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1、第6讲短期聚合风险模型现在学习的是第1页，共74页基本假设：（1）在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相互独）在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相互独立，即（立，即（N与与X1，X2，Xn相互独立）相互独立）这对于汽车保险行业来说就多少有些不妥了，例如恶劣这对于汽车保险行业来说就多少有些不妥了，例如恶劣的天气条件会导致大量的小理赔的天气条件会导致大量的小理赔.不过，在实际中这些现象的不过，在实际中这些现象的影响是很小的。影响是很小的。（2）聚合风险模型中，个体风险可以出现多次，各个风）聚合风险模型中，个体风险可以出现多次，各个风险是独立同分布的，即险是独立同分布的，即（X1，X2，X
2、n）独立同分布。）独立同分布。现在学习的是第2页，共74页N通常选为泊松或负二项分布，通常选为正态、伽玛等分布。当N服从泊松分布时，S的分布称为复合泊松分布；当N服从负二项分布时，S的分布称为复合负二项分布。这两大类分布构成总理赔量S分布的主要形式。模型研究的第一步是N和的分布选择。模型研究两个步骤：模型研究两个步骤：现在学习的是第3页，共74页同时，S的分布函数也可用的N分布和的共同分布通过卷积得到。模型研究的第二步是用N的分布和所服从的共同分布来表示S的分布。S的期望、方差和矩母函数可用上述基本分布的相应数量来表示。现在学习的是第4页，共74页6.2理赔次数和理赔额的分布1.理赔次数N的分
3、布（1）二项分布（2）泊松分布（3）负二项分布（4）泊松分布的一种推广的分布，即假设泊松分布中的参数为随机的，现实的情况是不同的保单类型或同一保单类型在不同的情况下发生理赔的次数是不确定的，为一个随机变量，记作，且有密度函数f（x），由全概率公式有：现在学习的是第5页，共74页现在学习的是第6页，共74页现在学习的是第7页，共74页负二项分布与泊松分布的关系有如下定理:在实际中，一般我们会找到理赔次数的一些相关数据，从而N的分布一般根据已有的数据进行估计.现在学习的是第8页，共74页例1：英国某种汽车在1968年索赔情况记录了421240张保单，记录结果如下：易得平均理赔次数：0.13174,
4、方差：0.13825理赔次数观测记录泊松分布(0.13174)估计值负二项分布(0.951,2.555)的估计值012345370244654539353172833692464864432041415-370460464114045301211现在学习的是第9页，共74页2.理赔额的分布各种离散型分布、连续型分布、混合型分布来描述理赔额的分布，要根据具体的风险和相应的险种应用统计学的技术来估计损失分布。现在学习的是第10页，共74页1.用卷积公式可求S的分布函数。6.3理赔总量模型记为独立同分布的共同分布函数假设S的分布函数和密度函数分别为F(x)和f(x)，则：现在学习的是第11页，共74
5、页例2假设某个保单组合在单位时间内至多发生3次理赔，理赔次数和理赔额分布分别为：求理赔总量S的概率分布现在学习的是第12页，共74页记为k阶原点矩，记为的矩母函数，为理陪次数的矩母函数，为的矩母函数.2.S的均值，方差或高阶矩现在学习的是第13页，共74页上两式表明，总理赔量的期望值为个别理赔期望值与理赔次数期望值之积。总理赔量的方差由两部分构成：个别理赔量的变化和理赔次数的变化。现在学习的是第14页，共74页由矩母函数可以求出S的分布函数。S的矩母函数：现在学习的是第15页，共74页若N服从负二项分布S为复合负二项分布，并且：现在学习的是第16页，共74页例3假设某个保单理赔次数N服从负二项
