《考研数学基础ppt课件第12章微分方程解法及应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学基础ppt课件第12章微分方程解法及应用.ppt（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、微分方程解法及应用 二、一阶微分方程求解二、一阶微分方程求解三、线性微分方程解的性质三、线性微分方程解的性质四、二阶微分方程求解四、二阶微分方程求解一、微分方程的概念一、微分方程的概念六、微分方程的应用问题六、微分方程的应用问题五、微分方程求解的逆问题五、微分方程求解的逆问题第十二章11.微分方程：微分方程：含未知函数及其含未知函数及其导数导数的等式叫做的等式叫做微分方程微分方程.2.微分方程的阶：微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数方程中所含未知函数导数的最高阶数 叫做微分方程的叫做微分方程的阶阶.使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数.通解通解 解解中所含中所含独立独立的任
2、意常数的个数与方程的任意常数的个数与方程的阶数的阶数相同相同.特解特解3.微分方程的解微分方程的解 通解中的任意常数被确定后的解通解中的任意常数被确定后的解.确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.4.定解条件定解条件 n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):一、微分方程的概念一、微分方程的概念2(n 阶阶显式显式微分方程微分方程)分类分类1或或一阶方程：一阶方程：二阶方程：二阶方程：n阶方程：阶方程：分类分类2线性方程：线性方程：非线性方程：非线性方程：分类分类3单个微分方程：单个微分方程：微分方程组：微分方程组：（本章内容）（本章内容）36.初值问题初值问题
3、:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.5.解的几何意义解的几何意义特解特解:微分方程的一条积分曲线微分方程的一条积分曲线.通解通解:积分曲线族积分曲线族.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.41.一阶微分方程的一般形式：一阶微分方程的一般形式：二、一阶微分方程求解二、一阶微分方程求解 2.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 五个标准类型五个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程,线性方程线性方程,贝努利方程，贝努利方程，全微分方程全微分方
4、程 3.一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解-变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量,代换因变量代换因变量,代换代换某组合式化为可求解的某组合式化为可求解的.关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握相应的求解步骤掌握相应的求解步骤.5一阶标准类型方程的形式及求解方法一阶标准类型方程的形式及求解方法(1)可分离变量方程可分离变量方程标准标准形式形式：解法：解法：分离变量法分离变量法1)分离变量分离变量;2)两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.步骤步骤:(2)齐次型方程齐次型方程标准标准形式形式：解法：解法：步骤步骤:变量代换法变量代换法代入原方程得：代入原方程得：即即则则即即求此可分
5、离变量方程的解，求此可分离变量方程的解，并回代并回代6(3)一阶线性方程一阶线性方程标准标准形式形式：解法：解法：1)先解齐次方程先解齐次方程,再用常数变易法再用常数变易法2)通解通解公式法公式法:(4)全微分方程全微分方程标准标准形式形式：解法：解法：求原函数法求原函数法步骤步骤:方法方法1:凑凑微分法微分法;方法方法3:利用利用积分与路径无关的条件积分与路径无关的条件.1)求原函数求原函数 u(x,y)2)由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.方法方法2:偏偏积分法积分法;7解法：解法：变形为变形为令令从而有从而有代入原方程得代入原方程得这是关于这是关于的一阶线性微分方程的
6、一阶线性微分方程.求出通解后将求出通解后将代入即得代入即得的通解的通解.标准形式：标准形式：(5)贝努利方程贝努利方程8解法解法1:化为线性方程化为线性方程.原方程变形为原方程变形为其其通解为通解为:即即例例1.解方程解方程9解法解法2:化为齐次方程化为齐次方程.原方程变形为原方程变形为积分得积分得将将代入代入,得通解得通解例例1.解方程解方程10例例2.解方程解方程解法解法 1:这是一个齐次方程这是一个齐次方程.解法解法 2:化为微分形式化为微分形式 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程.11提示提示:令令 u=x y,得得将方程改写为将方程改写为(贝努利方程贝努利方程)(分离变量方程分
7、离变量方程)原方程化为原方程化为提示提示:例例3.求下列方程的通解求下列方程的通解:121.n阶线性微分方程的一般形式：阶线性微分方程的一般形式：-二阶线性微分方程二阶线性微分方程.说明：说明：叫自由项叫自由项.均为均为已知函数已知函数.齐次齐次方程方程.非齐次非齐次方程方程.132.线性微分方程解的性质：线性微分方程解的性质：(1)如果函数如果函数及及是方程是方程(1)的的两个解，两个解，那么那么对于任意常数对于任意常数仍然是仍然是(1)的解的解.的特解，的特解，那么那么就是方程就是方程(1)的的通解通解.如果如果与与是方程是方程(1)的两个的两个线性无关线性无关(2)(3)14(4)设设
