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1、2.3平均值不等式（选学）一、教学分析：“均值不等式”内容在高中代数中出现，它是证明不等式及其各类最值的一 个重要依据和方法，应用广泛，具有变通灵活性和条件约束性特点，是高考数学 备考的一个重要知识点，在这个专题复习课中，教师要结合学生在新课学习中暴 露出来的知识与能力的缺陷，认真设计好复习方案，力争从正反两方面去加深理 解，争取在复习中做到较好的效果。二、目的要求：系统复习均值不等式及其等价式、特例式、使学生领会其中的三个条件，特别是 或“w”中取“二”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的 探究精神。三、教学重难点重点：熟练运用均值不等式及其推论放缩不等式难点：求函数表达式与最值时
2、的配凑技巧及“2”或“这中二”成立的条件。 教学媒体：多媒体五、教学设计模式：知识联系一正例同化一反例顺应f 练习强化六、教学过程：（二课时）一、知识联系（用多媒体显示）ai2+a222aia2 ai3+az3+a3323a a2a3at + a：、 /3 76G2Cl + G + G、3/ 3 yjaxaiay3ain+a2n+ +ann 2naiX2-an对于n个正数而言，积定值 则和有最小值，和定值则积 有最大值说明：、a1、a2a1,R+ (公式 a12+a2222, a2中，a、a2R)、在的限制下，所有“2”或 y 中取“二”的充要条件是aLa?=an、在应用均值不等式求最值时，控
3、制到项数(或因式)最多为3项的。二、正例同化例1、如果a、bR+,且a#b,求证：a3+ b3a2b+ab2 (课本例题)说明：该例题课本上已给出了证法一、证法二(分析法、综合法)这里再用均值 不等式探索另外两种证法。证法三：Va bGR+,且a Wb则 a+b3= 3 (a3+a3+b3)+(a3+b3+b3) 3 (+3”/W)=a?b+ab2a3+b3 a2b+ab2证法四：a3+b:i= (a+b) (a2+b2-ab) (a+b) (2ab-ab) =a2b+ab2/. a3+b3a2b+ab21例2、已知：OVxV?,求函数y=x (l-3x)的最大值分析一、原函数式可化为：y=-
4、3x2+x,利用二次函数求某一区间的最值 解法一、(利用二次函数法可获得求解)(解略)1分析二、挖掘隐含条件，,3x+l-3x=l为定值，且0Vx0；可用 均值不等式法解法二、V0x011 3x + l-3x 1/. y=x (l-3x) =3 3x (l-3x)3(2) 2=12当且仅当3x=l3x即x二k时y 2正例3、求函数y=4sinx cosx的最值分析：利用si/x+cosE进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求 最值解： Vy2=16sinJx cos2x cosJx=8 (2sinJx cos2x cosJx) .2222sin-x +cosx +cos x864W8
5、(3) 3=8X27 = 276441Ay227,当且仅当 2sin?x=cosx 即 Igx二士时，取二”号y募石三、反例训练5例4、求尸sinx+sinx的最小值，xe (0, n )错解,Vxe (0, n ) Asinx05，y=sinx+sinx22q二2石，ymix=2右5错因：y二2百的充要条件是：sinx二菽，即sir?x=5,这是不存在的。正解：Vx (0, n ) .sinx051 44又 y=sinx+sinx =sinx+sin x sin x 2+ s*n x14当且仅当sinx二sinx即sinx=l时，取“二”号，而此时sinx也有最小值4当 sinx=l 时,y
6、nlx=6例5、已知正数x、y满足2x+y=l,求二十7的最小值 借解，.,l=2x+y2 2历,而w 2式即K 2五22-2拉=4&,即 + y的最小值为4板.错因：过程中两次运用了均值不等式中取“二”号过渡，而这两次取“二”号的条 件是不同的，故结果错。1 1 2x+y 2x+y v 2x正解1：,y=工=3+x+ (以下同i)1 1 1 1 正解 2：设” 二t即 rx y = t 2tx2- (1+t) x2+l=0I y=l-2x再用方程根的分布方法求解(略) 小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果 多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“2”（或者“W”）中取“二”成 立的诸条件是否相容。四、练习强化（用多媒体展示，此略）分三个层次的练习：堂上练习，课外作业，选做题