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1、 80 初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算 知识点击 1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。例题选讲 例 1化简2312 xx+6512 xx+12712 xx 解：原式=)2)(1(1xx +)3)(2(1xx+)4)(3(1xx=11x -21x+21x -31x+31x -41x =)4)(1(3xx 例 2 已知 zzyx=yzyx=xzyx，且 xyz0，求分式xyzxzzyyx)()(的值。80 解：易知：zyx
2、 =yzx =xzy =则)3()2()1(kxzykyzxkzyx （1）+（2）+（3）得：(-2)(x+y+z)=0 =2 或 x+y+z=0 若=2 则原式=k3=8 若+=0，则原式=k3=-1 例 3设 12 mxxx=1，求 12242xmxx的值。解：显然 X0，由已知xmxx12=1，则 x+x1=+1 22241xxmx=2+21x-2=(x+x1)2-2 2=(+1)2-2-2=2-1 原式=121m 例 4已知多项式 3x3+ax2+3x+1 能被 x2+1 整除，求的值。解：80 13313232xaxxXax 1-=0 =1 例 5：设为正整数，求证 311+511
3、+)12)(12(1nn 21 证：左边=21（1-31+31-51+121n-121n）aaaxaxxOx1133223 80 =21（1-121n）n 为正整数，121n 1 1-121n 1 故左边 21 小结归纳 1、部分分式的通用公式：)(1kxx=k1（x1-kx 1）2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为 K，将连等式化为若干个等式，把各字母用 80 同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法，应熟练掌握。巩固练习 1、若分式1222mm的值是正整数，则整数 m=。2、若1432aaaa=2431
4、aaaa=3421aaaa=4321aaaa=则 k=。3、已知 a2-3b2=2ab.(a0，b0),则baba 2=.80 4、已知 a、b、c 是有理数，且baab=31，cbbc=41，acca=51，则cabcababc=。5、若x1-y1=2006，则yxyxyxyx260192=。6、实数 a、b 满足 ab=1，设 A=a11+b11，B=a1a+b1b+1，则 A、B 的关系 为 。7、当、为何值时，多项式baxxxx23433能被除数232 xx整除？8、计算 20072007200720072007752115 =。9、已知)3)(23(322xxxxx=1AX+2BX+
5、3CX，求 A、B、C 的值。80 10、若对于3 以外的一切实数 X，等式3xm-3xn=982xx均成立，则 mn=11、已知ba=cb=ac，则cbacba =。第二讲 分式方程及应用 知识点击 1、解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；2、解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；3、分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。80 例题选讲 例1 解方程组661091852xyyxyxyx 分析：令yx 1=m,yx 1=n,则661091852nmnm 可得：566nm 易求：3121yx 例2 解方程730468157
6、264xxxxxxxx 解：原方程可化为61711121xxxx 80 两边分别通分：)6)(7(1)1)(2(1xxxx，易求：=4 例3 当为何值时，关于 x 的方程21122xxxxxxm的解为正数？解：解方程可得：x=21m，需210 xxx 可得1 且 m-3。例4 设库池中有待处理的污水 a 吨，从城区流入库池的污水按每小时 b 吨的固定流量增加，若同时开动 2 台机组需 30 小时处理完污水，同时启动 4 台机组需 10 小时处理完污水，若要求在 5 小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？解：设 1 台机组每小时处理污水 y 吨，要在 5 小时内处理完污水，至少同时