6、分布，参数p=1/3,Var(N)=24,并且理赔额分布为：求理赔总量S的方差和均值之和。现在学习的是第17页，共74页例例4 设设N 服从参数为服从参数为p 的几何分布，的几何分布，0 p 0，那么Var（S）=E（N2）；假 设 Var（N）=E（N），那 么Var（S）=P2E（N）；E（S2）=E（N）E（X2）+现在学习的是第20页，共74页解错误。当Var（N）=E（N）时；正确。现在学习的是第21页，共74页对于选项：错误。现在学习的是第22页，共74页例6对复合负二项分布，参数r=1,P=1/3，个别索赔服从参数为的指数分布，已知MS（1.0）=3,求。A4.9B5.0C3.5
7、D4.0E4.5解现在学习的是第23页，共74页选D。现在学习的是第24页，共74页6.4复合泊松分布(1)理赔次数N服从参数为泊松分布随机变量S为参数为复合泊松分布重新定义如下：记为独立同分布的共同分布函数，(2)表示第i次发生理赔时的理赔额随机变量，一、定义：现在学习的是第25页，共74页（3）在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额）在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相互独立，即（之间相互独立，即（N与与X1，X2，Xn相互独立）相互独立）2.复合泊松分布的性质基本性质：现在学习的是第26页，共74页现在学习的是第27页，共74页例1一组一年期的定期寿险组合，每份保单的保险金额都相同为
8、B个单元，索赔次数N服从泊松分布，参数为，以下陈述中哪一项是不正确？AE（S）=E（N）B=BBVar（S）=Var（N）B2=B2CS的可能取值为0，B，2BDE（X）=B，Var（X）=B2EP（SBx）=P（Nx）现在学习的是第28页，共74页解由聚合风险模型有：E（S）=E（N）E（X）=BA正确。B正确。由于每次理赔额均为常数B，所以在保险期内索赔总额仅取B的倍数，所以C正确。依题意有：P（X=B）=1E（X）=B，Var（X）=0D错误。现在学习的是第29页，共74页 S=BNP（SBX）=P（BNBX）=P（NX）E正确。选D。现在学习的是第30页，共74页(1)如果是相互独立的
9、随机变量，且服从参数为的复合泊松分布，理赔额的分布为，则服从参数为的复合泊松分布，且个别理赔额分布为：特殊性质：该性质称为复合泊松分布模型对求和的封闭性现在学习的是第31页，共74页(2)对于一个复合泊松分布随机变量，可以分解为：个别理赔额的分布列为：则相互独立且服从参数为的泊松分布，其中为S的泊松参数。Xx1x2xmPp1p2pm此性质称为模型的可分解性现在学习的是第32页，共74页例:已知聚合理赔S服从复合Poisson模型,参数为0.8,理赔额的分布密度为:试求S的概率密度函数在x=1,2,.6的取值.利用卷积公式或定理2解答现在学习的是第33页，共74页定理3:对于复合泊松模型，若仅取
10、正整数值，则理赔总额 的密度函数有如下的迭代公式：注：当理赔次数N服从其他分布时也有类似的推论。该性质称为复合泊松分布模型的递推性现在学习的是第34页，共74页定理4：在聚合风险模型中，若理赔额只取正整数，理赔次数N的分布满足计数分布：则S的概率密度函数为：三、（三、（a,b）类计数分布）类计数分布定义若理赔次数N的分布满足：称理赔次数称理赔次数N的分布为（的分布为（a,b）类计数分布。）类计数分布。现在学习的是第35页，共74页已知索赔总额的数学期望为1.68，求期望的索赔次数。A0.60B0.70C0.80D0.90E1.00例1具有正整数个别索赔额的复合泊松分布的总索赔额随机变量的概率密
11、度函数如下：现在学习的是第36页，共74页解由代定系数法可知：解得：=0.80选C。现在学习的是第37页，共74页例2S是具有下列特征的复合泊松分布：个别索赔额为1，2或3；E（S）=56；Var（S）=126；=29。决定索赔额为2时的期望索赔次数是多少？A10B11C12D13E15现在学习的是第38页，共74页解得：P（2）=0.3793所求的P（2）=290.3793=11选B。=29P（1）+P（2）+P（3）=1解现在学习的是第39页，共74页例3对于泊松参数为6的复合泊松分布，个别索赔额的分布为 ，x124P1/31/31/3另外，还有索赔总额的一些如下概率值：求P（6）。S34
