然搭配方式不同，但 B、C 皆处于同等地位，当比较 A 因素不同水平时，B 因素不同水平的效应相互抵消，C 因素不同水平的效应也相互抵消。所以 A 因素 3 个水平间具有可比性。同样，B、C 因素 3个水平间亦具有可比性。(三)正交表的类别 1、相同水平正交表 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为 2，称
8、为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为 3，称为 3 水平正交表。2、混合水平正交表 各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为 混合水平正交表。L8(4124)表中有一列最大数字为 4，有 4 列最大数字为 2。也就是说该表可以安排 1 个 4 水平因素和 4 个 2 水平因素。L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。三、正交设计方法 【例 111】某水稻栽培试验选择了 3 个水稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青，3 种密度(B)：15、20、25（万苗/）；3 种施氮量(C)：3、5、8（kg/），试采用正交设计安排一个试验方案。(一)确定
9、试验因素及其水平,列出因素水平表 表 11-3 因素水平表 (二)选用合适的正交表 根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选 正交表 的 总 自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。此例有 3 个 3 水平因素，若不
10、考察交互作用，则各因素自由度之和为因素个数(水平数-1)=3 (3-1)=6，小于 L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用 L9(34)；若要考察交互作用，则应选用 L27(313)，此时所安排的试验方案实际上是全面试验方案。(三)表头设计 表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安排 各 因 素与交互作用。此例不考察交互作用，可将品种(A)、密度(B)和施氮量(C)依次安排在 L9(34)的第 1、2、3 列上，第 4 列 为空列，见表 2-4。表 11-4 表
11、头设计 L9（34）表头设计 L8(27)表头设计 (四)列出试验方案 把正交表中安排因素的各列(不包含欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。表 11-5 正交试验方案 第二节 正交试验资料的方差分析 若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；若各号试验处理都有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观测值正交试验。一、单个观测值正交试验资料的方差分析 对【例 11-1】用 L9(34)安排试验方案后，各号试验只进行一次，试验结果列于表 2-6。试对其进行方差分析。表 11-6 正交试验结果计算表 Ti为各因素同一水平试验指标之和，T
12、为 9 个试验号的试验指标之和；x为各因素同一水平试验指标的平均数。该试验的 9 个观测值总变异由 A 因素、B 因素、C 因素及误差变异 4 部分组成，因而进行方差分析时平方和与自由度的分解式为：SST=SSA+SSB+SSC+SSe dfT =dfA +dfB +dfC +dfe 用 n 表示试验(处理)数；a、b、c 表示 A、B、C 因素的水平数；ka、kb、kc表示 A、B、C 因素的各水平重复数。本例，n=9、a=b=c=3、ka=kb=kc=3。1、计算各项平方和与自由度 矫正数 C=T2/n=37112/9=总平方和 SST=x2-C =（+）=A 因素平方和 SSA=2AT/
13、ka-C =+/3 =B 因素平方和 SSB=2BT/kb-C =+/3 =C 因素平方和 SSC=2CT/kc-C =+/3 =误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC =总自由度 dfT =n-1=9-1=8 A 因素自由度 dfA=a-1=3-1=2 B 因素自由度 dfB=b-1=3-1=2 C 因素自由度 dfC=c-1=3-1=2 误差自由度 dfe=dfT-dfA-dfB-dfC =8-2-2-2=2 2、列出方差分析表，进行 F 检验 表 11-7 方差分析表 F 检验结果表明，三个因素对产量的影响都不显著。究其原因可能是本例试验误差大且误差自由度小(仅为 2)，使检
14、验的灵敏度低，从而掩盖了考察因素的显著性。由于各因素对增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间的多重比较。此时，可从表 11-6 中选择平均数大的水平 A2、B3、C3组合成最优水平组合 A2B3C3。若 F 检验结果 3 个因素对试验指标的影响显著或极显著，进行各因素水平间多重比较常采用 SSR 法。本例是选用相同水平正交表 L9(34)安排的试验，A、B、C 因素各水平重复数相同，即ka=kb=kc=3，它们的标准误相同，即 单个观测值正交试验资料的方差分析，其误差是由“空列”来估计的。然而“空列”并不空，实际上是被未考察的交互作用所占据。这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为模型误
15、差。若交互作用不存在，用模型误差估计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。正交试验的重复，可采用完全随机或随机区组设计。二、有重复观测值正交试验资料的方差分析 【例 114】为了探讨花生锈病药剂防治效果的好坏，进行了药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3 因素试验，各有 3 个水平，选用正交表 L9(34)安排试验。试验重复 2 次，随机区组设计。正交试验方案及试验结果(产量 kg/小区，小区面积见表 1110，对试验结果进行方差分析。用 r 表示试验处理的重复数