7、开动 x 台机组，则：80 xybaybayba551041030230 可得 ybya30 X 755yba 例5 求证对任意自然数 n，有222131211n2 证明：当 n=1 时，12 显然成立。当1 时，（-1）2 所以21n nnnn111)1(1 故：222131211n)111()3121()211(1nn n122 80 点评归纳 1、当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；2、假分式构成的分式方程一般先分离整数，然后等式两边分别通分可解。3、解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。巩固练习 1
8、、某同学用一架不等臂天平称药品，第一次将左盘放入 50g 砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入 50g 砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（）A、等于 100g B、大于 100g C、小于 100g D、都有可能 2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水 2 小时，再用小抽水机单独抽水 1 小时即可浇完，已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的211倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时？80 3、解方程13307223xxxxx=20724536112223xxxxx 4、解方程52)10)(9(1)32(1)2)(1(1101xxx
9、xxxx）（5、某工厂将总价 2000 元的甲种原料与总价 4800 元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少 3 元，比原乙种原料每斤多 1 元，问混合后的单价。6、自然数 m、n 是两个不同质数，且 m+n+mn 的最小值为 P，则222pnm=7、已知mxxxf2372)(有因式32 x，则=8、求112xxy的最大值。80 第三讲 一元二次方程的解法 知识点击 1、一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。2、对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。3、含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。4、设而不求是研究一元二次方程公共解的基
10、本方法。例题选讲 例1 解方程161311112222xxxxxx 解：令yxxx1122，则yy1=1613,解得321y，232y 80 即321122xxx或231122xxx，解得2153,1321xx 例2 解方程8532 xx-1532 xx=1 解：（8532 xx+1532 xx）（8532 xx-1532 xx）=7 8532 xx+1532 xx=7 又8532 xx-1532 xx=1+：8532 xx=4 易知：X2=1 X2=38 例 3：已知 m 是方程 X2-2007X+1=0 的一个不为 O 的根 80 求 2-2006m+120072m的值 解：为方程的非零根
11、，2-2007+1=0 可得2=2007-1，+m1=2007，2+1=2007 原式=2007-1-2006+m20072007=+m1-1=2007-1=2006 例 4、设、为实数，那么 a2+ab+b2-2b 的最小值为多少？解：原式：=a2+（b-1）a+（b2-2b）=(a+21b）2+43(b-1）2-1 当 a=o b=1 时，最小值为-1 例 5：解方程2（x2-x+1）-（x2-1）=（2-1）80 解：原方程整理为：（-1）2-（22-1）+（+1）=0-（m+1）（-1）-=0 x=+1 或（-1）=1）当0，1 时，x1=mm1，x2=1mm 2）=0，=0 3）=1
12、 时=2 例 6：方程（2007）2-20062008X-1=0 的较大根为，方程 2006x2-2007X+1=0 的较小根为,求-的值 解:方程可化为(20072X+1)(X-1)=0 X=-220071 X2=1 X2X1 m=1 方程可化为(2006X-1)(X-1)=0 80 X1=-20061 X2=1 X1 X2=20061 n-m=20061-1=-20062005 点评归纳 1、有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。2、含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时通常可用平方