12、567P0.01320.02150.0271P(6)0.0410A0.031B0.066C0.039D0.0365E0.0345现在学习的是第40页，共74页 解现在学习的是第41页，共74页现在学习的是第42页，共74页四四.具有免赔额的复合泊松分布具有免赔额的复合泊松分布在复合泊松分布中，若保险标的损失随机变量为X，保险合同有一个免赔额d,即是其真正的理赔额随机变量，理赔次数服从参数为的泊松分布，其中个别理赔额的分布密度函数为：现在学习的是第43页，共74页6.5聚合理赔量的近似模型1.正态近似定理如果S是复合泊松分布，泊松参数为，个别理赔额的数学期望与方差2有界，则其中现在学习的是第44
13、页，共74页定理如果S服从复合负二项分布，参数为r，p，个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的与2，则：其中，q=1-p，现在学习的是第45页，共74页2.平移伽马近似定义若为平移伽马分布的分布函数。现在学习的是第46页，共74页用图形表示，它们的密度函数具有如下的关系：y h(x)g(x)0 x其中，g（x）为（，）分布的概率密度函数，h（x）为相应的平移x0个单位的平移伽马分布的概率密度函数。现在学习的是第47页，共74页由定义知平移伽马分布有三个参数x0，如果能定出这三个参数，这个分布也就已知。求解下面的方程组可解决这一问题：现在学习的是第48页，共74页解得：现在学习的是第49
14、页，共74页特别，对于复合泊松分布，有：现在学习的是第50页，共74页例1保险人提供具有如下情形的三种保险：种类种类保单数保单数索赔概率索赔概率期望索赔金期望索赔金额额12350010005000.050.100.155105对于每一个保险标的，方差和期望的索赔金额是相等的，对于每一类型的保单，保费是按（1+）倍的期望值收取，求，使总索赔额超过总保费的概率为0.05。A0.09B0.1C0.11D0.12E0.13现在学习的是第51页，共74页解期望的总索额是：现在学习的是第52页，共74页总索赔额的方差是：Var(S)=E2(Xi)Var(N)+E(N)Var(Xi)=500 x25x0.0
15、5x0.95+0.1x5+1000 x100 x0.1x0.9+0.1x10+50025x0.15x0.85+0.15x5=12687.5现在学习的是第53页，共74页由题意有：13.3=1.645，=0.124选D。现在学习的是第54页，共74页例2没有再保险时的总索赔分布为复合泊松分布，如果用平移伽马分布来近似，则平移伽马分布的参数为（=20，=5，x0=40）。如果有50%的比例再保险，也用平移伽马分布来近似，求有再保险时的平移伽马分布的有关参数。A B C D E现在学习的是第55页，共74页解依题意在没有再保险时有：现在学习的是第56页，共74页在有50%的比例再保险时，泊松参数不会
16、发生改变，个别索赔额会变为原来的1/2。再保后有：现在学习的是第57页，共74页所以有方程组：解得：为有再保险时的平移伽马分布参数，所以此题答案为A。现在学习的是第58页，共74页例3保险公司承保的风险服从泊松参数为100的复合泊松分布。个别索赔额服从均值为500的指数分布，该保险人进行了比例再保险，自留额为80%，求在这种情况下保险人和再保险人的年个别索赔额的分布，并求出原保险人索赔总额随机变量的期望与方差。现在学习的是第59页，共74页 解由于比例再保险，原保险人和再保险人的泊松参数不会发生改变，改变的只是个别索赔额的分布原保险人的个别索赔额随机变量Y=0.8X，X为没有再保险情况下的个别
