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1、/7 微积分初步 一、填空题 函数)2ln(1)(xxf的定义域是 答案：),3()3,2(函数1322xxxy的间断点是=答案：1x 曲线1)(xxf在)1,0(点的斜率是答案：21 若cxxxf2cosd)(，则)(xf 答案：x2cos4 微分方程0)(3 yyx的阶数是 2 6.函数xxxf2)1(2，)(xf答案：12x 7 函数0,20,2sin)(xxkxxxf在0 x处连续，则k=2 8.曲线1)(xxf在)1,0(点的斜率是答案：21 9.xxxd)253(113答案：4 10.微分方程0sin)(3 yyyx的阶数是答案：2 11.函数241)(xxf的定义域是答案：)2,
2、2(12.若24sinlim0kxxx，则k答案：2 13.已知xxfln)(，则)(xf =答案：21x 14.若xxsdin答案：cxcos 15.微分方程yxexyyx sin)(4的阶数是 3 16.函数xxxf4)2ln(1)(的定义域是(-2,-1)(-1，4】17.若24sinlim0kxxx，则k2 18.曲线xye在点)1,0(处的切线方程是 _y=x+1_ 19.e12d)1ln(ddxxx 0 20.微分方程1)0(,yyy的特解为 y=e 的 x 次方 21.函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是2,1()1,2(22.若函数0,0,2)(2xkxxxf,在0 x处
3、连续，则k 2 23.曲线xy 在点)1,1(处的斜率是21 24.xxd2cx2ln2 25.微分方程xy2满足初始条件1)0(y的特解为12 xy 26函数)2ln(1)(xxf的定义域是 答案：),3()3,2(27函数xxf51)(的定义域是 答案：)5,(28函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是 答案：2,1()1,2(29函数72)1(2xxxf，则)(xf 答案：62x 30函数0e02)(2xxxxfx，则)0(f 答案：2 31.函数xxxf2)1(2，则)(xf 答案：12x 32函数1322xxxy的间断点是 答案：1x 33xxx1sinlim 答案：1 34若2
4、sin4sinlim0kxxx，则k 答案：2 35若23sinlim0kxxx，则k 答案：23 /7 36曲线1)(xxf在)2,1(点的斜率是21 37曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是1 xy 38曲线21 xy在点)1,1(处的切线方程是2321xy 39)2(xxx22ln21 40若 y=x(x 1)(x 2)(x 3)，则y(0)=6 41已知xxxf3)(3，则)3(f=)3ln1(27 42已知xxfln)(，则)(xf =21x 43若xxxf e)(，则)0(f2 44函数1)(2 axxf在区间),0(内单调增加，则 a 应满足 大于零 45若)(xf的一个原
5、函数为2ln x，则)(xf。答案：x2 （c 为任意常数）46 若)(xf的一个原函数为xx2e，则)(xf。答案：xe24 47 若cxxxfxed)(，则)(xf 答案：xxxee 48 若cxxxf2sind)(，则)(xf 答案：xcos2 49若cxxxxflnd)(，则)(xf 答案：x1 50若cxxxf2cosd)(，则)(xf 答案：x2cos4 51xxded2 答案：dxex2 52xx d)(sin 答案：cx sin 53若cxFxxf)(d)(，则xxfd)32(答案：cxF)32(21 10若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2 答案：cxF)1(212
6、 54._d)2cos(sin112xxxx 答案：32 55._d)cos4(225xxxx 答案：2 56已知曲线)(xfy 在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是。答案：32 xy 57若dxxx)235(113 答案：4 58由定积分的几何意义知，xxaad022=。答案：42a，它是 1/4 半径为 a 的圆的面积。59e12d)1ln(ddxxx答案：0 60 xxde02=答案：21 61微分方程1)0(,yyy的特解为.答案：1 62微分方程03yy的通解为.答案：xe3 63微分方程xyxyysin4)(7)4(3 的阶数为 答案：2 64函数)2l
7、n(1)(xxf的定义域是_2x且3x。65函数xy31)1ln(x的定义域是_)3,1(_。66设)(xf0101e2xxxx，则)0(f_0_。67函数xxxf2)1(2，则)(xf_12x_。68xxx2sinlim0_21_。69设xxyln，则y _x1_。70曲线2xy在点2x的切线方程是_2341xy。71函数)1ln(2xy在区间_)0,(_内是单调减少的。72函数1)2(2 xy的单调增加区间是),2(73若cxxxf2cosd)(，则)(xfx2sin2 74xxd2cosd_xxd2cos_。75xx d)(sincx sin /7 76e12dx)1ln(ddxx 0.