13、差公式构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。3、一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用。巩固练习 1、解方程：2x2+22x-3X-x3=2、解方程：237XX+145XX=80 3、解方程：x2-|2X-1|-4=4、三个二次方程 a x2+bx+c=0，b x2+=0，c x2+=0 有公共根，求证+=0 5、已知 a、b、c 均为实数，且满足122 aa+|+1|+(+2)2=0 试求方程 a x2+-=0 的解 6、求证方程（-）x2+（-）x+-=0（ab）有一个根为 1。7、设方程 x2+px+q=
14、的两根为 X1、X2，且 I1=x1 +X2 I2=x21+x22 In=xn1+xn2则当 n3 时，求 In+PIn-1+qI n-2+的值。8、证明：不论 X 为何实数，多项式 2x4-4 x2-1 的值总大于 x4-2x2-4 的值。80 9、已知 a2-4a+b2-2b+1665=0，则 a2-4b=10、已知 m、n 为有理数，方程 x2+mx+n=0 有一个根为5-2，求 m+n 的值。11、已知2=+5，2=+5，求5+5的值.12、二次方程 a（x+1）（x+2）+b（x+2）（x+3）+c（x+3）（x+1）=13、解关于 x 的方程（-1）x2+2x+3=0 第四讲 根的
15、判别式及根与系数的关系 知识点击、设一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根为 X1、X2，则 ax2+bx+c=a（X-X1）（X-X2）=ax2-（X1+X2）X+X1X2 80 X1+X2=-ab X1 X2=ac 这两个式子即为一元二次方程 根与系数的关系。要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑0、0 这两个前提条件。2、一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作=b2-4ac，使用的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数 a0，它是解决一元二次方程整数解的工具。3、使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重要
16、知识与方法。例题选讲 例 1：已知一直角三角形三边分别为 a、b、c，B=90，那么关于 X 的方程 a（X2-1）-2CX+b（X2+1）=0 的根的情况如何？解：方程整理为：（a+b）X2-2CX+b-a=0 =4（C2+a2-b2）B=90 C2+a2=b2 80=0，原方程有两个相等实根 例 2：求所有正实数 a，使得方程 X2-aX+4a=0 仅有正整数根。解：设方程的两个正整数根为 X，y（Xy）则 axyayx4 X-4（+）=0 （-4）（-4）=16 4444yx 这时 x=y=8 a=+=16 8424yx 这时 126yx a=+=18 16414yx 这时205yx a
17、=+=25 例 3：已知 1260，且一元二次方程 X2-2（+1）+2=0，两个整数根，求整数，并求这两个整数根。80 X=+112m为整数 2+1 必为完全平方数 12 60，252+1121 2+1 为奇数 2+1=49 或 2+1=81 则 1=24 时，X1=32，X2=18 2=40 时，X1=50，X2=32 例 4：设 a、b、c 是互不相等的非零实数，求证三个方程，aX2+2bx+c=0 bX2+2cx+a=0 C X2+2ax+b=0 不可能都有两个相等的实数根。证明（一）：假设三个方程都有两个相等的实数根。)3(044)2(044)1(044232221bcaabcacb
18、 80（1）+（2）+（3）：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0 (-)2+(-)2+(-)2=0 有=,这与已知条件矛盾 所以三个方程不可能都有两个相等的实数根.证明（二）:1+2+3=2(+)2+(-)2+(-)2 a、b、c 为全相等 1+2+30 1+2+3中至少有一个大于 0 即至少有一个方程有两个不相等的实数根。例 5：已知、是方程 X2-7X+8=0 的两根，且 不解方程，利用根与系数的关系求2+32的值。80 分析：由+B=7 2=8 直接求2+3B2的值无法下手,这时,我们常用对偶式2+32来构造和差求解:+=7 2=8 2+2=（+）2-2=72-28=33