17、索赔额随机变量，再保险人的索赔随机变量R=0.2X。现在学习的是第60页，共74页所以Y服从均值为400的指数分布现在学习的是第61页，共74页同样R服从参数为1/100的指数分布。现在学习的是第62页，共74页 原保险人的索赔总额随机变量的数学期望与方差：现在学习的是第63页，共74页 再保险人索赔总额随机变量的数学期望与方差：现在学习的是第64页，共74页 对于此例读者可以更一步思考，在对个别索赔额进行停止损失再保险时，再求再保险人和原保险人的索赔总额随机变量的数学期望与方差。现在学习的是第65页，共74页知识要点知识要点1、短期聚合风险模型对于,其中N表示保险期内所有承保保单发生索赔的次
18、数随机变量，Xi表示第I次发生理赔时的理赔额随机变量，S为保险期内的理赔总额随机变量。Xi 对不同的i是独立同分布的，N与各Xi是独立的。称此模型为短期聚合风险模型。2、理赔次数和理赔额的分布（1）泊松分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数：（2）负二项分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数。负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广，假设泊松参数也是一个随机变量，且有密度函数f(x)，由全概率公式有：现在学习的是第66页，共74页而：特别地，当的密度为 ，x 0时，N服从参数r=a,p=/1+的负二项分布。（3）S的分布问题 假设S的分布函数和密度函数分别为F（x）和f(x),则：现在学习的
19、是第67页，共74页除用卷积方法之外，还可以用矩母函数法及逆转公式来求S的分布，由矩母函数的定义有：其中X是与各Xi同分布的随机变量。也就是说，若知道Xi和N的矩母函数，就可计算出S的矩母函数，现在学习的是第68页，共74页而4、复合泊松分布在聚合风险中，当N服从泊松分布时，S的分布就称为复合泊松分布。这样：E（S）=E（X）E（N）=E（X）其中 为泊松参数。现在学习的是第69页，共74页关于复合泊松分布有如下的几个定理和规律：（1）如果S1，S2，Sm是相互独立的随机变量，且Si服从参数为i的复合泊松分布，理赔额的分布为Pi(x),i=1,2,m,则服从参数为的复合泊松分布，且个别理赔额分
20、布为：（2）对于一个复合泊松分布随机，可以分解为：个别理赔额的分布列为：Xx1x2xmPp1p2pm现在学习的是第70页，共74页则N1，N2，Nm相互独立且Ni服从参数为i=pi的泊松分布，其中为S的泊松参数。对于此定理，若xi仅取正整数值，则理赔总额S的密度函数为：对于此定理，还有更普遍的推广，也就是说在聚合风险模型中，若理赔额只取正整数，理赔次数N的分布满足：(n=1,2,)（3）在复合泊松分布中，若保险标的损失随机变量为X，保险合同有一个免赔额d，即，Xd,Xd是其真正的理赔额随机变量，泊松参数为，则带免赔的理赔总额S仍是复合泊松分布，泊松参数变为P（xd),个别理赔额的分布密度函数为
21、：现在学习的是第71页，共74页5、聚合理赔量的近似模型（1）正态近似定理如果S是复合泊松分布，泊松参数为，个别理赔额的数学期望与方差2有界，则：定理如果S服从复合负二项分布，参数为r,p,个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的与2，则：现在学习的是第72页，共74页（2）平移伽马近似 定义定义其中，g（x）为(,)分布的概率密度函数，h（x）为相应的平移x0个单位的平移伽马分布的概率密度函数。由定义知平移伽马分布有三个参数x0，,，如果能定出这三个参数，这个分布也就已知。求解下面的方程组可解决这一问题：现在学习的是第73页，共74页重点及难点解析重点及难点解析 本章的重点内容是复合泊松分布，包括当个别理赔额是正整数时的复合泊松分布，另外，理赔总额S分布的正态近似及平移伽马近似也是本章的重点内容。当然，对重点内容可以进行引申，譬如当索赔次数分布为负二项分布、几何分布、超几何分布、二项分布等；更简单的还有二点分布，这时聚合风险模型与个别风险模型有相通之处。当然，个别索赔额的分布形式更加多样，特别是当个别索赔额随机变量的取值仅为正整数值时，是本章的难点。现在学习的是第74页，共74页