8、77xxx-d)1cos(11 2 .78微分方程xyyxxsin)(e3 的阶数是二阶 二、单项选择题 设函数xxysin，则该函数是（偶函数）若函数xxxf2sin)(，则)(lim0 xfx（21）.函数2)1(xy在区间)2,2(是（先减后增）下列无穷积分收敛的是（02dexx）微分方程1yy的通解是（1e xcy）6.函数2312xxxy的定义域（2x且1x）7.若函数xxxf1sin)(，则)(limxfx（1）.8.函数742xxy在区间)5,5(是（先减后增）9.下列无穷积分收敛的是（12d1xx）10.下列微分方程中为一阶线性微分方程的是（xyysin）11.设函数xxysi
9、n，则该函数是（偶函数）12.当k=（2 ）时，函数00,1)(2xkxxxf，在0 x处连续.13.微分方程1yy的通解是（1e xCy）14.设函数xxysin，则该函数是（偶函数）15.当k（2）时，函数0,0,2)(2xkxxxf，在0 x处连续.16.下列结论中（)(xf在0 xx 处不连续，则一定在0 x处不可导.）正确 17.下列等式中正确的是（)d(2d1xxx）18.微分方程xyyxysin4)(53 的阶数为（3）19.设32)1(2xxxf，则)(xf（42x）20.若函数 f(x)在点 x0处可导，则(Axfxx)(lim0，但)(0 xfA )是错误的 21.函数64
10、2xxy在区间)4,4(是（先减后增）22.若)0()(xxxxf，则xxfd)(（cxx）.23.微分方程xyyyxysin4)(53 的阶数为（3）24设函数2eexxy，则该函数是（偶函数）25设函数xxysin2，则该函数是（奇函数）26函数222)(xxxxf的图形是关于（坐标原点）对称 27下列函数中为奇函数是（)1ln(2xx）28函数)5ln(41xxy的定义域为（5x且4x）29函数)1ln(1)(xxf的定义域是（),2()2,1(）30设1)1(2xxf，则)(xf（)2(xx）31下列各函数对中，（3ln)(xxf，xxgln3)(）中的两个函数相等 32当0 x时，下
11、列变量中为无穷小量的是（)1ln(x）.答案：C 33 当k（1）时，函数0,0,1)(2xkxxxf，在0 x处连续.34 当k（3）时，函数0,0,2)(xkxexfx在0 x处连续.35函数233)(2xxxxf的间断点是（2,1xx）36函数2)1(xy在区间)2,2(是（先减后增）37满足方程0)(xf的点一定是函数)(xfy 的（驻点）.38若xxfxcose)(，则)0(f=（-1）39设)(xfy 是可微函数，则)2(cosdxf（xxxfd22sin)2(cos）40 曲线1e2xy在2x处切线的斜率是（42e）41 若xxxfcos)(，则)(xf（xxxcossin2）4
12、2若3sin)(axxf，其中a是常数，则)(xf（xsin）43下列结论中（)(xf在0 xx 处连续，则一定在0 x/7 处可微.）不正确 44若函数 f(x)在点 x0 处可导，则(Axfxx)(lim0，但)(0 xfA)是错误的 45.下列结论正确的有（x0 是 f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0）46下列等式成立的是（)(d)(ddxfxxfx）47 若cxxxfx22ed)(，则)(xf（)1(e22xxx）.48若)0()(xxxxf，则xxfd)(（cxx ）.49以下计算正确的是（3ln3dd3xxx ）50 xxf xd)(（cxfxf x)()(）
13、51xaxdd2=（xaxd2 ）52如果等式Cxxfxx11ede)(，则)(xf（21x ）53 在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（y=x2+3 ）54若10d)2(xkx=2，则 k=（1 ）55下列定积分中积分值为 0 的是（xxxd2ee11）56设)(xf是连续的奇函数，则定积分aaxxf-d)(（0 ）57xxdsin22-（2）58下列无穷积分收敛的是（0dexx）59下列无穷积分收敛的是（02dexx）60下列微分方程中，（xyyxyxlnesin ）是线性微分方程 61微分方程0 y的通解为（Cy ）62下列微分方程中为可分离变量方程的是（yxy