19、（-）2=（+）2-4=72-48=17 又 -=17 令 M=2+32,构造 M 的对偶式 N=2+32 M+N=(2+2)+3(2+B 2)=10043 M-N=(2-2)+3(2-2)=-485 17 80(+)2 得 M=81785403 点评归纳 1 运用一元二次方程根的判别式时，常与配方法结合使用，这时应考虑非负数的性质。4、运用根与系数的关系求整数解时，因式分解法及分离整数法是求不定方程整数解的常用方法。5、利用对偶式构造和差法是代数式求值时重要的变形技巧，应灵活运用。巩固练习 1、方程 X2+PX+q=0 的两个根都是正整数，且 P+q=1996，试问方程较大根与较小根之比为多
20、少？2、已知一元二次方程 a X2+bx+c=0（ac0）有两个异号实根和，且|，那么二次方程 C X2+（-）ax-a=0 的根的情况是（）A、没有实根 B、两根同正 C、两根同负 D、两根异号 3、关于 X 的二次方程 2 X2-5X-a=0 的两根之比，X1：X2=2:3 80 则 X1-X2=4、若方程 X2-4（-1）X+32-4K0，对于任意有理数都有有理根，求实数 K 的值。5、求方程X22+的实数解。6、若对于任何实数 a，关于 X 的方程，X2-2ax-a+2b=0 都有实根则实数 b 的取值范围是（）7、若是不为 0 的整数，当二次方程X2-（-1）X+1=0 有有理根时，
21、则=（）、方程|X2-5X|=有且只有相异二实根，求 a 的取值范围 9、关于 X 的方程X2+2（-3）+（-2）至少有一个整数解且 a 是整数，求 a 的值。10、已知 X1、X2是关于 X 的方程 4 X2-（3-5）-620 的两个实根，且|21xx|=23试求的值.11、设方程 4X2-2X-3=0 的两个根为、，求 42的值.12、若、都是实数，且0，abc=1 则 、中必有一个大于23.80 13、设 a2+2a-1=0 b4-2b2-1=0 且 ab2 1 则（abab122）2007=14、已知、为整数，且，方程 3 X2+3（+）X+4=0 的两根、满足关系式（+1）+（+
22、1）=（+1）（+1），试求所有的整数对（a、b）15、关于 X 的方程，X2+（a-6）X+=0 的两根均为整数，求 a.16、已知 X1、X2是方程 4aX2-4ax+4=0 的两个实根（1）是否能适当选取 a 的值，使是（X1-2X2）（X2-2X1）的值为45？（2）求使122xx+221xx=的值为整数的整数 a 的值 17、求证：对于任意一矩形 A，总存在矩形 B，使得矩形 A 和矩形 B 的周长之比和面积之比都等于常数 K（其中 K1）第五讲：一元二次方程的应用 80 知识点击 1、一元二次方程的应用问题，诸如：数字问题、面积问题、增长率问题、方案设计问题等，综合运用一元二次方程
23、的有关知识，是各类考试与竞赛的重要考点，须认真领会。2、形如 AX2+Bxy+cy2+DX+Ey+F 的各项式叫做关于 X、y 的二元二次多项式，常见的分解方法有双十字相乘法、待定前数法、公式法等。公式法是先将原式整理成关于 X（或 y）的二次三项式，再运用求根公式。3、非一次不定方程主要掌握两种情况：二次三项式左边分解成两个因式的乘积，右边分解因数求整数解；分式不定方程，采用整数离析法求整数解。4、可化为一元二次方程的分式方程要注意方程的特点进行有效的变形，像 X+x1=+a1这类特殊类型的方程，显然 1 时，X1=与 X2=a1就是它的两个根。无理方程通过配方、换元、分解转化为有理方程来解
24、。例题选讲 例 1：m 为何值时，二次三项式 x2+2x-2+m(x2-2x+1)是完全平方式？80 解：原式=（）X2（）（）令=0，即 4(1-)2-4()（）解得=3 例 2：分解因式 X2xy-2y2-y-6 解：X2xy-2y2=（）（2y）设原式=（）（2y）X2xy-2y2=（）（）比较对应项系数6721mnnmmm 32mm 80 原式（）（）例 3：在矩形地 ABCD 中央修建一矩形 EFGH 花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？解：设道路宽 X，AB=，AD=，（），则（-2X）（-2X）