16、(区组数)；n，a、b、c，ka、kb、kc的意义同上。此例 r=2；n=9，a=b=c=3，ka=kb=kc=3。表 11-10 防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验方案及结果计算表 Ti为各因素同一水平试验指标之和，T 为 9 个试验号的试验指标之和；x为各因素同一水平试验指标的平均数。对于有重复、且重复采用随机区组设计的正交试验，总变异可以划分为处理间、区组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为 A 因素、B 因素、C 因素与模型误差变异四部分。此时，平方和与自由度分解式为：SST=SSt+SSr+SSe2 dfT=dft +dfr+dfe2 而 SSt=SSA+SSB+SS
17、C+SSe1 dft =dfA+dfB+dfC+dfe1 于是 SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2 dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2 其中：SSr为区组间平方和；SSe1为模型误差平方和；SSe2为试验误差平方和；SSt为处理间平方和；dfr、dfe1、dfe2 、dft 为相应自由度。注意，对于重复采用完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无 SSr、dfr项。1、计算各项平方和与自由度 矫正数 C =T2/r n=（29）=总平方和 SST=x2-C =+=区组间平方和 SSr=T2r/n-C =+/9-=处理间平方和 SSt =
18、T2t/r-C =+/=A 因素平方和 SSA =T2A/kar-C =+/(32)-=B 因素平方和 SSB=T2B/kbr-C =+/(32)-=C 因素平方和 SSC=T2C/kcr-C =+/(32)=模型误差平方和 SSe1=SSt SSA SSB-SSC =试验误差平方和 SSe2=SST SSr-SSt =总自由度 dfT=rn-1=29-1=17 区组自由度 dfr=r-1=2-1=1 处理自由度 dft=n-1=9-1=8 A 因素自由度 dfA=a-1=3-1=2 B 因素自由度 dfB=b-1=3-1=2 C 因素自由度 dfC=c-1=3-1=2 模型误差自由度 dfe
19、1=dft-dfA-dfB-dfC =8-2-2-2=2 试验误差自由度 dfe2=dfT-dfr-dft=17-1-8=8 2、列出方差分析表，进行 F 检验 表 11-10 有重复观测值正交试验资料的方差分析表 首先检验 MSe1与 MSe2差异的显著性，若经 F 检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，进行 F 检验与多重比较，以提高分析的精度；若 F 检验显著，说明存在交互作用 ，二者不能合并 ，此时只能以 MSe2进行 F 检验与多重比较。本例 MSe1/MSe2=*，模型误差均方 MSe1 与试验误差均方 MSe2 差异极显著，说明试验因素间交互作用极显著
20、，只能以试验误差均方 MSe2 进行 F 检验与多重比较。F 检验结果表明，药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3 因素对花生产量都有极显著影响；区组间差异不显著。3、多重比较 (1)若模型误差显著，说明试验因素间存在交互作用，各因素所在列有可能出现交互作用的混杂，此时各试验因素水平间的差异已不能真正反映因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较无多大实际意义，但应进行试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合。进行各试验处理间多重比较时选用试验误差均方 MSe2。模型误差显著，还应进一步试验，以分析因素间的交互作用。(2)若模型误差不显著，说明试验因素间交互作用不显著，各因素所在列
21、有可能未出现交互作用的混杂，此时各因素水平间的差异能真正反映因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合，得到最优水平组合。进行各因素水平间的多重比较时，用合并的误差均方 MSe=（SSe1+SSe2）/（dfe1+dfe2）此时可不进行试验处理间的多重比较。本例模型误差极显著，说明因素间存在交互作用，不必进行各因素水平间的多重比较，应进行试验处理间的多重比较 ，以寻求最处理，即最优水平组合。为了让读者了解多重比较的方法，下面仍对各因素水平间、各试验处理间进行多重比较。（1）A、B、C 因素各水平平均数的多重比较 表 11-12
22、A 因素各水平平均数的多重比较表(SSR 法)表 11-13 B 因素各水平平均数的多重比较表(SSR 法)表 11-14 C 因素各水平平均数的多重比较表(SSR 法)因为 由 dfe=8 和 k=2,3,查得 SSR 值并计算出 LSR 值列于表 11-15。表 11-15 SSR 值与 LSR 值表 多重比较结果表明：A 因素各水平平均产量间、B 因素各水平平均产量间、C 因素各水平平均产量间差异显著或极显著。各因素的最优水平为 A1、B1、C2。注意，本例模型误差显著，试验因素间存在交互作用，不宜从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合来得到最优水平组合。（2）各试验处理平
23、均数间的多重比较 表 11-16 各试验处理平均数多重比较表(LSD 法)因为 由 dfe=8,查得(8)=，(8)=，计算出 LSD 值为：=(8)=(8)=各试验处理间平均数多重比较结果，除第 2 号试验处理与第 7 号试验处理、第 3 号试验处理与第 6 号试验处理平均产量差异不显著外，其余各试验处理平均产量间差异极显著或显著，最优水平组合为第 2 号试验处理 A1B2C2（或第 7 号试验处理 A3B1C3）本例模型误差显著，试验因素间存在交互作用，应以试验处理间的多重比较寻求的最优水平组合，即第 2 号试验处理 A1B2C2（或第 7 号试验处理 A3B1C3）为该试验的最优水平组合。ijxxSijxxS