14、xydd）63.函数 y2421xx的定义域是（(2，2）。64设11)(xxf，则)(xff（11 xx ）。65 函数)ee(21)(xxxf的图形关于（y轴）对称 66、当0 x时，变量（1e x）是无穷小量 67函数sin,0(),0 xxf xxkx 在 x=0 处连续，则 k=(-1)68曲线xxy3在点(1,0)处的切线方程是（22 xy ）。69若xxfxcose)(，则)0(f（1 ）。70函数322xxy在区间)4,2(内满足（单调上升）71函数 yx22x5 在区间(0，1)上是（单调减少 ）。72 下列式子中正确的是（xxfxxfd)(d)(d ）。73以下计算正确的是
15、（3ln3dd3xxx ）74若xxfcos)(，则xxfd)(（cxcos）75)e(dxx（cxxxee ）。76 下列定积分中积分值为 0 的是（xxxd2ee11）77微分方程yy的通解是（xcy e）。三、计算题（本题共 44 分，每小题 11 分）计算极限123lim221xxxx 解2112lim)1)(1()2)(1(lim123lim11221xxxxxxxxxxxx 设xxycosln23，求y.解 )sin(cos12321xxxyxxtan2321 3计算不定积分xxxde5e 解 cxxxxxxxe52de5)ed(5de5e 4计算定积分20dsinxxx 解 20
16、dsinxxx1sindcoscos202020 xxxxx 5计算极限286lim221xxxxx 解/7 286lim221xxxxx32)1()4(lim)1)(2()4)(2(lim22xxxxxxxx 6 设xxy3ln5cos，求y.解xxxxxxxxxy223ln35sin5)(lnln3)5(5sin)(ln)5(cos 7计算不定积分xxxdsin 解xxxdsin=2cxxxcos2dsin 8计算定积分20dcosxxx 解 20dcosxxx12cos2dsinsin202020 xxxxx 9.计算极限423lim222xxxx 解423lim222xxxx4121l
17、im)2)(2()2)(1(lim22xxxxxxxx 10.设xxy3cos5sin，求y.解 )sin(cos35cos52xxxyxxx2cossin35cos5 11.计算不定积分xxxd)1(2 解 xxxd)1(2=Cxxx32)(132)d(1)1(2 12.计算定积分0dsin2xxx 解 0dsin2xxx2sin212dcos21cos21000 xxxxx 12.计算极限2386lim222xxxxx 解：原式214lim)1)(2()2)(4(lim22xxxxxxxx 13.设xxy3cosln，求yd.解：)sin(cos312xxxy xxxxyd)cossin3
18、1(d2 14.计算不定积分xxd)12(10 解：xxd)12(10=cxxx1110)12(221)12(d)12(21 15.计算定积分xxdln2e1 解：xxdln2e121lnexx1e1ee2d222e12xxx 16.计算极限451lim221xxxx 解：原式3241lim)1)(4()1)(1(lim11xxxxxxxx 17.设xyxcose2，求yd.解：xyxsine22 xxyxd)sine2(d2 18.计算不定积分xxxdcos 解：xxxdcos=cxxxxxsxxcossindinsin 19.计算定积分xxxdln113e1 解：xxxdln113e12l
19、n12)ln1d(ln113311eexxx 20.计算极限423lim222xxxx 解4121lim)2)(2()2)(1(lim423lim22222xxxxxxxxxxxx 21计算极限165lim221xxxx 解2716lim)1)(1()1)(6(lim165lim11221xxxxxxxxxxxx 22329lim223xxxx 解234613lim)3)(1()3)(3(lim329lim33223xxxxxxxxxxxx 23计算极限4586lim224xxxxx /7 解3212lim)1)(4()2)(4(lim4586lim44224xxxxxxxxxxxxx 24计
20、算极限6586lim222xxxxx 解234lim)2)(3()2)(4(lim6586lim22222xxxxxxxxxxxxx 25计算极限xxx11lim0 解)11()11)(11(lim11lim00 xxxxxxxx21111lim)11(lim00 xxxxxx 26计算极限244sinlim0 xxx 解 )24)(24()24(4sinlim244sinlim00 xxxxxxxx 16414)24(44sin4lim)24(4sinlim00 xxxxxxxx27.设3223xxy，求y 解22)32(5)32()23(2)32(3xxxxy 28设xxy2cos，求y.