25、=21，8x2-4（）ab=0 解得41（）22ba 若41（）22ba ，则41（2）2b 这不可能，舍去这个根。则41（）22ba 量法是：用绳量出 AB+BC（即之长），从中减法 BD（即22ba）；将剩下的绳长对折两次即得到道路宽度 X。80 例 4：为何值时，关于 X 的分式方程11xx+mxmx+2=0 只有一个根？解：原方程整理为 2x2-（1-）（）当=(1-)2=0 时,=1,方程有两个等根经验符合题意（）当1 时,X1=0 X2=21m有一个为增根 代入公分母(X+1)(X-)中可得=0 式=-1 所以=-1 或=0 或=1 时，原方程只有一个实根。例 5：解方程4x=47
26、12x 解：令=4x 则=y712 y2-7+12=0 y1=3 y2=4 代入 y=4x得：x1=81 x2=256 80 例 8：求方程 2xy2x23x-5y+11=0 的整数解。解：原方程可化为5211322xxx 526x （）为整数 526x必为整数 又2x-5 为奇数,2x-5 为 6 的奇数约数,即 2x-5=1、3 代入（1）：，3,2,9,44,3,2,1yx 例 9：某商店将进货值每个 10 元的商品按每个 18 元售出时，每天可卖出 60 个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品售价每提 1 元，则日销售量就减少 5 个，若将这种商品售价直降低 1 元，则日
27、销量就增加 10 个，为了获得最大的利润，作为商店经理应把此商品售价定为每个多少元？解：设此商品每个售价为 X 元，每日利润为 y 元。(1)当 X 18 时，60-5（-18）（-10）=-5(-20)2+500 即商品售价每个 20 元时,每日最大利润为 500 元.(2)当 X 18 时，60+10（18-）（-10）=-10(-17)2+490 80 即商品售价每个 17 元时,每日最在利润为 490 元。综上所述，该商品应定价为每个 20 元，使每日利润最大。点评归纳 1、应用一元二次方程解决实际问题时，应注意0 及判别式的取值情况。2、利用一元二次方程建立数学模型时，配方法常用来求
28、最值，求根公式法虽然运算量较大，但在求整数解、有理根时常用，仍不失为一种行之有效的好方法。3、待定系数法、换元法、因式分解法、整数离析法等方法渗透在一元二次方程的应用问题中，要区分它们的适用范围与条件，灵活运用。巩固练习 1、分解因式 2X2-5xy-3y2+11y-6 2、在长为 a 的线段 AB 上有一点 C，且 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，求 AC 的长。当 K 为何值时，二次三项式 X2-25-K（X+5）是关于 X 的完全平方式。4、甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在 11 时相遇。一天乙地的船因故晚发了 40 分，结果两船在 1
29、1 时 15 分相遇，乙知甲地开出的船在静水中的速度为 44 千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度 V 千米/时的平方，求 V.80 5、若正数 X 的整数部分的平方等于 X 与它小数部分的积，则 X-x1=6、关 X 的方程（X+xa）2-5X-xa5=-6 有两个根相等,求 a.若方程2xx+xx2+)2(2xxax=0 只有一个实数根，求 a 的值及原方程的根。（=-27时，X=21；=-4 时，=1 =-8 时，=-1 7、关于 X 的方程 X2+KX+4-K=0 有 2 个整数根，求 K 的值.8、求方程 X2+xy+y2-3x-3y+3=0 的整数解。10、求为何整数时
30、，二次三项式22-1 的值可以分解为两个连续整数之积。11.求方程x1y121的正整数解 第六讲 与圆有关的位置关系 80 知识点击 1、垂径定理是圆的轴对称性的产物，在证明线段相等，弧相等，角相等几方面及圆中的有关计算问题，应用极为广泛，类似于直角三角形中的勾股定理般重要，应熟练掌握。2、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系分别由点与圆心的距离，圆心与直线的距离，圆心距与圆的半径之间的数量关系确定。3、三角形的“四心”：重心三条中线的交点，各条中线被重心分面 2:1 两部分；外心三边中垂线的交点，外接圆的圆心，垂心三条高的交点；内心内角平分线的交点，内切圆的圆心。4、四点共圆：若四边形 ABC
31、D 的一组对角互补，则 A、B、C、D 四点共圆。5、相交弦定理，切割线定理与相似的三角形结合使用是解决和圆有关的比例线段的重要途径。例题选讲 例 1：ABC 中，A=72，O 截ABC 的三条边所得的三条弦都相等，求BOC 解：过 O 作三条相等弦的弦心距 OD、DE、OF，则 OBOBOEOD RtBDORtBEO OBD=OBE=X 同理OCE=OCF=2X+2y+A=180 +=54BOC180-(+)=126 例 2、四边形 AB（1）内接于O，ACBD，垂是为 E，BAD：BCD=3:1 DF 交 AC 于点 G，且 AF AB=AG D E F 80 AE，BE=2，ED=3（）