8、是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程的一个的一个特解，特解，是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)通解，通解，那么那么是二阶是二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程(2)的的通解通解.设非齐次方程设非齐次方程(2)的右端的右端是几个函数之和，是几个函数之和，若若而而与与分别是方程分别是方程的的特解，特解，那么那么就是原方程的特解就是原方程的特解.(5)15常数常数,则该方程的通解是则该方程的通解是().设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程的解的解,是任意是任意例例4.提示提示:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关
9、.(反证法可证反证法可证)(89 年考年考研研)16171.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令令令逐次积分求解逐次积分求解 四、二阶微分方程求解四、二阶微分方程求解18例例5.解初值问题解初值问题解解:令令代入方程得代入方程得利用初始条件利用初始条件,根据根据积分得积分得故所求特解为故所求特解为得得说明说明:解二阶可降阶微分方程初值问题时需注意解二阶可降阶微分方程初值问题时需注意(1)一般情况一般情况,边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时遇到开平方时,要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号.19(1)标准形式：标准形式：(2)解法及通解形式：解
10、法及通解形式：特征方程特征方程通解的表达式通解的表达式特征根情况特征根情况20特征方程特征方程:特征方程的特征方程的根根微分方程微分方程通解中的对应项通解中的对应项一项一项:两项两项:k项项:2k项项:注意：注意：n次次代数方程代数方程有有n个根个根,且每一项含一个任意常数且每一项含一个任意常数.对应着通解中的一项对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都而特征方程的每一个根都推广推广:21根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解已经会求了已经会求了如何求？如何求？待定系数法待定系数法求特解求特解 的方法的方法22则特解可设为则特解
11、可设为则特解可设为则特解可设为23 为特征方程的为特征方程的 k(=0,1,2)重根重根,则设特解为则设特解为为特征方程的为特征方程的 k(=0,1)重根重根,则设特解为则设特解为上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.24例例6.25例例7.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解解解:它对应得齐次方程为它对应得齐次方程为特征方程为特征方程为则得特征根为：则得特征根为：则齐次通解为则齐次通解为设原方程得特解为设原方程得特解为则则代入原方程得代入原方程得则则则所求通解则所求通解26解解:它对应得齐次方程为它对应得齐次方程为特征方程为特征方程为则得特征根为：则得特征根为
12、：则齐次通解为则齐次通解为设其特解为设其特解为则则代入该方程得代入该方程得则原方程得通解是则原方程得通解是:27解：解：故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入方程得代入方程得故故原方程通解为原方程通解为由初始条件得由初始条件得于是所求解为于是所求解为28时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为(填空填空)设设例例8.时可设特解为时可设特解为 29欧拉方程是特殊的变系数方程欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换通过变量代换特点特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的的方程的方程(其中其中叫叫欧拉方
13、程欧拉方程.为常数为常数)形如形如(1)定义定义:(2)解法：解法：次数相同次数相同可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.作变量变换作变量变换将自变量换为将自变量换为得到一个常系数线性微分方程得到一个常系数线性微分方程.练习练习(04数一数一)：30P353 题题2(1)求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:消去消去 C 得得P353 题题2(2)求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为五、微分方程求解的逆问题五、微分方程求解的逆问题31例例10.求一连续可导函
14、数求一连续可导函数使其满足下列方程使其满足下列方程:原方程可化为原方程可化为:令令则有则有利用公式可求出利用公式可求出解解:两边同时对两边同时对 求导求导六、微分方程应用问题六、微分方程应用问题-求未知函数求未知函数32解解:tu0 xx0求导得：求导得：再求导得：再求导得：这是二阶线性常系数非齐次方程这是二阶线性常系数非齐次方程33这个方程是一这个方程是一阶线性非齐次方程，阶线性非齐次方程，3435(11年数学三年数学三)otxyt36例例14.已知曲线积分已知曲线积分无关无关,其中其中解解:因积分与路径无关因积分与路径无关,故有故有即即因此有因此有37(1)验证函数验证函数满足微分方程满足微分方程(2)利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数的和的和.解解:(1)(02考研考研)例例15.所以所以38用变量代换用变量代换化简方程化简方程(05考研考研)解解:例例16.39满足等式满足等式(I)验证验证(II)若若，求函数，求函数的表达式的表达式.设函数设函数在在内具有二阶导数，且内具有二阶导数，且练习：练习：(06考研考研)4041