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1、第三节第三节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数式函数求导隐函数和参数式函数求导 相关变化率相关变化率 第二章第二章 第1页/共29页一、隐函数的导数若由方程若由方程可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,由由表示的函数表示的函数,称为称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化.函数为函数为隐函数隐函数.则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法:两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程,解出解
2、出 y 即可即可)把一个隐函数化为显函数，称为隐函数显化。把一个隐函数化为显函数，称为隐函数显化。1.1.两边直接求导法两边直接求导法第2页/共29页例例1.求由方程求由方程在在 x=0 处的导数处的导数解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导得得因因 x=0 时时 y=0,故故确定的隐函数确定的隐函数第3页/共29页例例2.求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即第4页/共29页2.2.对数求导法观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导
3、方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:多个函数相乘除、根式和幂指函数多个函数相乘除、根式和幂指函数第5页/共29页例例3.求求的导数的导数.解解:两边取对数两边取对数,化为隐式化为隐式两边对两边对 x 求导求导或求导公式求导公式第6页/共29页 1)对幂指函数对幂指函数可用对数求导法求导可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:第7页/共29页2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导第8页/共29页又如又如,对对 x 求导求导两边取
4、对数两边取对数【P50例5】第9页/共29页二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导,且且则则时时,有有时时,有有(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数)关系关系,第10页/共29页椭圆上任意一点椭圆上任意一点x处的切线的斜率为处的切线的斜率为故故从而从而,所求切线方程为所求切线方程为：y=b.解解例例又又第11页/共29页 星形线是一种圆内摆线例例第12页/共29页解解第13页/共29页例例5.抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度
5、的大小和方向.解解:先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量为速度的水平分量为垂直分量为垂直分量为故抛射体故抛射体速度大小速度大小再求再求速度方向速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,则则第14页/共29页抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量速度的水平分量垂直分量垂直分量在刚射出在刚射出(即即 t=0)时时,倾角为倾角为达到最高点的时刻达到最高点的时刻高度高度落地时刻落地时刻抛射抛射最远距离最远距离速度的方向速度的方向第15页/共29页例例6.设由方程设由方程确定函数确定函数求求解解:方程组两边对方程组两边对 t 求导求导,得得故故第16页
6、/共29页 三、相关变化率为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量及其相互关系式找出相关变量及其相互关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率第17页/共29页例例7.一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为当气球高度为当气球高度为 500 m 时时,观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少?【P53习题习题7】解解:设气球上升设气球上升 t 分后
7、其高度为分后其高度为h,仰角为仰角为 ,则则两边对两边对 t 求导求导已知已知 h=500m 时时,演示相关变量及其关系式相关变量及其关系式相关变化率关系式相关变化率关系式第18页/共29页思考题思考题:当气球升至当气球升至500 m 时停住时停住,有一观测者以有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m 时时,仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少?提示提示:对对 t 求导求导已知已知求求第19页/共29页试求当容器内水试求当容器内水例例8.有一底半径为有一底半径为 R cm,高为高为 h cm 的圆锥容器的圆锥容器,今以今以 自顶部向
8、容器内注水自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x,水的水的两边对两边对 t 求导求导而而故故体积为体积为 V,则则第20页/共29页内容小结1.隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.对数求导法对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3.参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导4.相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求求导导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式转化转化第21页/共29页2.设设由方程由方程确定确定,解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得再求导再求导,得得当当时时,故由故由 得得再代入再代入 得得 求求第23页/共29页,求求解解：3.设设方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导,得得第24页/共29页求其反函数的导数求其反函数的导数.解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对等式两边同时对 求导求导备用题1.设设第25页/共29页作业作业P52 1P52 18 8题题第26页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页