32、求证AFGDFB （）求四边形 ABCD 的面积。解（1）AFAB=AGAE GAFBAEAEAFABAG90AEBAEBAFG 451:3:90BADBCDBADAFGDFAF DGEAGFDGEBDACBADAFG90290190DEBAFG21 AFGDFB（ASA）G 80（2）BDC121DEDECGDRBDC2aCEEGCEDCEPGE设（+5）=2X3 =1 =2)215(5X=235 例 3、等腰ABC 中，AB=AC，BC=4，内切圆半径为 1，求腰长 解：设 AB、AC、BC 分别切 O0 于 F、E、D 连 OF、AD 令 AF=X AB=AC BF=BD=21BC=2
33、RtAOF 中，AO=12x RtABD 中，AB2=AD2+BD2 即(+2)2=12x+1)2+22 80 解得 =34,AB=AC=34+2=310 例 4：O1与O2相交于 A、B 两点，O1A=35 O2A=5 COSAO1O2=552 求 SinBAO2的值。552=6 解：ABO1O2 O1C=O1A COSA O1O2=53AC=2122COAO=3 6 AB 延长 AO2交 O2于 D，AD=10，AB=68 BD SinBAO2=108=54 D 80 例 5：PA、PB 分别切O 于 A、B 两点，PC 满足 ABPB-ACPC=ABPC-ACPB 且 APPC，PAB=
34、2BPC 求ACB 解：ABPB-ACPC=ABPC-ACPB 0)(PCPBACAB PAPCPB A、B、C 三点共P 令PAB,则.2APB90BPC-2,PAB=180-4 又 PA=PB APB=2 PAB=22180=90-180-4=90-=30 例 6、AB 为O 直径，PB 切O 于点 B、PA 交O 于点 C，APB 的平分线分别交 BC、AB 于点 D、E，交O 于点 F，A=60，线段 AE、BD 的长是一元二次方程 X2-KX+32=0（K 为常数）的两个根。（）求证 PABD=PBAE （）求证O 的直径为常数 K B 80（）求 tanFPA 证：（1）易证PAE
35、PBD 从而 PABD=PBAE（2）易证BED=BDE 则 BD=BE 又 AE+BD=K 则 AE+BE=AB=K（3）A=60 ABPB 则 BP=3 k BEAE=BPAP=32 则 AE=32BE AE+BE=K 32BE+BE=K 则 BE=323K tanFPA=tanEPB=BPBE=KK3323=2-3 点评归纳 D 80 1、弦心距和半径是圆中常用的辅助线，因为应用垂径定理和直角三角形的知识在解决弦的有关问题时常常用到。2、三角函数值在圆中的计算常常用到，这时我们通常需要构造直角三角形或用直角三角形中与之相等的角替换，使已知的三角函数值可用或可求。3、有公共端点的几条线段相
36、等时，常构造圆使问题迎刃而解。巩固练习 1、以线段 AB 为直径的一个半圆，圆心为 O，C 是半圆周上一点，且 OC2=ACBC，则CAB=2、O 的半径 OA=6cm，点 C 是弦 AB 上一点，OCOA 且 OC=BC 当 AB 的长.3、平面上不共线的四点，可以确 个圆。4、已知ABC=21ABC，则 ABC=5、三角形一边为 2，这边上的中线为 1，另两边之和为 1+3，这个三角形面积为 80 6、O 半径为 R，C、D 是直径 AB 同侧圆周上两点，A C 的度数为 96，B D 的度数为 36，动点 P 在 AB 上运动，则 CP+PD 的最小值为 7、A、B、C 为O 上的三点，
37、若ABO=50，则BCA=第 7 题 第 8 题 8、ABC 内接于O，A=30，BC=43，则O 的直径为 9、AB 是O 的直径，半径 OCAB，弦 CE 交 AB 于 D，80 求证：AB2=2CDCE 10、AB 为半圆的直径，ADAB，点 C 为半圆上一点，CDAD，若 CD=2，AD=3，求 AB 的长。11、AB 切O 于 D，AO 延长线交O 于 C，BC 切O 于 C，若 AD：AB=1:2 则 AO:OC=12、半圆 O 的直径在梯形 ABCD 的底边 AB 上，且其余三连 BC、CD、DA 部分O 相切，若 BC=2，DA=3，则 AB=13、OOB，O 与 BO 相切于