21、解2ln22sin2ln2)(sinxxxxxxy 29设xyx2sine1，求yd.解dxxxedxxxxedyxx)2cos21()2(2cos)1(211 30设xxxycosln，求yd.解xxytan2321，dxxxdy)tan23(21 31设xxxy1)1sin(2，求y.解 212322123222121)1cos(22121)1)(1cos(xxxxxxxxy 32设)(xyy 是由方程1222xyyx确定的隐函数，求yd.解dxdy 33 设)(xyy 是由方程4ee2xxyx确定的隐函数，求yd.解dxxexeedyyyx2 34设1e)cos(yyx，求yd 解dxy
22、xeyxdyy)sin()sin(35xxexd10 解利用分部积分法vdxuuvdxvu 设xu，xev，则1u，xev 1)1(d10101010eeeedxexexxexxxx 3620dsinxxx 解 利用分部积分法vdxuuvdxvu 设xu，xvsin，则1 u，xvcos 1sin0coscosdsin20202020 xdxxxxxxx 四、应用题 1用钢板焊接一个容积为43m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有24xh 所以,164)(22xx
23、xhxxS 2162)(xxxS 令0)(xS，得2x，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2hx时水箱的表面积最小.此时的费用为 1604010)2(S（元）.2欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x，高为h，容器的表面积为y，由已知5.622hx，25.62xh xxxxxxhxy2505.62442222 22502xxy /7 令0 y，解得5x是唯一驻点，易知5x是函数的极小值点，此时有5.255.622h，所以当5x，5.2h时用料最省 3.欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一
24、堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x，另一边长为x216，共用材料为y 于是 y=3xxxx43232162 24323xy 令0 y得唯一驻点12x（12x舍去）因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为 18 时，所用材料最省.4.欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知22108,108xhhx xxxxxxhxy432108442222 令043222xxy，解得6x是唯一驻点，且04322263 xxy，说明
25、6x是函数的极小值点，所以当6x，336108h时用料最省。5欲用围墙围成面积为216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解 设土地一边长为x，另一边长为x216，共用材料为y 于是 y=3xxxx43232162 24323xy 令0 y得唯一驻点12x（12x舍去）五、证明题（本题 5 分）1、函数xexxf)(在（)0,是单调增加的 证 只需证明当0 x时，有0)(xexxf 因为xxeexxf1)()(当0 x时，1xe，即有0)(xf 所以，当0 x时，xexxf)(是单调增加的。1、证明等式aaaxxfxfxxf0)()()(dd。证明：显然2)()(xfxf是偶函数，2)()(xfxf是奇函数，2)()(2)()()(xfxfxfxfxf aaaaxxfxfxfxfxxfd2)()(2)()(d)(aaaadxxfxfdxxfxf2)()(2)()(axxfxf0d)()(axxfxf0d)()(