38、 E，与 AB 内切于 80 F，与以 OA 为直径的半圆外切于点 G，若 OA=a，求D 的半径。14、已知、为两个不等圆的半径（），C 是两圆的圆心距，若两圆内含，则关于的方程 X2-2X+2=C（+）的根的情况为 15、O 中，半径=5cm，AB、CD 是两条平行弦，且 AB=8cm，CD=6cm 求 AC 的长。16、设 A1B1、A2B2、A3B3是O 中处于圆心同侧的三条平行弦，且 A1B1与 A2B2的距离等于 A2B2与 A3B3的距离，三条弦的长度分别为 20、16、8，求这个圆的半径。17、平面内有任三点不共线的 2007 个点，那么是否可作出一个圆，使得圆内、圆外分别有
39、1003 个点，还有一个点在圆上？第七讲 圆中的有关计算 知识点击 1、圆中有关线段的计算主要依据是：垂径定理，勾股定理。2、圆中有关角度的计算主要借助圆心角、圆周角的关系，常常还利用相似三角形及三角函数来帮忙。80 3、圆弧长 L=1802rn，扇形 S=3602rn=21r2 4、不规则图形的面积的求解关键是设法将它分解为 可求图形面积的和差问题。例题选讲 例1 正ABC 的边长为 4，、AD 是O 的 直径，求阴影部分的面积。解：连 DE、EF、OF，易求 EF=AE=AF=3，AD=32，AO=OD=3，S 弓形AE=S弓形 EDF S阴=SABC-SAEF+S弓形 AF=34-439
40、+（S 扇形 AOF-SAOF）80=437+（-433）=+3 例 2、AB 是O 的直径,CD 切O 于 M,BCCD，ADCD 交O 于 E，O 半径为 1cm，A=60，求阴影部分的面积。分析：连 OE、OM、BE，作 EFAB 于 F。（）先求AOE 的面积，SAOE=2EFoA=43 OBME=3601202oE=3（）再 求 扇 形OBME的 面 积，S扇形（）后求梯形 BCDA 的面积：S 梯形 BCDA=2)(CDADBC=OMBE=3（）可求：S阴=S梯 S扇-S=12439cm2 例 3、四边形 ABCD 中，AB=AC=AD=，DC=b，ADBC，求 BD 80 解：以
41、 A 为圆心，a 为半径作A 延长 DA 交A 于 E，连 BE，DBE=90 由 BCED 有 B E=C D CD=BE=b RtEBD 中，BD=22BEED=224ba 例 4：正方形 ABCD 中，以 A 为圆心，边长为半径的圆孤 BD，半径为 r 的O 与 AB、AD、BD，切于 F、G、E，求 CE 的长.解：连接 AC、OF，设 CE=X BC=则 OA=，ACOABCOF 则 xaraar rraa)2(AF2=AH AE AH=2r r2=a（-2r）80 rraa)2(rr2 为 E，AE=EC，AB=2AE，BD=23,例 5、四边形 ABCD 外接圆 O，半径为 2，
42、对角线 AC 与 BD 的交点求四边形 ABCD 的面积.解：连 AO 交 BD 于 H，AB2=2AE2=AEAC 即：ACAB=ABAE 又EAB=BAC ADABADBABDADBACBACBABEACBABE S四边形 ABCD=2SABD=23 ABDBCDABDSSACESAHOHOBHDBH中点为31123 80 点评归纳 1、圆中的有关计算一般要结合使用相似三角形、勾股定理、全等三角形、垂径定理等，需仔细分析，选取合适的途径。2、不规则图形的面积转化为规则图形面积的求解割补方法很多，需根据题设具体确定，有时还需借助平移、旋转、翻折去处理。巩固练习 1、半O 半径为；COAB 于
43、 O，AB 为O 的直径，O1的圆心在 OC 上，且O1切 AB 于 O，OO1=4r，O2 与O1外切，与O 内切，又切 AB 于 D，求O2的周长。2、C 为半圆O 直径 AB 上一点，分别以 AC、CB 为直径 画半圆O1、O2，CDAB 于 D,求证：图中阴影部分的 面积等于以 CD 为直径的圆的面积。3、菱形周长为 20cm，有一角为 60，若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周，所成的旋转体的表面积为 cm2 4、在O 中引弦 AB，以 OA 为直径作O1交 AB 于 C 求证：80 弓形 AMB 的面积与弓形 Anc 的面积之比为 4:1 5、已知 RtABC 三边长分别为 a、b、
44、c,C=90 内切圆 0 半径为，切斜边 AB 于 D i.求证：=21（+-）ii.求证：ABC=21（+）iii.求证：ABC=ADDB 6、在一块边长为 40cm 的正方形铁皮上裁下一块完整的扇形铁皮，使之恰好做成一个圆维模型，请设计三种不同的方案，并求出铁皮利用率最高时圆维模型的底面圆半径。7、若 P 为O 内一定点，过 P 作一弦 AC，分别过 A、C 引圆的切线，再过 P 分别作两切线的垂线，垂足为 Q、R，试说明：PQ1+PR1为定值。8、等边三角形边长为 5，其外接圆为O，对折使 A 落在 A1处，求折线在ABC 内部的长度 DE 9、在一个半径为 1cm 的圆，在边长为 6c
45、m 的正六边形内任意挪动，则圆在正六连形内不能达到的部分的面积为 10、A 是半径为 1 的O 外一点，OA=2，AB 是O 的切 线，B 是切点，弦 BCOA，连接 AC，求阴影部分面积。第 6 题 80 第八讲 全等三角形 知识点击 1、全等三角形是特殊的相似三角形（相似比为 1），指能够完全重合的三角形。2、识别三角形全等的方法主要有 SSS、SAS、ASA、AAS，对于直角三角形还有特定的识别法 HL 3、多边形问题往往转化为三角形问题求得，因此三角形全等的识别已成为解决数学问题基本工具。例题选评 例 1：点 D 是ABC 上一点，且 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线
46、，试证：AC=2AE 证明：延长 AE 至使 EF=AE，连 DF 80 DCDF CDABAB=DF FDE ABC EDFBDAADFBADBADCBEDFADADDFADCA AEACAEAFAFACADCADF22 例 2：已知 BCAB，BD 平分ABC，AD=DC，求证A+C=180 证明：在 BC 上截取 BE=BA，连接 DE 80 DCDEDCADEDADEDADABADBEDBABD3BDBD21 18031803CAADECCDEC 例 3、ABC 中，A=90，AB=AC，D 为 BC 的中点，P 为 BC 上一点，PEAB，PFAC，求证 DE=DF 且 DEDF。分
47、析：连 AD，要证DBEDAF 即可先证EADFCD 例 4、给定正方形 ABCD，在边 AB 及对角线 AC 上 分别取点 P 和 Q，使得 AP：PB=3:2，AQ：QC=4:1，求PQD 各内角。80 解：把正方形 ABCD 分割成 25 全相等的小正方 形，设正方形 ABCD 连长为 a，DE=QF=54a EQ=PF=51a DEQ=QFP=90 RtDEQRtQFP 则 DQ=PQ DQP=180-（DQE+PQF）=180-90=90 P=PDQ=45 点评归纳 1、通过连接、延长、作垂线、作平行线等常规添辅助线的方法，构造全等三角形。2、分析法：要证证个三角形全等，已具备哪些条
48、件，尚缺什么条件，缺少的条件，放置在另一对一角形中，是否有条件证这一对三角形全等,从而使第一次证全等为第二次证全等准备条件，这是多次证全等解题时的思考习惯。3、图形变换的主要方式：平移、旋转、翻折。其具体表现有倍长、中线，截长补短等，其目的主要使分散的条件或研究对象集中起来。巩固练习 P 80 1、边长为 1 的正方形 ABCD 的边 AB、AD 上各有一 点 P、Q，且APQ 的周长为 2，求PCQ 的度数。2、正方形 ABCD 的 CD 边上一点 P，使 AP=PC+CB。M 为 CD 的中点，求证BAP=2MAD。3、ABC 中，ACB=90，AC=BC，BD 平分ABC 交 AC 于
49、D，AEBD 交 BD 延长线于 E，试证 BD=AE。4、A、B 两点坐标分别为（X1 0），（X2 0）其中 X1、X2 是方程 X2+2X+-3=0 的两根，且 X10X2（1）求的取值范围。（2）设点 C 在 y 轴正半轴上，ACB=90，CAB=30，求 M 的值（3）在上述条件下，若点 D 在第二象限，DABCBA，求直线 AD 的解析式 5、正方形 ABCD，点 P 距 D10cm，向 A 直线前进到达点 A 后，左拐 90继续直线前进，走同样的长度后到 P1，我们称点 P 完成了一次关于点 A 的左转弯运动，接着从 P1出发关于点 B 作左转弯运动到达 P2，然后依次关于 C、
50、D、A、B连续作左转弯运动，试问：作 2007 次左转弯运动后，到达点 Q，则 Q 距出发点 P 有多少厘米。第 1 题 第 2 题 80 6、四边形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 上一点,AE、BE 分别为BAD，ABC 的平分线，求证：AD+BC=AB 7、ABC 中，C=2A，AC=2BC，求B。8、AD 为ABC 的角平分线，ABAC，求证CB。9、ABC 中,AB=AC,CDBD,求证ADBADC 10、ABC 中，M 为 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN 若 AB=14，AC=19，求 MN。11、ABC 中，ACB=90，AC=BC，D、E 是 AB 上两点，AD